Ерманова М.
нет в наличии
Скоро в продаже
| Регион (Город/Страна где издана): | Санкт-Петербург |
| Год публикации: | 2021 |
| Тираж: | 3000 |
| Страниц: | 64 |
| Формат: | 84×108/16 |
| Вес в гр.: | 185 |
| Язык публикации: | Русский |
| Тип обложки: | Мягкий / Полужесткий переплет |
| Цвета обложки: | Синий |
| Возраст от: | 6+ |
| Полный список лиц указанных в издании: | Ерманова М. |
Математика, 1-4 класс, Большая книга примеров и заданий по всем …
Математические задания для 1 класса – В картинках для печати
Математика 1 класс – видеоуроки по математике, в помощь учителям и …
Математика 1 класс. Самостоятельные работы » Я ученик. Сайт для …
Карточки по математике 1 кл
примеры на сравнение чисел для 1 класса распечатать | Математика …
Материал по математике (1 класс) на тему: Сложение и вычитание в …
Состав числа до 20 – Распечатать числовую таблицу
Технологическая карта урока «Задачи на разностное сравнение»,1 …
Математика 1 класс. Самостоятельные работы » Я ученик. Сайт для …
Сравнение чисел: больше, меньше, равно, маленький, равно, задачи …
Примеры по математике – 1 класс – Распечатать в картинках
Картинки по запросу сравнение чисел в пределах 10 для дошкольников …
Сравнение чисел: больше, меньше, равно, маленький, равно, задачи …
Математика. 1 класс. – Бесплатная электронная библиотека для детей …
Тренажёр по математике, Разрядный состав чисел до 10, 1 класс …
Карточки по математике для 1 класса плюс 2 минус | Ventanas, Temas
Презентация на тему “Сравнение чисел. Графы” по математике для 1 …
Учим состав числа, задания для 1 класса распечатать | Прописи
Решаем примеры на сложение 1+1=2. Короткие стихи. Математика …
https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/sravnenie_predmetov_i_grupp_predmetov_120636.html
Презентация на тему: “Материал к урокам математики «Состав чисел …
примеры с пропущенными знаками для 1 класса распечатать …
Тренажёр по математике. 1 класс
Соседи числа – Математические задания для детей
Книга: “Прописи по математике. Рабочая тетрадь для дошкольников 6 …
Презентация на тему: “1 класс Упражнения для устного счёта …
https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/sravnenie_predmetov_i_grupp_predmetov_120636.html
Математика. Реши задачу. Самостоятельные работы. 1 класс – Скачать …
Примеры по математике – 1 класс – Распечатать в картинках
сравнение чисел примеры для 1 класса распечатать бесплатно Images Collection Презентация на тему: “Учимся решать задачи 1 класс Шпаргалка для … Сравнение чисел: больше, меньше, равно, маленький, равно, задачи … Математика, 1 класс, Ахмедов М., Абдурахманова Н., Джумаев М., 2019
|
|
безплатни математически клипове
математически клипарт
математика клип арт png
цифри клипарт
геометрия клипарт PNG
математика клипарт
детски математически клипарт
разширен математически клипарт
математически клипарт в средното училище
математически клипарт
математика
математика gif картинки
прозрачен фон математика клипарт
математически картинки
училищна картинки
дивизия клипарт
farrah abraham, преди да са станали известни
Клипарт за математика от 2 клас
символи за представяне на математика
математически картинки
математически клипарт
математика клипарт Филип Мартин
калкулатор
математически символи 1 клас
математиката е забавен клипарт
математически клипарт за детска градина
математически картинки
ixl 1998
сладък клип леприкон
математически клипарт прозрачен
прозрачен математически клип
математика клипарт PNG
математически клипарт прозрачен
математически клипарт прозрачен
математика клипарт PNG
прозрачен фон математика клипарт
преподаване на математика
бейзболни карикатури
знак за проценти клип
dj inkers приказка клипарт
поп култура математика
карти за математическа ротация
Наука
clipart предучилищна математика
четене на клип
жираф, седнал на бюрото
измерване на дължина песен
математически клипарт прозрачен фон
пробен клипарт прозрачен
фракции по-малко от един пример
сладък математически gif png
прозрачен фон математика клипарт
Събиране
графичен дизайн
шаблон блокове клипарт
кръст
дизайн в математически дневник
градини трокадеро
фракционни игри първични игри серия
забавен математически клипарт
прозрачен математически клипарт png
ден
a + изпит
математически картинки
наука и изкуство клипарт
номер 2013
математика клипарт PNG
интелигентна логика
запази спокойствие
математически форми и числа
precalculus клипарт
илюстрация
знак за знак минус
забавни математически уравнения
математика клипарт PNG
женени от пръв поглед двойки 1 сезон все още заедно
математика и изчислителна техника
прозрачен математически клип
Подрастающим детям необходимо всё больше знаний об окружающем их мире. Эта информация не обязательно касается получения практических навыков (чтения, счёта, умения вырезать и клеить). Смена времён года, месяцев и дней недели — как объяснить эти процессы, как научить ребёнка легко запомнить нужную информацию?
Для того чтобы малыш хорошо запомнил и в дальнейшем легко ориентировался в названиях месяцев, необходимо провести подготовительную работу — нужно научить его хорошо различать и определять времена года.
Это обучение можно начинать очень рано, уже в полтора-два года нужно обращать внимание ребёнка на характерные приметы каждого сезона.
Скачать изображение «Времена года»
В возрасте двух — трёх лет ребёнок должен хорошо определять времена года, их последовательность, и основные признаки.
Отличный вариант для изучении времен года — это настольная игра. А играть в хорошо оформленную, яркую обучающую настольную игру — одно удовольствие. Ребенок достаточно быстро схватывает материал и сам проявляет интерес к игре.
Выучили? Переходим к следующему этапу.
Скчать изображение «Времена года»
Проще всего научить ребёнка определять месяцы, опираясь на имеющиеся знания о временах года. Для этого можно самостоятельно сделать наглядное пособие, которое поможет вам быстро научить малыша нужному материалу и закрепить его знания о временах года.
Итак, нам понадобится:
Шаг 1. Разделите лист картона на 4 одинаковые части, на каждую наклейте картинку, изображающую определённое время года в такой последовательности: два верхних прямоугольника – это зима и весна, два нижних – лето, осень.
Шаг 2. В нижней части каждой картинки наклейте конверт (лицевая сторона конверта приклеивается непосредственно на картинку). У конверта отрежьте верхний клапан, которым обычно его заклеивают. Должен получиться своего «кармашек» на картинке, изображающей время года.
В этот карман и нужно поместить соответствующие каждому сезону карты с названиями месяцев. В итоге, в каждом кармане должны находиться три карты. Размер карты нужно подобрать так, чтобы её большая часть выглядывала из конверта, и ребёнок мог без затруднений увидеть, что на ней изображено и название самого месяца.
Скачать изображение «Месяцы и времена года»
Надписи «февраль», «март», «апрель» напишите или напечатайте чётко и крупным шрифтом. Первую букву названия месяца можно слегка выделить – сделать её другого цвета и чуть увеличить шрифт. Это поможет детям в будущем запомнить название месяца, в том числе, по первой букве. Однако этим способом удобнее пользоваться тем, кто уже хорошо знает алфавит.
Картинки на карточках должны изображать характерные события и приметы каждого месяца, доступные для запоминания малышом.
Например: январь – новогодние праздники, июль – купание в речке или на море, март – первые подснежники и тюльпаны, апрель – день рождения ребёнка (сестры, бабушки) и т.д. Постарайтесь, чтобы картинки были яркими и запоминающимися. Можно разнообразить картинки домашними фото, на которых изображён сам малыш, при этом следите, чтобы было хорошо видно, какое именно время года изображено на фотографии.
Продемонстрируйте ребёнку наглядно, как соотносятся месяцы с временами года, поместив карты с их названиями в соответствующий карман.
Для первых занятий достаточно запоминания двух — трёх месяцев, гораздо важнее, чтобы ребёнок старался запомнить, как они распределяются по временам года, какие относятся к лету, какие к зиме. Учим месяцы не спеша, стараясь подбирать понятные ребёнку ассоциации и примеры. В процессе обучения предлагайте малышу самостоятельно распределять карточки с названиями в нужные карманы, при этом проговаривайте их названия вслух.
Усложняем задание:
Чтобы научить ребёнка хорошо ориентироваться, в каком порядке месяцы следуют друг за другом в течение года, предлагаем следующее задание. Вытащите все карточки с названиями и перемещайте их в произвольном порядке. Потом положите их перед малышом и предложите разложить их в правильном порядке, начиная с января. Можно добавить элемент игры, рассказав, что это злая Баба Яга смешала карточки, и если не помочь месяцам стать в правильном порядке, то Новый Год не настанет.
Когда юный ученик быстро и без проблем начнёт складывать карты с названиями месяцев в правильном порядке, а также устно отвечать на вопросы: «Как называется первый месяц в году?», «Какой месяц идёт за мартом?», «Назови три осенних месяца, три летних и т.д.», тогда можно считать, что он успешно научился определять месяцы.
Преподаватель, специалист детского развивающего центра
Дружинина Елена
Развивающий мультик о временах года и месяцах из серии «Уроки Тетушки Совы»:
Мы переоцениваем способы использования изображений не только для получения математической информации, но и для доказательства математических теорем. В качестве примера мы описываем способы, которыми квонный язык, изобретенный для изучения квантовой информации, проливает свет на несколько других областей математики. Это приводит к доказательствам и алгебраическим тождествам, представляющим интерес в нескольких областях. Руководствуясь этим успехом, мы намечаем программу на языке изображений для дальнейших исследований.
Мы даем обзор нашей философии изображений в математике. Мы подчеркиваем двунаправленный процесс между языком изображений и математическими концепциями: абстракция и симуляция. Это мотивирует программу понимать различные предметы, используя виртуальные и реальные математические концепции, моделируемые картинками.
Рисунки появляются на протяжении всей истории математики, и мы рассказываем некоторые из этих историй. Мы объясняем идеи, полученные с помощью математических картинок.Наша программа языка изображений призвана объединить идеи из разных предметов. Мы сосредоточимся здесь на языке трехмерных квонов (1). Этот язык представляет собой топологическую квантовую теорию поля (TQFT) в трехмерном пространстве с дефектами более низкой размерности. Квон – это двумерный дефект на границе трехмерного многообразия.
Мы считаем, что quon и другие языки обеспечат основу для более глубокого понимания математики, и ожидаем, что дальнейшее изучение роли математики изображений будет продуктивным.Следовательно, в 4: Вопросы мы ставим ряд задач в качестве основы для программы исследования языка изображений.
Рисунки были центральным элементом для визуализации идей и мотивации доказательств во многих областях математики, особенно в геометрии, топологии, алгебре и комбинаторике. Они простираются от древних работ в школах Евклида и Пифагора до современных идей в физике элементарных частиц, теории категорий и TQFT. См. Интересный недавний отчет в Silver (2). Тем не менее, мы упоминаем два аспекта математических картинок, которые, по нашему мнению, заслуживают специального изучения.
Во-первых, важность, которую мы придаем математическому анализу изображений. Мы объясняем, как мы начали формулировать теорию математического анализа изображений в дополнение к изучению их топологии и геометрии. Например, аналитический аспект изображений в TQFT – менее развитая область, чем его топологические и алгебраические аспекты. Тем не менее, у него есть большой потенциал для будущих достижений.
Во-вторых, понятие доказательства посредством изображений. Сосредоточившись на общих математических свойствах изображений, мы хотим отличить это качество от использования изображений в конкретной конкретной математической теории.Другими словами, мы стремимся отличить понятие свойств языка изображений L , с одной стороны, от его использования посредством моделирования S для моделирования конкретной математической реальности R . Мы благодарим одного рецензента за то, что он указал на то, что различие между L и R аналогично различию в лингвистике между синтаксисом и семантикой.
Мы предполагаем, что интересно доказать результат для языка L и, таким образом, путем моделирования обеспечить результаты в R .Можно использовать единый язык изображений L для моделирования нескольких различных математических областей. Фактически, теорема в L может гарантировать разные теоремы в разных математических предметах R 1 , R 2 и т. Д., Как следствие различных симуляций S 1 , S 2 и т. Д. к обсуждению симуляторов часов в What Next? Различные конфигурации стрелок часов показывают взаимосвязь между пробными изображениями и кажущимися несвязанными математическими результатами.
Мы также обсуждаем важное различие между двумя типами концепций в R , которые мы моделируем с помощью данного S . Это могут быть «реальные» концепции или они могут быть «виртуальными». Это различие не является абсолютным, но зависит от того, какой язык и симуляцию мы рассматриваем. Мы даем несколько примеров, как по математике, так и по физике, в Real и Virtual .
Мы надеемся, что эти замечания о картинках помогут улучшить понимание как математики, так и физики.Возможно, это даже поможет другим предметам, например нейробиологии, где «Одна картинка стоит тысячи символов».
Математики использовали изображения со времен эволюции евклидовой геометрии в Древней Греции. Они доказали абстрактные теоремы, основанные на аксиомах, созданных на основе графической интуиции. Мощная особенность картинок в том, что можно легко визуализировать симметрии. Симметрии вращения и отражения появляются в древних аргументах.
Хороший пример – проблема четырех точек A, B, C, D на плоскости, как показано в [1]. Точки лежат на окружности тогда и только тогда, когда углы BAC и BDC равны. Это можно установить наглядно или алгебраически, и графическое доказательство ∗ элементарно.
Мы предлагаем два основных компонента для понимания, которые мы называем L и R . Здесь L обозначает абстрактные концепции или язык, а R обозначает конкретные предметы или реальность, которые мы хотим понять.Мы также можем думать о них как о левом и правом. Моделирование S представляет собой карту от L до R .
Наша вселенная – отличный источник идей о реальном мире. Мы можем рассматривать это как R . Мы понимаем эти идеи через абстракцию, включая теории математики, физики, химии и биологии. Чтобы иметь дело с этими реальными концепциями, часто требуются виртуальные концепции, которые не имеют значения в реальном мире. Эти виртуальные концепции могут не иметь непосредственного реального значения, но они могут дать ключ к пониманию реальных структур.
Абстракция – это метод изучения сложных идей, который варьируется от R до L . Например, химия как L может предоставить логический язык для абстрагирования определенных законов в биологии как R , с симуляцией S : L → R . Можно продолжить эту цепочку, где мы рассматриваем химию как новый R , а физику как его абстракцию как новый L с новым моделированием S . Абстракция может быть повторена еще раз с математикой как L и физикой как R .На каждом этапе изучаются аксиомы в L из реальных понятий в R . Для выполнения вычислений нам часто требуется ввести виртуальные концепции в L , чтобы понять концепции в R .
Нас особенно интересует случай, когда L является языком изображений. Тогда можно представить концепции в L картинками, играющими роль логических слов, с аксиомами в качестве их грамматики. Аксиомы должны быть совместимы с графической интуицией.Можно развить язык изображений как независимую теорию, подобную евклидовой геометрии.
Хорошее моделирование определенного математического предмета R должно удовлетворять двум условиям. Математические концепции в R должны моделироваться простыми изображениями в L , а математические тождества в R должны возникать в результате выполнения элементарных операций с изображениями в L . Абстракцию и моделирование можно рассматривать как процессы, обратные друг другу.
Представление о том, является ли концепция реальной или виртуальной, играет важную роль. Это не абсолютная концепция, но зависит от моделирования. Например, в поле действительных чисел квадратный корень x положительного числа x является действительным, а квадратный корень отрицательного числа x – виртуальным. Расширяя поле до комплексных чисел, можно плодотворно понять эту виртуальную концепцию. Вы привыкаете к мощности комплексных чисел и в новом моделировании можете рассматривать их как «настоящие».”
На языке изображений картина может представлять реальную концепцию в одной теории и виртуальную – в другой. В качестве примера рассмотрим диаграммы Фейнмана, картинки, которые используются для описания взаимодействий частиц. Вклад в рассеяние двух физических электронов описывается первым электроном, излучающим фотон (квант), который поглощается вторым электроном. Однако сохранение энергии и импульса не позволяет фотону быть реальным: он должен быть виртуальным.На рис. 1 показана исходная диаграмма, приведенная в исх. 3.
Аналитическое продолжение (вращение Вика) в мнимое время уравнивает реальные и виртуальные частицы. В этой ситуации в приведенном выше примере используются только виртуальные частицы. Таким образом, можно получить множество виртуальных концепций, которые могут стать реальными при правильном моделировании.
Изображения сыграли центральную роль как в изобретении топологии, так и в ее современном понимании.Синергетическая алгебраическая формализация развивалась параллельно с теорией категорий, которая зародилась в работах Эйленберга и Маклейна в 1940-х годах (4).
TQFT появился как способ понимания различных тем с использованием кобордизмов. Замечательные примеры этой точки зрения можно найти в работах Джонса (5), Виттена (6), Атья (7), Решетихина и Тураева (8), Тураева и Виро (9) и Окняну (10). Были изучены различные обобщения, вдохновленные TQFT, и за последние 30 лет появилось много результатов в этом направлении.
По сравнению с топологией менее очевидно, что изображения могут также пролить свет на изучение алгебры, в частности, на теорию представлений. Оказывается, это так. Выводы из картинок полезны с технической точки зрения (например, с диаграммами Юнга, косами или колчанами). Эти идеи также полезны в концептуальном плане [например, чтобы показать, как топологические свойства многочастичных систем фиксируются свойствами централизующей алгебры представлений в смысле двойственности Шура – Вейля (11, 12)].
И последнее, но не менее важное: картинки также имеют глубокую связь с анализом бесконечномерного гильбертова пространства. Это привело к открытию полинома Джонса (13). Конформная теория поля (CFT) – это тема R , тесно связанная с этим, и из которой мы можем узнать законы для языка изображений L .
Когда Атья дал математическое определение TQFT, он написал: «Вполне возможно, что такое топологическое понимание является необходимой предпосылкой для построения аналитического аппарата квантовой теории» (7).Сегодня мы хотим продвинуться вперед, чтобы достичь полной квантовой теории поля. Наша долгосрочная цель – построить квантовую теорию поля с помощью картинок. Однако сделать это на начальном этапе может быть слишком сложно.
Мы выделяем два свойства QFT, которые проливают свет на изображения. Первая тема – «симметрия». Чтобы понять симметрию континуума, полезно понять дискретную симметрию, которая может аппроксимировать континуум.
Вторая тема, «позитивность», особенно интересна, поскольку позитив дает основу для анализа.Поразительный факт заключается в том, что анализ изображений – математическая теория с большим потенциалом, но все еще находится в зачаточном состоянии. С одной стороны, мы ожидаем от анализа абстрактных концепций к картинкам. Это обогатит теорию языка изображений еще в одном измерении. С другой стороны, мы хотим смоделировать анализ с помощью языка изображений и предоставить графические инструменты.
Элементарная характеристика, выходящая за рамки топологии, – это «форма». Это идет в направлении инкапсуляции геометрии изображения.Геометрия может указывать на наличие дополнительной симметрии, представленной рисунками. Имея форму изображения как дополнительный инструмент, можно спросить, к чему это приведет.
В решетчатых моделях статистической физики люди часто изучают квадратные решетки и сотовые решетки, которые фиксируют дополнительную симметрию в двух и трех направлениях соответственно. Изобразительная двойственность решеток могла бы обеспечить интересные двойственности математических теорий, такие как аналог двойственности Крамерса – Ванье (14), проиллюстрированный в [2]
Если векторное пространство V моделируется квадратными изображениями на двумерном плоскости, а затем склеивание двух картинок по вертикали или по горизонтали, определяет два умножения V.Поворот на 90 °, называемый преобразованием Фурье строки (SFT) и обозначаемый 𝔉S, переплетает два умножения, как показано ниже. См. Ссылки. 1, 15 и 16 для получения подробной информации и дополнительных ссылок.
Эти двухмерные графические операции совпадают с преобразованием Фурье, умножением и сверткой в анализе Фурье. Это краеугольный камень для понимания изобразительной двойственности Фурье.
Как связать изображения с анализом? Обычно изображения без границ – это скаляры.Как мы можем наглядно сформулировать измерение? Главный урок квантовой теории поля – важность позитивности отражения. Элементарная графическая интерпретация позитивности отражения состоит в том, что приклеивание картинки к ее зеркальному отображению позитивно.
В конструктивной квантовой теории поля обширный анализ выполняется путем оценки изображений диаграмм Фейнмана в терминах поддиаграмм; здесь можно использовать наглядное неравенство Шварца или более сложную операторную норму. Эти оценки являются центральными для доказательства большинства результатов по данному предмету.В рамках нашего настоящего обсуждения такой анализ проводится на изображениях в R . Мы называем это использованием «картинки в анализе».
Однако нас действительно интересует, можно ли и в какой степени проводить анализ изображений. Это означает, что нам нужно выполнить вычисления в L , без ссылки на R . Обсуждение вращения, анализа Фурье, умножения и свертки показывает, что некоторый прогресс может быть достигнут.
Получим ли мы интересный анализ на основе этого минимального требования? На самом деле удивительно то, что у нас уже есть интересные результаты, вдохновленные теорией Фурье.Как уже упоминалось, двухмерная графическая операция над квадратными изображениями совместима с анализом Фурье.
Компактификация плоскости до сферы определяет измерение, основанное на положительности отражения. Изобразительная согласованность на сфере означает, что преобразование Фурье унитарно. Многие другие результаты анализа Фурье переносятся на изображения.
Фримен Дайсон описал два типа математиков: птиц и лягушек (17). Они занимаются математикой по-разному.Птицы летают между разными областями с объединяющими идеями, как Юрий Манин в его книге Математика как метафора (18). Лягушки разбирают детали, чтобы добиться большей глубины понимания. На самом деле, неплохо попытаться охватить обе метафоры! В нашей истории о языке изображений можно найти оба этих ингредиента. Когда мы начинали с квантовой информации, мы в конечном итоге путешествовали по красочному ландшафту математики.
В нашем контексте языка птица летает вперед и назад, чтобы открыть для себя новые R s, L s и S s.Лягушка использует S , чтобы понять некоторые важные проблемы. Форма изображений дает ключевые подсказки и идеи для поиска этих связей. В популярной статье Питера Руэлла язык изображений описан как математика, подобная лего (19).
Авторы начали наше сотрудничество 2 года назад, в конце июля 2015 года, с большого обсуждения в Гарварде. Наша первая цель состояла в том, чтобы понять положительность отражения для парафермионов (20, 21) в наглядном виде (15). Если мы назовем эту математическую задачу R 1 , то это привело нас к определению языка изображений L 1 , который мы называем плоской параалгеброй.Это обобщение плоской алгебры, но с заменой струн заряженными струнами и заменой топологической изотопии пара-изотопией. Карту от L 1 до R 1 мы называем симуляцией S 1 .
В моделировании S 1 мы нашли элементарное объяснение того, что поворот изображений на 90 ° представляет преобразование Фурье и переводит умножение в свертку. Мы использовали этот факт, чтобы дать геометрическое, наглядное доказательство положительности отражения (15).Мы также нашли представление элементарных картинок для d × d унитарных матриц Паули X, Y, Z с собственными значениями qj, где q = e2πi / d и j = 0,1,…, d − 1∈ℤd.
Алекс Возняковски отметил, что наша работа, похоже, связана с квантовой информацией. Это привело к плодотворному сотрудничеству между нами троими, в котором мы использовали язык L 1 для моделирования квантовой коммуникации в математической структуре, которую мы назвали R 2 . Используя это моделирование S 2 , одно изображение, деформированное изотопией в различные формы, моделирует различные концепции квантовой информации.Таким образом мы воспроизвели стандартный протокол телепортации Bennett et al. (22) топологической схемой в L 1 (23). Имея эти концепции, мы могли бы также разработать другие протоколы, включая многосторонние протоколы телепортации (24).
Важным моментом для нашего понимания R 2 было следование графической интуиции. Это привело к поиску естественного кандидата в ресурсное состояние, которое мы назвали | Max⟩. Наша картинка Max в L 1 для запутанного состояния | Max⟩ проста и естественна, а также предполагает запутанность в живописной манере.Наше двухстрочное изображение для | Max⟩n (с n кудитами):
Алгебраическая формула для моделирования S 2 Max n в R 2 : | Max⟩n = 1d (n − 1) / 2∑ | k → | = 0 | k → ⟩n, [3] где мы называем | k → | = k1 + ⋯ + kn полным зарядом в ℤd. Он включает dn − 1 членов для состояния ресурса с n кудитами, поэтому с алгебраической точки зрения моделирование Max n является сложным (23).
Затем мы покинули Массачусетс, чтобы провести 4 месяца в Исследовательском институте математики (FIM) в Высшей технической школе Eidgenössische (ETH) в Цюрихе, Швейцария.
Наконец-то у нас было время приступить к записи этих результатов (15), а также более поздних результатов (23, 24). Затем мы узнали, что Greenberger et al. (25) задолго до этого ввели еще одно многокубитное ресурсное состояние в квантовую информацию. Это состояние | GHZ⟩ оказывается алгебраически проще, так как оно представляет собой сумму только d членов, независимо от количества кубитов n, | GHZ⟩n = 1d1 / 2∑k∈Zd | k, k,…, k⟩ п. [4] И | Max⟩, и | GHZ⟩ обобщают состояния Белла, и у них есть некоторые очень похожие свойства.Это привело нас в конечном итоге к наблюдению, что | GHZ⟩ и | Max⟩ связаны изменением базиса – фактически преобразованием Фурье на ℤd, | Max⟩n = F⊗n | GHZ⟩n. [5] Чтобы понять это дальше , мы были заинтригованы нашим обобщением «отображения Китаева» от Майорана до спиновых матриц Паули X, Y, Z. Мы обнаружили естественное обобщение для представления одного кудита в виде пары нейтральный парафермион / антипарафермион (15). Нейтральность обеспечивает элегантный способ уменьшить d2-мерное пространство состояний для двух виртуальных парафермионов до правильного d-мерного пространства для одного реального кудита.Он включал введение «четырехструнного» плоского языка L 2 для описания одного кудита и соответствующее моделирование S 3 L 2 = R 3 . Модель R 3 содержит d реальных и d2 − d виртуальных однокудитных состояний. Представления матриц qudit Pauli X, Y, Z нейтральны, поэтому они действуют в нейтральном (действительном) подпространстве d измерений. Другой намек на то, что ключ к нейтральности заключается в том, что SFT равно дискретному преобразованию Фурье в нейтральном подпространстве L 2 .
Однако язык L 2 и моделирование S 3 создают проблему для описания более чем одного кудита. Плетение заряженных ниток из разных кудитов нарушает нейтральность отдельных возбуждений. Это позволило бы переходить из реального пространства n-qudit размерности dn в виртуальное пространство n-qudit размерности d2n. Таким образом, препятствие к описанию состояний мультикудитов сводилось к вопросу: как можно гарантировать, что реальные мультикудитные состояния эволюционируют в реальные мультикудитные состояния? Когда мы встретились с Даниэлем Лоссом в Базеле, мы обнаружили, что он тоже обдумывает этот вопрос.Мы не сразу нашли ответ.
После Цюриха у нас была возможность провести 6 недель, посетив два института в Бонне. Мы нашли ответ на загадку, описанную в ETH Zurich в июне 2016 года, возможно, вдохновившись работой в бывшем офисе Фрица Хирцебруха в Институте математики Макса Планка.
За это время мы встретили еще два намёка на L 2 . Во-первых, алгебра Фробениуса для m-интервального подфактора Джонса – Вассермана в CFT (26) имеет вид γ = ⊕X → dim (X →) X →.[6] Здесь X → = X1⊗ ⋯ ⊗Xm, тензор простых объектов в модулярной тензорной категории (MTC) (8), а dim (X →) – кратность 1 в X →. Эта формула совпадает с | Max⟩ для группы Zd, но имеет совершенно другой смысл. Во-вторых, мы изучили соотношения для бифробениусовских алгебр в рукописи для ref. 27, которым один из авторов поделился с Алексом Возняковским.
Построение субфакторов Джонса – Вассермана для MTC требует расширения изображений из 2D в 3D пространство.Здесь совпадение | Max⟩ и γ объясняется двойственностью m − n (28). Переход от 2D к 3D также дает естественное объяснение отношения алгебр бифробениуса.
Последней частью решения головоломки стало добавление трех коллекторов к этим трехмерным изображениям; это было вдохновлено TQFT. Наконец, мы объединили все эти идеи, сформулировав язык трехмерных квонов L 3 и симуляцию S 4 квантовой информации. Более того, мы расширили наш подход с Zd-симметрии до MTC на основе работы о субфакторе Джонса – Вассермана.
Мы разработали L 3 , используя идеи из различных R s: квантовая информация, теория субфакторов, TQFT и CFT. Поэтому мы ожидали смоделировать эти R s, используя L 3 , а также другие.
На языке квонов отношение алгебры бифробениуса имеет топологическую интерпретацию. Оба изображения | Max⟩ и | GHZ⟩ представлены отдельными изображениями Max и GHZ, где одно изображение представляет собой поворот другого на 90 °. Алгебраически одно состояние ресурса является преобразованием Фурье другого.Более того, сложное состояние ресурса | Max⟩ может быть вычислено, используя его отношение к элементарному состоянию ресурса | GHZ⟩. Для трех кудитов изображения состояний квонов – это просто вращения друг друга, как показано в [7]
. Кроме того, язык квонов элегантно выражает в изображениях двойственность между ортонормированными базисами для матриц Паули X и Z, так что можно начать представьте себе картинки, описывающие квантовые координаты.
Нашим первым открытием S 4 была топологическая природа вентилей Фейнмана или квантово-управляемого НЕ (CNOT).На рис. 2, нарисованном Лусой Жегловой, представлено наше представление протокола квантовой телепортации. Он иллюстрирует классическое общение на переднем плане. На заднем плане он показывает квонное представление состояния Белла, вентиль CNOT, преобразование Фурье, измерения и матрицы Паули (соответствующие карте Китаева), используемые в карте восстановления. Вместе они дают широко используемый протокол квантовой телепортации Bennett et al. (22) и иллюстрируют его элегантную трехмерную топологическую интерпретацию.Подробности можно найти в исх. 1.
Рис. 2.Трехмерное представление квантовой телепортации. Изображение предоставлено Лусой Жегловой.
Этот квонный язык L 3 давал возможность собирать идеи и обдумывать их значение. Стало очевидно, что квонный язык L 3 важен сам по себе, поскольку он может иметь приложения в других областях математики и физики, помимо квантовой информации. Кроме того, алгебраическое тождество между | GHZ⟩ и | Max⟩, заданное вращением диаграмм, может дать представление о других предметах с помощью других симуляций.
Что означает это интересное алгебраическое тождество? На самом деле это формула Верлинде. Математически можно обобщить графическую конструкцию, чтобы определить GHZ и Max на поверхностях более высокого рода. Тогда наглядная двойственность Фурье между GHZ и Max приводит к обобщенной формуле Верлинде (29) для любого MTC на поверхности рода g: Maxn, g = 𝔉S⊗nGHZn, g, ⟹dim (k →, g) = ∑k (∏ i = 1nSki, k) Sk, 02−n−2g. Здесь в первой строке n – количество квонов, 𝔉S – SFT, а во второй строке k → = (k1, k2,…, kn) – это проколы (или отмеченные точки) на поверхности рода g, S – модулярное преобразование, а dim – размерность ассоциированного пространства (модулей).
Эта наглядная двойственность Фурье также совпадает с двойственностью графов на сфере. Двойственный граф тетраэдра также является тетраэдром. Применяя язык квонов к этой графической двойственности, мы получаем общее алгебраическое тождество Ур. 8 для самодуальности символа 6j. С X¯, обозначающим двойственный объект к X в MTC, | (X6X3X5X2X4X1) | 2 = ∑Y → (∏k = 16SXkYk) | (Y1Y2Y3Y4Y5Y6) | 2. [8] В частном случае квантового SU (2), это было открыто Барреттом (30) на основе интересного тождества Робертса (31).Общая формулировка и доказательство уравнения. 8 находится в разделе 6 исх. 32.
Для каждого графа на поверхности графическая двойственность дает новую алгебраическую идентичность для MTC на языке квонов. Большинство этих идентичностей имеют виртуальное значение. Каждый граф также можно рассматривать как линейное функциональное обобщающее интегрирование. Изображения обобщают символ ∫ и фиксируют дополнительные графические взаимосвязи, такие как двойственность графа, упомянутая выше. Было бы интересно разобраться в этих новых идентификаторах и интеграции в некоторых новых R .
Прогрессия
R 1 → L 1 → R 2 → L 2 → R 3 → L 3 → R 4 наводит на мысль, что впереди гораздо больше на будущее. Каждый прогресс был вдохновлен идеями предыдущего шага. Мы ожидаем, что эта последовательность будет продолжена. Мы предоставляем несколько возможных R s в часах моделирования!
Из нашего путешествия с картинками мы узнали, что сосредоточение внимания на самом языке картинок очень плодотворно.Здесь мы собираем несколько вопросов на будущее. Примером может служить язык quon, но мы оставляем открытой возможность иметь много полезных языков.
i ) Как далеко можно понять математическую двойственность с точки зрения двойственности изображений? Например, в какой степени можно понять дальнейшие свойства дуальности Фурье или зеркальной симметрии?
ii ) Многие современные языки изображений имеют дело с дискретными комбинаторными или топологическими данными.Большой вопрос: как построить теорию континуума из этих картинок? Тогда можно спросить, как можно понять непрерывные симметрии, такие как инвариантность вращения, в терминах языка изображений.
iii ) Многие люди изучали изображения с точки зрения топологии и алгебры. Как далеко можно зайти, чтобы понять другой аспект: анализ картинок?
iv ) Можно ли построить CFT из унитарного MTC?
i ) Какое семейство математических понятий в R является графическим?
ii ) Учитывая симметрии и связанные идентичности в R , которые хотелось бы понять, можно ли найти изображения в L , которые отражают эти симметрии?
iii ) Можно ли идентифицировать идентичности в R с точки зрения элементарных операций над изображениями в L , например, с помощью топологической изотопии?
iv ) Можем ли мы провести расчеты для R в L без использования R ? В этом случае мы говорим, что язык L завершен.Полные взаимосвязи изображений могут потребовать виртуальных концепций, которые не имеют смысла в R.
v ) В идеале реальные концепции в R могут быть представлены простыми изображениями в L. Однако, если есть являются ли виртуальные изображения в L , можно ли найти другие R и S , чтобы виртуальные изображения стали реальными? Эта ситуация приводит к отношениям между разными субъектами.
i ) Как определить новый язык изображений? Основное ограничение – последовательность. Необходимо ввести аксиомы, совместимые с графической интуицией. Иногда требуются дополнительные аксиомы, мотивированные требованиями, извлеченными из R.
ii ) Как построить примеры языка изображений, возможно, используя один из следующих методов? ( i ) Найдите L из R. ( ii ) Получите новые примеры из известных.( iii ) Создавайте примеры абстрактно.
iii ) Как можно изучать картинки, используя аксиомы, как в евклидовой геометрии? Таким образом, можно задавать вопросы о языке, исходя из его собственных интересов.
iv ) После определения графического языка L абстрактным способом, как можно использовать этот язык для моделирования интересной математики? Например, есть ли CFT, связанный с подфактором Haagerup (33)?
i ) Мы видели, что вентиль CNOT в квантовой информации (проиллюстрирован здесь на языке квонов) имеет графическую интерпретацию. Еще один важный элемент квантовой информации – ворота Тоффоли. Топологичен ли вентиль Тоффоли?
ii ) На языке quon один иллюстрирует qudit трехмерным изображением, где направления координат Z и X играют особую роль. Есть ли представление кудита в виде (3 + 1) D-изображения, в котором три алгебры Фробениуса, связанные с X , Y , Z , представлены изображениями в трех ортогональных направлениях, и так, что ассоциативность становится трехмерной? топологическая изотопия?
iii ) Биамонте задал другие вопросы о квантовой информации в исх.34, в том числе наглядное понимание теоремы Готтесмана – Книлла.
iv ) Существует ли графический язык с графическими представлениями дифференцирования, обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных?
v ) Диаграммы Фейнмана дают изображения для полиномов Эрмита для данного гауссова. Есть ли подобное понимание всех гауссианов, преобразований Фурье и их полиномов Эрмита?
vi ) Имеет ли графическая решеточная модель континуальный предел как интересная квантовая теория поля? Если задействована позитивность отражения, можно ли сохранить позитивность на каждом шаге приближения и построения предела?
vii ) Двойственность Крамерса – Ванье позволяет вычислить критическую температуру для 2D-модели Изинга.Существует ли двойственность, позволяющая вычислить критическую температуру графической статистической модели или ее теоретический предел? Является ли предел CFT при критической температуре?
Мы благодарны Лусе Жегловой за использование ее рисунка. Мы благодарим программу «Операторные алгебры: субфакторы и их приложения» (OAS) Математического института Исаака Ньютона за гостеприимство. Это исследование было частично поддержано грантами TRT0080 и TRT0159 от Templeton Religion Trust.
Автор: A.M.J. и З.Л. разработал исследование, провел исследование и написал статью.
Рецензенты: J.D.B., Сколковский институт науки и технологий; J.E., Математика для Америки; и А.В., Университет Ньюкасла.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
↵ ∗ Аргумент зависит от теоремы о вписанном угле: три точки B, D, C на окружности определяют угол BDC = θ, а угол BOC = ψ, где O – центр окружности.Тогда всегда 2θ = ψ. Доказательство состоит в следующем: в частном случае, когда BD проходит через O, симметрия показывает, что треугольник COD равнобедренный. Поскольку сумма углов в треугольнике равна π, 2θ и ψ дополняют один и тот же угол, поэтому 2θ = ψ. Затем следует общий случай, проводя диаметр через BO и рассматривая сумму или разность двух частных случаев.
Это статья в открытом доступе, распространяемая по лицензии PNAS.
Когда я был в детстве, наш учитель математики говорил, что математика используется везде. И конечно, мы смеялись над этим. Теперь, как взрослый человек, я понимаю, почему они всем это рассказывают. Вы не поверите, но математика используется даже в фотографии, и, что более важно, она играет ОГРОМНУЮ роль, когда дело доходит до экспозиции изображения.
Math отлично подходит для определения ваших настроек ISO, настроек диафрагмы, а также некоторых других факторов, которые мы упомянем в статье.Итак, давайте посмотрим, как вы можете использовать математику в следующий раз, когда выйдете и сделаете несколько фотографий.
Мы все знаем о дробях, не так ли? Я имею в виду, что это одна из основных вещей, которую должен знать фотограф. Причина, по которой я говорю это, заключается в том, что существует правило третей, которое используется для правильной композиции фотографий.
Если мы разделим нашу фотографию на трети, мы можем получить сетку с размерами 3 × 3 – 3 вертикальных и трех горизонтальных трети. Поскольку у нас теперь всего 9 прямоугольников, это правило также можно назвать Правилом девяти.
Основная идея этого правила – использовать линии для размещения важных объектов на фотографии в местах пересечения этих линий. К счастью, у большинства камер с ЖК-дисплеем есть возможность включить сетку, так что вы можете в значительной степени использовать дроби в своих интересах. Самое замечательное в этих линиях то, что вы можете расположить их точку пересечения на любом предмете или части предмета, какой захотите!
Если вы хотите подчеркнуть глаза, просто используйте одну из точек пересечения и разместите ее там.В следующий раз, когда вы подумаете о дробях, просто запомните это основное правило фотографии. Он может кардинально изменить тон и качество ваших фотографий.
ISO – одна из самых важных переменных камеры для правильной экспозиции фотографии. Это одна из наиболее распространенных математических и фотографических задач, поскольку она может увеличивать или уменьшать зернистость фотографии в зависимости от значения.
ISO – это прямая мера чувствительности камеры к свету. При высоких настройках ISO камера более чувствительна, и наоборот.
Давайте взглянем на некоторые из наиболее распространенных значений ISO:
ISO 100, 200, 400, 800, 1600…
Вы видите закономерность?
Это называется геометрической прогрессией . Геометрическая прогрессия означает, что эти числа следуют определенной схеме при переходе к большему числу. И я могу поспорить, что вы уже видите закономерность. Но, прежде чем шаблон можно будет создать, должен быть БАЗОВЫЙ ISO, который определяется самой камерой.
Обычно это база 50, 100 или 200.А когда у нас есть база, можно начинать геометрическую прогрессию.
Базовый ISO 50 будет иметь следующую геометрическую прогрессию: ISO 50, 100, 200, 400, 800, 1600…
Базовый ISO 100 будет иметь что-то вроде этого: ISO 100, 200, 400, 800, 1600…
И, наконец, ISO 200 будет таким: ISO 200, 400, 800, 1600, 3200…
Означает ли это, что фотография, сделанная с ISO 400, в четыре раза менее яркая, чем фотография, сделанная с ISO 1600?
ДА! Каждое следующее значение ISO в два раза сильнее предыдущего, что делает эту геометрическую прогрессию очень полезной в фотографии.
Если вы поняли основные математические принципы настройки ISO, теперь пора переходить к более сложным вещам. Настройки диафрагмы – это то, что беспокоит многих начинающих фотографов.
Обычно они устанавливают большее число и рассчитывают получить большую апертуру, но на самом деле все наоборот.
Больше всего сбивает с толку то, что рядом с каждым числом стоит буква «f», и эта буква является символом F-Stop. По сути, мы можем позвонить на каждый номер рядом с буквой «f» как номер «F-Stop».’
Снова давайте посмотрим на типичные числа F-Stop:
f / 1,4 , f / 2, f / 2,8 , f / 4, f / 6 , f / 8…
Просто возьмите внимательно посмотрите на цифры. В отличие от настроек ISO, отверстия диафрагмы удваиваются на каждом втором числе. У нас есть f / 1,4, а затем f / 2, но следующее число – f / 2,8, то есть f / (1,4 * 2). Если число больше, диафрагма не так сильно открывается. А наименьшее число означает, что диафрагма полностью открыта, в данном случае f / 1.4.
Числа диафрагмы F-Stop также следуют геометрической прогрессии, но с другим рисунком.
Эти значения f тесно связаны с диаметром отверстия диафрагмы. Наименьшее f-число – f / 1,4, что на самом деле является квадратным корнем из 2, что делает его основой для других значений.
Например, у нас есть радиус 1. И если мы увеличим радиус апертуры до 1,4, мы получим круг с площадью в два раза больше, чем у предыдущего, несмотря на то, что увеличение составляет всего 40%.Но когда мы вычисляем площадь круга, у нас есть радиус в квадрате по известной формуле:
A = πr 2
Если мы возьмем Радиус и дадим ему значение 1,4, а затем возводим его в квадрат и получаем значение 1,96, что составляет почти 2. Теперь взглянем на типичные числа f выше. У нас f / 1,4, а затем f / 2. Эти два числа представляют собой самые низкие отверстия диафрагмы, и они представляют собой основу для других настроек диафрагмы:
1,4 2 = 1.96 = 2 , 2 * 1,4 = 2,8 , 2,8 * 1,4 = 3,94 = 4 и т. Д.
Это еще один способ вычислить ваше число диафрагмы. Фокусное расстояние объектива определяется типом объектива. Обычно у нас есть до 28 мм для широкоугольного объектива, до 55 мм для стандартного объектива и до 200 мм для телеобъектива.
Диаметр апертуры – это то, что мы упоминали ранее. И в соответствии с этим вы можете рассчитать число диафрагмы для вашего объектива.
Выдержка также является одной из настроек треугольника экспозиции, наряду с настройками диафрагмы и ISO. Эта скорость измеряется в секундах или долях секунд, и это мера того, как долго затвор будет оставаться открытым после того, как вы его активируете.
Если выдержка меньше, он открывается и закрывается немного медленнее, пропуская больше света. А если скорость выше, она откроется ненадолго, прежде чем закроется. Давайте посмотрим на типичные значения выдержки:
1, 1/2, 1/4, 1,8, 1/15,… 1/1000, 1/2000, 1/5000
Опять же, у нас есть геометрическая прогрессия, которая мы упоминали несколько раз.Как мы видим, нижняя часть каждой фракции всегда удваивается. У нас есть основание 1, а затем 1/2, сразу удвоенная до 1/4.
Если мы присмотримся внимательнее, то увидим, что 1/8 не является точным удвоением, а за ней следует 1/15. Это сделано намеренно, чтобы было легче удвоить 1/15 до 1/30, от 1/30 до 1/60 и т. Д.
Скорости в диапазоне от 1 до 1/30 с обозначены как МЕДЛЕННЫЕ выдержки.
Выдержки от 1/60 до 1/250 – СРЕДНИЕ выдержки для повседневного использования.
Наконец, скорости от 1/500 до 1/5000 – это БЫСТРЫЕ выдержки для движущихся объектов.
Мы объясним это быстро. Баланс белого зависит от цветовой температуры, которая может быть теплой или холодной. А для тех, кто не знал, проблемы с балансом белого обычно носят математический характер. Цветовая температура выражается в градусах Кельвина (K), и существует специальная шкала температур, которая сообщает нам, какие цвета теплые, а какие холодные.
Цвета с низким значением Кельвина – теплые цвета, а цвета с более высоким значением Кельвина – холодными.
Обычно цветовая температура неба от 10000 до 15000 К, а средний дневной свет где-то между 5500 и 6500 К. И если мы сравним это, скажем, с пламенем свечи (от 1000 до 2000 К), мы можем вижу резкую разницу.
К счастью, вам не придется иметь дело со всеми этими числами при выборе значения в настройках камеры. Эти значения всегда будут называться «Флуоресцентный, Облачно, Лампа накаливания и т. Д.». И вы всегда можете выбрать одно из них в зависимости от вашей среды и условий освещения.
Математика – одна из древнейших областей науки, с помощью которой можно описать все происходящие вокруг нас процессы!
В фотографии математика – одна из самых важных вещей, поскольку большинство настроек камеры напрямую связаны с различными математическими правилами. Фактически, в фотографии используется еще больше математических формул, и некоторые из них также используются в производственном процессе.
Целью этой статьи было выяснить, является ли математика важной частью фотографии, и так оно и есть.
К счастью, обычному пользователю и даже профессиональным фотографам не нужно делать никаких математических расчетов при фотографировании. Современные камеры имеют упрощенный интерфейс, который позволяет нам легко использовать настройки камеры. Но я также предлагаю прочитать наше руководство об идеальных настройках камеры для студийной фотографии, где вы можете узнать настройки камеры для разных типов фотографии.
На сегодня математики хватит!
Мы можем помочь нашим детям познать математику в реальном мире, предоставив тысячи и тысячи опытов с реальными объектами в физическом мире.Но что дальше?
На прошлой неделе мы сосредоточились на том, чтобы дать детям возможность познакомиться с реальным жизненным опытом посредством целенаправленных математических разговоров, встроенных в вашу повседневную жизнь. Даже когда вы продвигаетесь через этапы развития навыков решения проблем на раннем этапе, не пренебрегайте этими разговорами! Темы разговора могут меняться по мере того, как ваш ребенок овладевает определенными навыками, но каждый разговор, посвященный математике, который вы ведете, укрепляет его понимание математики и расширяет его опыт общения с реальными объектами в физическом мире.
Следующий этап решения проблемы включает использование того, что мы называем количественными картинками. Звучит модно, но количественные картинки – это просто картинка, в которой есть что посчитать! Вы можете использовать изображение из раздела «Скрытые изображения» журнала Highlights (если оно у вас есть, или вы можете получить несколько бесплатно онлайн: https://www.highlightskids.com/games), или вы можете использовать страницу из книжка-раскраска или любимая книжка с картинками. National Geographic даже имеет фотографии животных и вещей в природе, которые можно пересчитать.
Задавать вопросы о реальных жизненных ситуацияхОдин из моих любимых ресурсов – книга моих друзей Чара Форстена и Тори Ричардс под названием Math Talks . Многие наши учителя используют и любят эту книгу. К сожалению, она уже некоторое время не издается, но мы очень рады сообщить, что обладаем исключительными правами на цифровую версию этой книги! Вы можете скачать электронную книгу из нашего магазина SIS4Teachers и сразу же использовать ее!
Название этой книги иногда застает людей врасплох, потому что «математические разговоры» очень похожи на «числовые разговоры», о которых мы говорим.Конечно, оба типа переговоров имеют дело с числами, но по-разному. В математических беседах используются реальные картинки в количественном отношении и используются различные типы вопросов (от начальных до сложных), чтобы помочь учащимся думать о числах.
Для наших самых маленьких учеников вопросы о количественной картине могут быть очень простыми: что вы замечаете? Сколько детей вы видите? Наши продвинутые ученики могли бы посмотреть на ту же картинку, и мы могли бы задать более сложные вопросы: если бы еще двое детей присоединились к этим детям на пляже, сколько их было бы?
В Math Talk вы не только получаете большой выбор полноцветных изображений и ряд вопросов по ним, но и получаете черно-белую версию изображения, которая почти как раскраска.Это замечательно, если вы хотите, чтобы ученики буквально взаимодействовали с картинкой, раскрашивая различные объекты, о которых вы задаете вопросы.
Использование количественных изображенийВ этих видео я покажу вам, как можно использовать количественные изображения, чтобы помочь учащимся всех возрастов воплотить в жизнь задачи со словами! Я буду использовать два примера из Math Talks , В яблоневом саду и на пляже, и вы сможете увидеть, как можно использовать одну картинку для действительно широкого круга учащихся, просто варьируя вопросы. от начального до среднего, продвинутого и, наконец, более сложного.
Загрузить в Apple Orchard: bit.ly/AttheOrchard
Скачать на пляже: bit.ly/SISAttheBeach
Мне нравится отображать свои количественные фотографии на документ-камере или даже на интеллектуальной доске, чтобы мы могли взаимодействовать с ними по-разному, в зависимости от уровня учащихся. Младшим ученикам, возможно, нужно просто подойти и потрогать и считать. Дети постарше могут начать рисовать или обводить объекты на картинке, если вы делаете это в классе.
Это отличная возможность попрактиковаться и поработать над некоторыми словарными словами! В зависимости от того, в каком классе вы учитесь, слова-указатели хорошо сочетаются с количественными картинками. Говорите об объектах, которые находятся выше или ниже, рядом, позади и т. Д. Используйте множество прилагательных для описания физических характеристик объектов, на которые вы смотрите – большие, маленькие, круглые, плоские и т. Д., А также сравнительные прилагательные – большие , больше, больше.
После раннего детстваНесмотря на то, что Math Talks содержит примеры вопросов, это не единственные вопросы, которые вы можете задать о картинке! Применяя различные математические концепции – сложение части / части / целого, умножения, деления, дроби и т. Д., вы можете расширить использование количественной картины за пределы раннего детства. Немного попрактиковавшись (и несколько примеров вопросов в качестве руководства!), Вы сможете применить любую концепцию, которую вы преподаете в математике, к количественной картине!
Следующие шагиКак только учащиеся будут уверены и комфортно изучать количественные математические картинки в реальных жизненных ситуациях, мы хотим посмотреть, как мы можем вывести эту последовательность решения проблем на более практический уровень, на котором дети разыгрывают задачу с помощью конкретных предметов. создайте графическое представление, а затем запишите его в абстрактном уравнении.Присоединяйтесь к нам на следующей неделе, чтобы поговорить о том, как мы это делаем с циновками рассказов!
В математических учебных кругах много говорят о силе , замечая и , задаваясь вопросом . И (простите за каламбур) это неудивительно! Когда мы просим учеников-математиков замечать и удивляться, мы переносим акцент с объяснений учителей на идеи учеников. Наблюдать (замечать) и задавать вопросы (удивляться) – простые и мощные привычки, которые оживляют и обогащают каждый аспект обучения.Для учителя они поддерживают формативную оценку, дизайн урока, дискурс в классе, дифференциацию и потенциал для большей строгости. У ученика они развивают уверенность в себе, любопытство, настойчивость, умение решать проблемы, концептуальное понимание и рассуждение.
Не кажется ли вам странным, что такая простая идея имеет такой большой потенциал? Попытайся! По мере того, как вы и ваши ученики проводите больше времени, наблюдая, задавая вопросы и создавая, вы развиваете новые привычки ума, которые изменяют среду обучения, приводя к более продуктивным убеждениям о математике и о том, как мы ее изучаем.
Итак, с чего начать? Забавный и практичный подход – начать с Creative Math Prompts . Это просто изображения, иногда очень простые, которые вы показываете студентам, чтобы вызвать их наблюдения и вопросы. Подобные изображения открывают простор для математического творчества. Ближайшая цель проста – научить студентов свободно выражать свои мысли и понимать, что их идеи имеют значение. В конечном итоге вам хотелось бы, чтобы привычки замечать, удивляться и творить выходили за рамки подсказок и стали повседневной частью вашего обучения и мышления ваших учеников.
Имейте в виду, что в соответствии с темой этого веб-сайта, Creative Math Prompts , представленные ниже, разработаны для опытных учащихся. Однако подобные подсказки подходят всем учащимся, и я рекомендую вам попробовать их с другими! Вы обнаружите студентов, чьи математические способности и творческий потенциал расцветают, хотя их сильные стороны могут не проявляться в традиционных задачах и оценках. Если вы обнаружите, что некоторые подсказки слишком сложны или сложны, вы обычно можете изменить их в соответствии с другими потребностями.Всем учащимся полезно замечать, удивляться и творить!
Ознакомьтесь с советами и предложениями для Использование творческих подсказок .
См. Руководство по содержанию CMP , чтобы помочь вам согласовать подсказки по творческой математике с содержанием, которое вы преподаете.
Щелкните изображение, чтобы получить дополнительную информацию о подсказке.
Попросите учащихся нарисовать картинки, чтобы изобразить
творится в слове проблема. Студенты могут рисовать реальные объекты
от задачи (например, 3 рубашки, сад 6 на 12 футов
сюжет и др.), или они могут представлять объекты с галочками
или точки.| Развивайте воображение студентов, предлагая
числовое предложение, например, 6 +4 или 5 (12 X 5), и наличие их
придумайте сюжетную задачу для этого числового предложения. | Включите действия по решению проблем, используя
карты, диаграммы, графики и таблицы для улучшения знаний учащихся
использование визуальных / пространственных материалов.Например, пусть студенты
рассчитать расстояния поездок учащихся в классе,
затем отобразите эту информацию в виде графика или таблицы. | Вовлекайте учащихся в составление прогнозов в
ситуации, в которых визуализация может помочь в решении проблем. Для
например, «Если я положу три зеленых шарика и один красный шарик
в сумке вытащите одну, какого цвета мрамор я скорее всего
получить'” | Помогите студентам попрактиковаться в манипулировании
образы в их сознании, чтобы решить проблему.Например,
предоставить учащимся разнообразные формы из соединенных
квадраты, часть из которых можно сложить, образуя открытую коробку. Просить
студенты, чтобы найти формы, которые сделают открытый ящик. Студенты
потребуется визуализировать ожидаемые результаты, чтобы решить
эта проблема. Многим может потребоваться развить способность визуализировать
делая вырезанные модели и собственно складывая их.(Адаптировано
из Brumbaugh, Ashe, Ashe & Rock, 1997). | |
Эта программа помогает учащимся стать успешными и настойчивыми в решении задач за счет использования нескольких математических навыков и использования нескольких источников знаний.Спрашивая студентов Что вы заметили? Что вам интересно? дает студентам возможность увидеть проблемы в целом и открыть для себя несколько стратегий решения проблемы. Этот распорядок позволяет всем учащимся проникнуть в контекст и вызвать у них любопытство. Учащиеся могут развить уверенность в себе и навыки рефлексии, их заинтересованность растет, и учащиеся понимают, что существует множество различных способов решения проблем. «Когда учащимся предоставляется возможность ставить математические задачи, рассматривать ситуацию и думать о математическом вопросе, который можно задать, – что является сутью настоящей математики, – они становятся более вовлеченными и достигают более высоких уровней» (Boaler, 2016, п.27).
Видео ниже рассказывает о силе спрашивать студентов, что они замечают и удивляются.
Вы когда-нибудь задумывались, что они заметят ?: Энни Феттер © Copyright The Math Forum at NCTM. Стандартная лицензия YouTube. (https://www.youtube.com/watch?v=a-Fth6sOaRA)
Математические практики:
Используемое конкретное задание может расширить возможности математической практики, но в целом эта процедура побудит студентов использовать:
SMP 1: разбираться в проблемах и настойчиво их решать
SMP 2: Обоснование абстрактно и количественно
SMP 3: создавать жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других
SMP 7: Ищите и используйте структуру.
SMP 8: Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях
Учащиеся наблюдают за изображением, видео, графиком или другим стимулом и делятся своими естественными замечаниями и удивлениями. «Замечание и удивление» может быть короткой программой, используемой для активизации мышления учащихся в начале урока, или отдельной программой для поощрения любопытства и математических рассуждений. Поскольку учащимся предлагается вносить в класс свои собственные идеи и вопросы в рамках этого распорядка, регулярное использование этого протокола помогает создать безопасную среду в классе.
Повышение заинтересованности с помощью уведомлений и чудес © Copyright Edutopia. Стандартная лицензия YouTube. (https://www.youtube.com/watch?v=yp0QORzzvSs)
Покажите студентам сценарий, изображение, набор данных, проблемную ситуацию или словесную основу проблемы с удаленным вопросом. Подсказка для студентов: «Что вы заметили? Что тебе интересно? ” Учащиеся тратят несколько минут на то, чтобы записать то, что они замечают, и то, что им интересно.При первой реализации этой стратегии подход с двумя столбцами поможет учащимся различать замечание (утверждение) и удивление (вопрос). После того, как учащиеся смогут записать свои ответы, попросите учащихся рассказать о том, что они заметили. Пока студенты делятся своими мыслями, записывайте их мысли, чтобы все могли их увидеть. Сделайте паузу, чтобы дать возможность внести свой вклад как можно большему числу студентов. Запишите все предложения студентов. Избегайте похвалы, повторения, уточнения и вопросов. Не судите о «правильности» отзывов.Позднее обсуждение изменит мышление по мере необходимости. После того, как ученики поделятся тем, что они замечают, попросите учеников поделиться своими чудесами, повторив описанный выше процесс. Как только учащиеся смогут поделиться своими чудесами, выберите следующий шаг в зависимости от желаемого результата урока. Учитель может направить разговор на размышления о чем-то математическом, на чем собирается сосредоточиться класс, но также может оставить его более открытым и позволить ученикам выбрать вопрос из списка интересующихся вопросов, чтобы изучить их самостоятельно или вместе с партнерами.
Вот несколько видео с Teaching Channel для учителей, использующих Notice & Wonder:
2-й класс – задача с бесчисленными словами
4-й класс – использование изображения
Согласно Национальной оценке успеваемости 2015 года, две трети восьмиклассников достигли базового или ниже базового уровня владения математикой.Кроме того, более 90 процентов восьмиклассников с ограниченными возможностями достигли базового или ниже базового уровня владения математикой. Эти статистические данные подчеркивают важность серьезной педагогической практики для поддержки учащихся, испытывающих трудности в математике, и учащихся с ограниченными возможностями обучения.
Основываясь на нашем обзоре исследований в этой области, эффективная практика преподавания математики часто включает стратегии, которые включают:
Наши библиотекари недавно собрали эти легкодоступные, основанные на исследованиях ресурсы, которые дают учителям представление о том, что работает при обучении математике учащихся, испытывающих трудности, и учащихся с ограниченными возможностями обучения.
Это практическое руководство содержит восемь рекомендаций, которые помогут учителям, директорам и школьным администраторам выявить учащихся, нуждающихся в помощи по математике, и удовлетворить потребности этих учащихся с помощью целенаправленных мероприятий. Каждая рекомендация содержит практические предложения по реализации.
Интенсивное вмешательство – это индивидуальный, требовательный и концентрированный подход к обучению. В этой статье представлены основанные на фактах элементы интенсивного вмешательства, которые учителя должны учитывать при планировании, реализации и мониторинге интенсивного вмешательства в математику.
В этом отчете подробно описывается практика в шести школах, которые прилагают целенаправленные усилия для улучшения математического образования учащихся с ограниченными возможностями и других учащихся, испытывающих трудности.В нем изучаются методы каждой школы по улучшению усвоения математики всеми учащимися, а также конкретная поддержка учащихся с ограниченными возможностями и других учащихся, испытывающих трудности, и определяются проблемы, с которыми сталкиваются школы, чтобы удовлетворить потребности учащихся с различными потребностями.
В этом руководстве описаны семь эффективных методик преподавания математики учащимся K – 12 с нарушением обучаемости, которые были выявлены в синтезе интервенционных исследований Центра обучения, а также включены рекомендации из «Заключительного отчета Национальной консультативной группы по математике».«
Этот документ представляет собой руководство для преподавателей, ищущих новейшие научно обоснованные исследования для повышения вероятности улучшения успеваемости учащихся с математическими ограничениями по математике и для повышения уверенности учителей в эффективности их обучения.
Этот ресурс от Iris Center охватывает несколько основанных на исследованиях стратегий обучения учащихся, испытывающих трудности в математике.Разделы включают подробные инструкции, визуальные представления, инструкции по схемам, метакогнитивные стратегии и эффективные занятия в классе.
В этой статье исследуются характеристики, а также культурные и лингвистические факторы, имеющие отношение к обучению математике учащихся с ограниченными возможностями обучения из языковых меньшинств. Рекомендации и стратегии представлены с уделением внимания уравновешиванию влияния языка, культуры и инвалидности.Конкретные рекомендации относятся к:
В этом кратком ресурсе перечислены концепции и примеры обучения математике, основанные на доказательствах эффективности высококачественных исследований.Вы также можете загрузить прилагаемые 10 основных математических практик для всех средних и старших школ.
В этой статье рассматривается изменяющаяся терминология для обозначения конкретных нарушений обучаемости по математике и описываются новые исследования в области генетики и мозга, которые относятся к людям с нарушениями математики. Важно сохранять перспективу развития математических нарушений, поскольку представление меняется с возрастом, обучением и различными моделями идентификации (образовательными и медицинскими).Вмешательство требует систематического подхода к скринингу и реабилитации, который развивался благодаря большему количеству научно обоснованной литературы.
Эта статья предоставляет учителям специального образования практическое руководство по оценке и оценке степени, в которой программы математики содержат подтвержденные принципы подробного обучения математике.