Обучающие:

• познакомить школьников с новым термином “модель”;
• обсудить, что представляет собой глобус (уменьшенная модель Земли);
• учить находить на глобусе Северный полюс, Южный полюс, Северное полушарие, Южное полушарие;
• выяснить причины смены дня и ночи.

Развивающие:

• развивать связную речь;
• формировать умение рассуждать, доказывать и обосновывать свое высказывание;
• расширять словарный запас;
• развивать внимание, наблюдательность, память;
• формировать умение работать в группах.

Воспитывающие:

• воспитывать позитивное отношение к учению, устойчивый познавательный интерес;
• воспитывать культуру учебного труда;
• воспитывать любовь к природе.

Оборудование и наглядные пособия: видеосюжет, демонстрационный глобус, карманный фонарик, маленький резиновый мячик, спички с отрезанными серными головками, цветные карандаши, учебники, хрестоматии, тетради для самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

I. Организация класса.

Если очень постараться,
Если очень захотеть,
Можно на небо подняться
И до солнца долететь.
И всерьез, не понарошку
Познакомиться с луной,
Погулять на ней немножко
И вернуться вновь домой.

С. Баруздин.

II. Сообщение темы и целей урока.

– Сегодня мы с вами отправляемся в полет на космическом корабле. Как вы думаете, для чего?
– Чтобы ответить на вопросы: “Что мы с вами знаем о Планете Земля и о Солнце?”, “Что такое модель Земли?”, “Почему на Земле день сменяется ночью?”.
– Наш корабль готов к полету. Закройте глаза. Представьте, что ракета несет нас в космос. Теперь откройте глаза и посмотрите, как красиво! (Видеосюжет, любой с изображением Солнца, Земли в движении).

III. Изучение нового.

1. Уточнение знаний учащихся о Земле и о Солнце.

– Что вы знаете о предметах, которые являются отгадками к этим двум загадкам?

Ты весь мир обогреваешь и усталости не знаешь,

Улыбаешься в оконце и зовут тебя все … (Солнце).

Рисунок 1

– Что такое солнце?

(Солнце – ближайшая к Земле звезда. Солнце – огромный раскаленный шар. Оно кажется нам маленьким кружочком на небе, потому что находится очень далеко от земли).

– Что бы еще более точные сведения получить о Солнце нам нужно обратиться к словарику, который находится в конце учебника. Откройте учебник на стр. 126 и прочтите статью о Солнце.

– Что же такое солнце?
– Следующая загадка.

Ни начала, ни конца, ни затылка, ни лица.

Знают все и млад, и стар, что она большущий шар. (Земля).

Рисунок 2

Что вы знаете о Земле?

(Земля – планета, на которой есть жизнь. Земля имеет форму шара. Земля освещается Солнцем. И т.д.).

Чтение статьи из хрестоматии “Наша Земля – шар”, стр. 7-9. (Опора на таблицу).

– Обратимся к словарику. Откройте учебник на стр. 124, прочтите статью “Земля”.

2. Закрепление изученного. Чтение текста в учебнике стр. 17- 18.

ДИНАМИЧЕСКИЙ МОМЕНТ. (Игра “День – ночь”).

3. Уточнение понятий “модель”, “модель Земли”.

– Работа по иллюстрации на стр. 18. Уточнение понятия “модель”. Демонстрация предметов-моделей.

Вывод: модель по внешнему виду похожа на изображаемый предмет, а по величине может быть и больше его, и меньше. Глобус – уменьшенная модель Земли.

Рисунок 3

Чтение статьи из словарика стр. 125.

4. Закрепление знаний учащихся. Выполнение задания № 7 в Тетради для самостоятельной работы. Учащиеся самостоятельно рассматривают рисунки и отмечают галочкой, нарисованные модели, а затем соединяют линиями рисунки предметов и соответствующие модели.

5. Работа в группах. (Ученики могут по желанию не только сидеть, но и стоять около своих рабочих мест).

Учащиеся читают статью в учебнике и словарике – изучают модель Земли – глобус.

– Чтобы представить себе внешний вид Земли, Люди создали её маленькую модель – глобус.

Демонстрация глобуса.

– Эта модель по форме похожа на настоящую Землю. На поверхности глобуса с помощью условных обозначений изображены океаны, моря, крупные озера и реки, горы и равнины. Глобус закреплен на оси. Ось проходит через полюса изображаемой Земли: Северный и Южный.

– Если посмотреть на глобус сверху, то будут видны Северный полюс и Северное полушарие. Россия, наша Родина, находится в Северном полушарии.

– Покажите на глобусе Северный полюс, Южный полюс, Северное полушарие, Южное полушарие.

– Обратите внимание, на то, что глобус вращается вокруг своей оси. Создавая модель Земли, ученые постарались не только как можно точнее передать форму (не размер) Земли, но и её “поведение”. Земля вращается, поэтому и глобус вращается. Но у глобуса есть настоящая ось вращения. А у Земли?

6. Закрепление изученного. Работа в Тетради для самостоятельной работы. (Упр. № 8). Учитель предлагает учащимся положить сверху на каждый рисунок спички по направлению оси вращения каждого из нарисованных предметов. На основе иллюстрации рисунков разводятся понятия “воображаемая” и “настоящая “оси” вращения. (Взаимопроверка и сравнение результатов выполненной работы).

7. Поиск ответа на вопрос “Почему на Земле день сменяется ночью?

– Помните на первом уроке мы с вами читали, как Маша рассказывала брату об оси вращения?
– Покажите на глобусе ось вращения.

(Опыт с мячиком).

– Посмотрите на глобус. Сейчас вы видите ту половину, которая обращена к тебе. Если вы хотите рассмотреть глобус со всех сторон? Медленно повернём его вокруг оси.

Вот так же “смотрит” и Солнце на вращающуюся вокруг своей оси Землю. Но только ось эта – воображаемая.

Земля вращается. Обращенная к солнцу сторона Земли освещена – здесь день. В это время другая сторона Земли повернута от Солнца и не освещена. Там ночь.

Земля продолжает вращаться. На смену ночи приходит день.

Рисунок 4

Земля совершает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа. Это время называют земными сутками. В народе говорят: “день и ночь – сутки прочь”.

8. Проведение опыта с глобусом и фонариком.

9. Закрепление нового материала.

Работа в тетради стр.7, № 10.

IV. Домашнее задание. Х. стр. 10-14, т. стр.5-8., у. Стр. 17-21

V. Итог урока.

В заключительной части урока учитель предлагает учащимся ответить на вопросы, которые были поставлены в начале урока.

Технологическая карта урока окружающего мира по теме” Как изображают Землю. Глобус”

3.                  Поиск решения («открытие» нового знания)

Ребята, что такое глобус? (Глобус – это уменьшенная модель земного шара или другой планеты)

А как изображали или представляли Землю люди в древности? (Дети высказывают свои предположения)

Рассмотрим изображения Земли

Рис. 1. Земля плоская, имеет форму круга и лежит на спинах китов. Так представляли Землю в старину на Руси.

Рис. 2. Древние греки не сомневались, что Земля – диск, омываемый рекой – океаном.

Рис.3. Земля плоский выпуклый круг, которую держат 4 слона, а слоны стоят на огромной черепахе – по представлению древних индусов.

Рис. 4. В Средневековье в Западной Европе ученые думали, что Земля накрыта стеклянным колпаком, на котором укреплены звезды.

Рис. 5. Индейцы Северной Америки были уверены, что мироздание подобно этой статуэтке: Земля – это кит, плывущий среди нескончаемых вод, фигурки мужчины и женщины олицетворяют человечество, а парящий над ними могучий орел – небо.

Это были лишь догадки людей, а какую форму имеет Земля на самом деле? (форма шара)

После открытия Аристотелем шарообразности земли люди стали создавать ее модели – глобусы.

Ребята, а какие бывают глобусы?

Чтобы узнать это, попробуйте прочитать виды глобусов и соотнести их с описаниями

1.     «Глобусы-моряки». Когда – то мореплаватели брали с собой глобусы в далекие и опасные путешествия.

2.     Глобусы-сувениры, которые украшены золотом, серебром, драгоценными металлами.

3.     Есть “глобус-космонавт”. Он установлен на космических кораблях. Небольшой глобус – космонавт во время всего полета кружится без остановки с такой же скоростью, как и Земля. Только взглянет на него командир космического корабля, сразу узнает, над каким океаном или какой страной проносится в эту минуту его космический корабль.

4.     «Глобус звёздного неба» Много разных глобусов есть и теперь. Есть «глобус звездного неба». На нем изображены созвездия и  млечный путь.

5.     Глобус стран мира. Глобусы с неровной поверхностью: все горы, все возвышенности на них выпуклые.

(Выключение экрана)

Как мы уже сказали, что модели похожи формой. Рассмотрим глобус. Обратите внимание, какую форму имеет планета Земля? (Она шарообразная)

Она шарообразная, немного сплюснута у полюсов

А как расположен глобус? (Немного наклонен)

Почему глобус наклонили? (В таком положении Земля летит по орбите вокруг Солнца)

Что изображено на глобусе? ( Материки, океаны, реки, моря, горы, города)

Чем покрыта большая часть поверхности Земли? ( Водой)
Что на глобусе изображено голубым цветом? (Океаны, моря, озера, реки)

Как называются участки суши? ( Материки)

Сколько материков на Земле? Назовите их.  (Северная Америка, Евразия, Южная Америка, Африка, Австралия, Антарктида)

А действительно ли такая маленькая наша планета? (Конечно, нет, наша планета во много раз больше глобуса)

Поэтому материки, города, реки, озёра, моря, океаны, горы как они показаны на глобусе?(Они показаны в уменьшенном виде)

Конечно, моря, горы, реки такие большие, что в натуральную величину их нельзя показать на глобусе или на карте.

При изображении земной поверхности на глобусе используют масштаб.

Что же такое масштаб? ( Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, меньше или больше её действительных размеров)

Масштаб показывает во сколько раз уменьшен объект

Предположим, на глобусе все объекты уменьшены в 50 миллионов раз.

Какой масштаб будет?( 1 : 50 000 000)

Такая запись означает, что одному сантиметру на глобусе соответствует 50 миллионов сантиметров (500 км) на поверхности Земли.

Посмотрите, посередине глобус пересекает горизонтальная линия. Кто-то знает, как она называется? (Она называется экватором)

Что такое экватор?  (Делит земной шар на две части)

Экватор (от позднелат. aequator – уравнитель), линия сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через центр Земли, перпендикулярно оси ее вращения.

Как же называются эти две части? (Их называют полушариями)

Экватор делит Землю на Северное и Южное полушария.

Если мы посмотрим на  глобус – сверху, что мы увидим?  (Северный полюс и  Северное полушарие)

Если мы посмотрим на глобус снизу, что увидим? (Южный полюс и южное полушарие)

Обратите внимание на тончайшую сеть линий, которые покрывают глобус. Для чего же они нужны? (Они нужны для того, чтобы описать положение любой точки на земной поверхности, то есть назвать географический «адрес» этой точки)

Одни круговые линии соединяют Северный и Южный полюсы.

Как называют эти вертикальные линии? (Эти линии называются меридианами. Они указывают направление север-юг. Мысленно путешествуя по любому меридиану мы окажемся  либо на Северном полюсе, либо на Южном.)

А как называются горизонтальные линии? (Линии, которые пересекают меридианы, называют параллелями. Они указывают направление запад-восток )

Можем ли мы увидеть параллели и меридианы на самой Земле? (нет, это воображаемые линии)

Ребята, что же находится внутри глобуса? (Возможно пустота)

Ребята, посмотрите если мы возьмём мяч и покрутим его в любую сторону, что вы наблюдаете? (Мяч вращается)

А вокруг чего он вращается? (Вокруг своей оси)

Земля вращается не только вокруг солнца, но и вокруг своей оси. Но видим ли мы эту ось? (нет)

Если мы точно также попробуем покрутить наш глобус, что вы заметили? (Он тоже вращается)

Что же ему в этом помогает?

Оказывается, внутри нашего глобуса находится стержень, который  воспроизводит земную ось, вокруг которой вращается Земля.

Можно потрогать или увидеть земную ось?(Нет)

На самой Земле нет, и нельзя увидеть и пощупать земную ось. Их можно только вычислить математически

Физкультминутка

На ноге стоит одной,

Крутит – вертит головой.

Нам показывает страны,

Реки, горы, океаны.

Ты как глобус покрутись,

А теперь остановись!

Что такое параллели и меридианы? Географические координаты.

В детстве я никак не могла понять зачем на глобусе нарисованы странные линии. С полной уверенностью в своей правоте, я доказывала одноклассникам, что они настоящие. Однажды мы даже планировали всем первым – Б классом отправиться на их поиск, но, слава Богу, наша учительница разъяснила нам, что к чему. Зачем нам нужны несуществующие полоски ? Давайте разберемся.

Параллель – что это такое

Странные полосы на карте обозначают ни что иное как широту и долготу . Например, давайте представим себя стоящим возле огромного школьного глобуса. Лично у нас в классе он имел не только обозначения параллелей и меридианов, но также подписи всех хулиганов школы и отпечатки детских рук. В общем, не суть. Стержень в школьном земном шаре – это воображаемая ось планеты, которая соединяет противоположные полюса. Так же между ними находиться экватор. На глобусе он часто обозначен как соединение нашей импровизированной планеты по горизонтали. Экваториальная широта обозначается нулем, а выше и ниже располагаются линии с возрастающим показателем. Все параллели отображают свой количественный знак и измеряются в градусах относительно экватора.

Меридианы – обозначение планетарной долготы

И все же, одной широты нам будет недостаточно. Чтобы узнать местонахождение объекта нам нужно знать положение точки относительно других сторон света. Меридиан, обозначенный нулем, проходит через обсерваторию в Гринвиче и разделяет Землю на два полушария – западное и восточное. Все долготы также имеют свое цифровое обозначение и высчитываются в градусах относительно меридиана Гринвича. Мы не раз видели на картах, что они не пересекаются и объединяются только на полюсе.

Обобщим информацию:

• странные полоски на карте обозначают долготу или широту;
  
• экватор – обозначенная нулем широта, разделяет планету на Север и Юг;
  
• меридиан, обозначенный нулем, проходит через Гринвич и разделяет Землю на Запад в Восток;
  
• ось – соединяет противоположные полюса.

Зачем нужны эти странные полоски

Все просто – для ориентации в пределах мира. Любая точка планеты – это просто пересечение параллелей и меридианов, и благодаря этой координатной системе, мы существенно облегчили свою жизнь. Например, работа летчиков была бы очень усложненной без существования параллелей и меридианов.

Работа с текстоми работа с атласом стр.22.

Учащиеся разделяются на группы и отвечают на вопросы.

– Что такое меридианы?

– Как они выглядят и почему они так называются.

– Протяженность меридианов.

– Что такое параллели?

– Почему они так называются, как они выглядят.

– протяженность параллелей.

Учитель: Ребята, что вы узнали о параллелях?

Ответ учащихся.

Параллелями называют линии, условно проведенные по поверхности земли параллельно экватору. Вспоминаем что такое экватор? Показывают на карте и на глобусе. В каждой точке параллель направлена на восток и на запад. Параллели – окружности, длина которых уменьшается от экватора к полюсам. Вспоминают, что такое полюс? Самая длинная параллель – это экватор. Длина его 40 000 км. Все параллели представляют собой окружности, длина которых уменьшается от экватора к полюсам. На карте полушарий параллели кривые линии (дуги), а экватор прямая линия.

Меридианы. В переводе на русский язык слово «Меридиан» означает «полуденная линия». Её направление совпадает с направлением тени от предметов в полдень. Если идти все время по направлению этой тени. То обязательно придешь к северному полюсу, а в обратную сторону – к Южному.

Меридианы – кратчайшие линии, условно проведённые на поверхности земли от одного географического полюса к другому. Все меридианы представляют собой полуокружности, сходятся у полюсов и имеют одинаковую длину. На физической карте полушарий срединный меридиан прямая линия, а остальные дуги.

Учитель: Параллели и меридианы проведены через определённое количество градусов.

Работа с картами и атласами.

Учитель: Экватор найдите на физической карте и на глобусе. На контурной карте обозначьте экватор. Он разделяет земной шар на два полушария (Северное и Южное). Отсчёт параллелей ведётся от экватора. Параллели 10, 20, … 80 градусов Северного или же Южного полушария.

Обозначьте параллель 10 градусов Северного полушария и 20 градусов южного полушария.

Параллели подписаны по кругу на карте полушарий и на меридиане (нулевом) на глобусе.

Учитель: По договорённости между странами начальным меридианом считается меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в пригороде Лондона. Поэтому этот меридиан ещё называют Гринвичским. На карте его показывают более жирной, чем остальные меридианы, линией.

Выделите на карте нулевой меридиан. Он разделяет земной шар на два полушария (Западное и Восточное). Меридианы подписаны на экваторе.

Выполняем задание 43 стр. 36.

Учитель: Для чего же нужны параллели и меридианы?

Учащиеся: Для ориентирования, определять и указывать место различных географических объектов на поверхности Земли.

Учитель: Правильно. Древнегреческий ученый Эратосфен, живший в 276 -194 гг. до н. э., впервые предложил наносить на изображения земной поверхности условные линии – параллели и меридианы.

Определение направлений по меридианам и параллелям.

Учитель: Что нам известно. Какие направления показывают условные линии.

Учащиеся: Параллели – запад, восток.

Меридианы – север, юг.

Учитель: В каждой точке параллель перпендикулярна меридиану. Поэтому, если вы станете на местности лицом к северу, в направлении меридиана, разведете в стороны руки, то они укажут направление параллелей, т.е. запад – восток.

По меридианам и параллелям определяются основные и промежуточные стороны горизонта.

1. В каком направлении от Санкт – Петербурга находится Каир?
2. В каком направлении от Санкт –Петербурга находится Москва?
3. В каком направлении от Москвы находится Красное море.

С помощью условных линий можно определить не только направления, но и указать положение частей территорий, объектов. Чтобы определить, например, северную и южную части Австралии, надо положить на карту указку вдоль параллели, проходящей примерно посредине материка. К северу от указки будет северная часть, а к югу – южная. Как вы определите западную и восточную части Австралии.

«И мелькают города и страны, параллели, меридианы» – поется в песне под названием «Глобус». Но если обозначенные на глобусе города и страны существуют в реальности, то параллели и меридианы – суть объекты воображаемые, нанесенные на глобус или карту исключительно для удобства чтения и ориентирования.

Лучший помощник в ориентировании – это система координат, у которой обязательно должна быть точка отсчета. У Земли (впрочем, такой же принцип можно применить и к любой другой планете или ее спутнику – было бы, для чего) такую воображаемую «нулевую точку» определили с помощью полюсов – точек, через которые проходит ось ее вращения. Северный полюс – объект скорее математический, он находится в Северном Ледовитом океане, а вот Южный полюс – вполне реальная точка на суше, на материке под названием Антарктида, туда можно добраться, там можно сфотографироваться – если не боитесь замерзнуть, конечно…

Так вот, на равном расстоянии от этих самых полюсов, посередине между ними, находится воображаемый «пояс» Земли, делящий планету пополам, на Северное и Южное полушария. Большинство материков находится в каком-то одном из них, и одна только Африка – в обоих. Так вот, экватор – это и есть «точка отсчета», которая считается нулевой широтой. Воображаемые линии, проведенные на карте и глобусе параллельно экватору, называются параллелями.

Широта измеряется в градусах, 1 градус – примерно 111 км. Считают ее от экватора (чем дальше от него, тем больше число: экватор – 0 градусов, полюса – 90 градусов). К северу от экватора отсчитываются градусы северной широты, к югу – восточной долготы. Есть и еще один способ обозначения: к югу от экватора широта записывается со знаком минус (это можно понять: те, кто создавал географическую науку, жили в Северном полушарии, а своя рубашка, как известно, ближе к телу).

Все это, конечно, замечательно, но…

Вспомним роман Ж.Верна «Дети капитана Гранта». Героям, отправившимся на помощь капитану Гранту и его спутникам, выжившим после кораблекрушения, было известно, что место их нахождения – тридцать семь градусов одиннадцать минут южной широты. Чтобы найти их, героям пришлось совершить кругосветное путешествие по этой параллели.

Во избежание таких сложностей существует вторая координата – долгота, а на карте ее обозначают меридианы – линии, соединяющие полюса.

Если бы мы захотели выбрать параллель для самого продолжительного кругосветного путешествия, это был бы, несомненно, экватор. А вот выбрать для такого дела меридиан не получится – они примерно одинаковы, так что выбрать среди них точку отсчета не так-то просто, поэтому долгое время в этом плане был разнобой: во Франции за точку отсчета принимали Парижский меридиан, в России – проходящий через Пулковскую обсерваторию и т.д. Наконец, в 1884 г. на Международной конференции в Вашингтоне приняли единую точку отсчета – меридиан, проходящий через ось пассажного инструмента обсерватории в Гринвиче – административном округе Лондона на правом берегу Темзы. Именно от Гринвичского меридиана считают западную и восточную долготу (героям упомянутого романа не повезло: долготу в записке смыло водой).

Количество километров в одном градусе долготы назвать сложнее, чем применительно к широте: оно неодинаково на разных широтах – на экваторе тоже 11 км, а чем ближе к полюсам – тем меньше).

Если нашу планету через ось вращения и перпендикулярно ей «рассечь» множеством плоскостей, то на поверхности появятся вертикальные и горизонтальные окружности – меридианы и параллели.

Меридианы сойдутся своими концами в двух точках – на Северном и Южном полюсах. Параллели, как и следует из названия, параллельны друг другу. Меридианы служат для измерения долготы, параллели – широты.

Столь простое при поверхностном взгляде действие – «разлиновка» Земли – стало величайшим открытием в исследовании планеты. Оно позволило использовать координаты и точно описывать местоположение любого объекта. Без параллелей и меридианов невозможно представить ни одну карту, ни один глобус. А придумал их… в III веке до нашей эры александрийский учёный Эратосфен.

Справка. Эратосфен обладал энциклопедическими по тем временам знаниями во всех областях. Он заведовал легендарной Александрийской библиотекой, написал труд «Географика» и стал родоначальником географии как науки, составил первую карту мира и покрыл её градусной сеткой из вертикалей и горизонталей – изобрёл систему координат. Он же ввёл для линий названия – параллель и меридиан.

Меридиан

Меридианом в географии называют половину линии сечения земной поверхности, проведённой через и любую точку на поверхности. Все воображаемые меридианы, которых может быть бесконечное количество, соединяются на полюсах – Северном и Южном. Протяжённость каждого из них – 20 004 276 метров.

Хотя меридианов мысленно можно провести как угодно много, для удобства передвижения, составления карт их количество, расположение упорядочили международными договорами. В 1884 году на Международной меридианной конференции в Вашингтоне постановили, что начальным меридианом (нулевым) станет тот, что проходит через Гринвич – округ на юго-востоке Лондона.

Однако не все сразу согласились с таким решением. Например, в России даже после 1884 года вплоть до начала ХХ века нулевым меридианом считали собственный – Пулковский: он «проходит» через Круглый зал Пулковской обсерватории.

Нулевой меридиан

Нулевым меридианом называют точку отсчёта географической долготы. Сам он, соответственно, имеет нулевую долготу. Так было до создания первой в мире спутниковой системы навигации Transit.


С её появлением нулевой меридиан пришлось немного – в 5,3″ относительно Гринвичского – сдвинуть. Так появился Международный опорный меридиан, который использует как точку отсчёта долготы Международная служба вращения Земли.

Параллель

Параллелями в географии называют линии воображаемого сечения поверхности планеты плоскостями, которые параллельны экваториальной плоскости. Параллели, изображённые на глобусе, представляют собой окружности, параллельные экватору. С их помощью измеряют географическую широту.

По аналогии с Гринвичским нулевым меридианом есть и нулевая параллель – это экватор, одна из 5 основных параллелей, которая делит Землю на полушария – южное и северное. Другие основные параллели – тропики Северный и Южный, полярные круги – Северный и Южный.

Экватор

Самая длинная параллель – экватор – 40 075 696 м. Скорость вращения нашей планеты на экваторе составляет 465 м/с – это намного больше, чем скорость распространения звука в воздухе – 331 м/с.

Южный и Северный тропики

Южный тропик, который также называют тропиком Козерога, располагается к югу от экватора и представляет собой широту, над которой полдневное солнце стоит в зените в день зимнего солнцестояния.

Северный тропик, он же – тропик Рака, располагается к северу от экватора и, аналогично южному тропику, представляет широту, над которой полдневное солнце стоит в зените в день летнего солнцестояния.

Северный полярный круг и Южный полярный круг

Северный полярный круг – это граница области полярного дня. К северу от него в любом месте хотя бы раз в год солнце видно над горизонтом 24 часа в сутки или столько же не видно.

Южный полярный круг во всём аналогичен Северному, только располагается в южном полушарии.

Градусная сетка

Пересечения меридианов и параллелей образуют градусную сетку. Меридианы и параллели располагают с интервалом 10° – 20 °, более мелкие деления, как и в углах, называют минутами и секундами.


С помощью градусной сетки мы определяем точное расположение географических объектов – их географические координаты, вычисляя по меридианам долготу, а по параллелям – широту.

Ориентироваться по карте и находить точное местоположение географических объектов на поверхности Земли позволяет градусная сетка, или система линий параллелей и меридианов.

Географические координаты – это географическая широта и долгота, величины, определяющие положение точки на земной поверхности относительно экватора и нулевого меридиана.

Градусная сеть необходима для отсчета географических координат – величин, определяющих положение точки на земной поверхности относительно экватора и нулевого меридиана (широты и долготы).

Градусная сеть – система меридианов и параллелей на географических картах и глобусах, которая служит для отсчета географических координат земной поверхности – широты и долготы

Географические полюса (северный и южный) – математически высчитанные точки пересечения воображаемой оси вращения Земли с земной поверхностью.

Экватор (от лат. Aequator – уравнитель) – линия пересечения поверхности Земли плоскостью, проходящей через центр Земли, перпендикулярно оси вращения. Экватор делит Земной шар на два полушария (Северное и Южное), служит началом отсчета географической широты. Длина – 40 076 км.

Экватор – воображаемая линия на земной поверхности, полученная при мысленном рассечении эллипсоида на две равные части (Северное и Южное полушария). При таком рассечении все точки экватора оказываются равноудаленными от полюсов. Плоскость экватора перпендикулярна оси вращения Земли и проходит через ее центр.

Меридиан – кротчайшая линия, условно проведенная по поверхности Земли от одного полюса до другого.

Меридиан (от лат. Meridianus – полуденный) – линия сечения поверхности Земного шара плоскостью, проведенной через какую-то точку Земной поверхности и ось вращения Земли. В современной системе за начальный (нулевой) меридиан принят Гринвичский.

Меридианы – линии сечения земной поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения Земли и соответственно через оба ее полюса. Все меридианы принято считать полу- окружностями, которые имеют одинаковую длину. Длина 1° меридиана в среднем 111,1 км.

Меридианы можно провести через любые точки на земной поверхности, и все они пересекутся в точках полюсов. Меридианы ориентированы с севера на юг. Длина всех меридианов одинакова и составляет 20 000 км. Направление местного меридиана можно определить в полдень по тени любого предмета. В Северном полушарии конец тени всегда показывает направление на север, в Южном – на юг. На глобусе меридианы имеют форму полуокружностей, а на карте полушарий средние меридианы – прямые, остальные – дуги.

Полушария мысленно разделены еще и множеством плоскостей, параллельных плоскости экватора. Линии их пересечения с поверхностью эллипсоида называют параллелями. Все они перпендикулярны оси вращения планеты. Параллелей на карте и глобусе можно провести сколько угодно, но обычно на учебных картах их проводят с интервалом 10-20 0 . Параллели всегда ориентированы с запада на восток. Длина окружности параллелей уменьшается от экватора к полюсам от 40 000 до 0 км. Форма параллелей на глобусе – окружность, а на карте полушарий экватор – прямая линия, а остальные параллели – дуги.

Параллели – это линии, условно проведенные на поверхности земли параллельно экватору.

Параллели – линии, параллельные экватору, направлены с запада на восток. Их длина уменьшается от экватора к полюсам.

Параллели – линии сечения поверхности земного шара плоскостями, параллельными плоскости экватора (самая длинная параллель).

Параллель представляет собой окружность. Длина 1° параллели на экваторе равна 111 км, но уменьшается при движении от экватора к полюсам до 0 км.

Географическая широта – расстояние вдоль меридиана в градусах от экватора до какой-либо точки на поверхности Земли. Широты отсчитываются по меридиану от экватора к северу (северная широта) и к югу (южная широта) от 0º до 90º.

Географическая широта – величина дуги меридиана в градусах от экватора до параллели, проходящей через заданную точку. Изменяется от 0 (экватор) до 90° (полюса). Различают северную и южную широту. Все точки, лежащие на одной параллели, имеют одинаковую географическую широту.

Так, Санкт-Петербург находится в северном полушарии, на 60 0 северной широты (с. ш.), Суэцкий канал -на 30 0 с.ш. Определить географическую широту любой точки на глобусе или карте – это определить, на какой параллели она находиться. Москва например, расположена между 50 0 и 60 0 , но ближе к 60-й параллели, следовательно, широта Москвы приблизительно 56 0 с. ш. к югу от экватора любая точка будет иметь южную широту (ю. ш.)

Географическая долгота – расстояние вдоль параллели в градусах от начального меридиана до какой-либо точки земной поверхности. Долгота отсчитывается от начального меридиана на восток (восточная долгота) и запад (западная долгота) от 0º до 180º.

Географическая долгота – величина дуги параллели в градусах от начального меридиана до меридиана, проходящего через заданную точку. За начальный (нулевой) меридиан по международному соглашению принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в пригороде Лондона . К востоку от него долгота восточная, к западу западная. Начальный меридиан и меридиан 180 0 градусов разделяют Землю на Восточное и Западное полушария. Долгота изменяется от 0 до 180°. Все точки, лежащие на одном меридиане, имеют одинаковую долготу.

Широта и долгота любой точки Земли составляют ее географические координаты. Так географические координаты Москвы – 56 0 с. ш. и 38 0 в. д.

View static 404 page | Центр Консервативных Исследований

Открытая Библиотека: сборники, журналы, альманахи, книги

• ЦКИ
  • Структура
  • Мероприятия
• Традиция
  • Традиция № 1
  • Традиция № 2
  • Традиция № 3 ( Against Post-Modern World #1)
  • Традиция № 4 ( Against Post-Modern World #2)
  • Традиция № 5
  • Традиция № 6
• Левиафан
  • Левиафан №1
  • Левиафан № 2
  • Левиафан № 3
  • Левиафан № 4
  • Левиафан № 5
• 4ПТ
  • 4 ПТ №1
  • 4 ПТ №2
  • 4 ПТ № 3 (Многополярность)
  • 4 ПТ № 4
  • 4 ПТ № 5
• Деконструкция
  • Деконструкция № 1
  • Деконструкция № 2
  • Деконструкция № 3
  • Дексонтуркция № 4
• Этноцентрум
  • Этноцентрум № 1
  • Этноцентрум № 2
• Имажинэр
  • Имажинэр 1
• Книги
  • В поисках темного Логоса
  • Теория Многополярного Мира
  • Геополитика и Международные Отношения
  • Четвертая Политическая Теория
  • Постфилософия
  • Радикальный Субъект
  • Социология воображения
  • Социология русского общества
  • Геополитика
  • Геополитика Постмодерна
  • Основы евразийства
  • Философия войны
  • Конец экономики
  • Археомодерн
  • Поп-культура и знаки времени
  • Путь к Новой Метафизике
  • Эвола Абстрактное Искусство
  • Де Бенуа. Против либерализма
  • Парвулеско Португальская служанка
  • Парвулеско Путин

Not Found

Разделы

• Курсы
• Видео
• “Геополитика”
• “Русское Время”

Ось вращения

Если у вас возникли проблемы с пониманием концепции оси вращения, вот упрощенное объяснение. Эта концепция основана на понимании плоскостей движения и различных типов движений в суставах, поэтому обязательно изучите их, прежде чем переходить к трем осям вращения.

Ось вращения может быть трудным для понимания понятием, потому что это воображаемый объект. Применительно к анатомии человека ось вращения – это воображаемая линия, которая проходит через точку поворота / вращения в суставе (например, ось вращения для сгибания и разгибания руки проходит через локтевой сустав).Каждое движение в трех плоскостях движения (т. Е. Сагиттальной, фронтальной и поперечной) происходит вокруг оси вращения. Само движение – которое, конечно, не является воображаемым – происходит в воображаемой плоскости движения, перпендикулярной воображаемой оси вращения. Это означает, что оба воображаемых компонента – плоскость и ось – пересекаются, образуя прямой (90 °) угол. В примере с локтем предплечье движется в сагиттальной плоскости движения, когда локтевой сустав (через который проходит ось вращения) сгибается и разгибается.То есть рука движется в сагиттальной плоскости движения вокруг оси вращения, которая происходит в локте, что позволяет сгибать и разгибать руки. Поскольку сгибание и разгибание происходят в переднем и заднем направлении, соответственно, ось вращения перпендикулярна ей и проходит через сустав в медиолатеральном или поперечном направлении. Следовательно, для локтя движение происходит в сагиттальной плоскости (как сгибание и разгибание) вокруг медиолатеральной оси вращения.

Так же, как есть три плоскости движения, есть три оси вращения: передне-задняя ось, медиолатеральная ось и продольная ось.Суставы вращаются по этим осям, позволяя перемещаться в плоскостях.

Представьте себе булавку, которая проходит через сустав спереди назад (спереди и сзади), эффективно прижимая сустав, чтобы ограничить его потенциальную свободу движения. Например, вы можете представить себе булавку, входящую в переднюю часть тазобедренного сустава и выходящую из задней.Из-за положения штифта единственное допустимое движение вокруг этой оси – это боковое движение (отведение или приведение) во фронтальной плоскости.

Медиолатеральный означает, что мы берем воображаемый штифт и вводим его с бокового или бокового доступа. Как и в предыдущем примере с локтем, ось выступает из медиальной стороны сустава и выходит за боковую сторону.Положение штифта допускает только движение вперед и назад (сгибание и разгибание) в сагиттальной плоскости вокруг этой оси.

Если мы вставим наш штифт в шарнир сверху вниз, он позволит перемещаться только в поперечной плоскости (то есть вращение). Представьте, что длинная булавка входит в верхнюю часть шейного отдела позвоночника и выходит из поясничного отдела позвоночника. Штифт эффективно предотвратит изгиб позвоночника вперед, назад или из стороны в сторону, но позволит позвоночнику скручиваться в поперечной плоскости.

Соединения вращаются по этим осям, позволяя перемещаться в плоскостях. Некоторые вращаются только по одной оси, а другие вращаются по нескольким осям.

Одноосные или одноплоскостные шарниры (также называемые шарнирными соединениями) вращаются по одной оси, что позволяет перемещаться в одной плоскости. Локтевой сустав является шарнирным, поскольку он позволяет двигаться вперед и назад (сгибание и разгибание) только в сагиттальной плоскости.

Двухосные или двуплоскостные шарниры вращаются в двух осях, что позволяет перемещаться в двух плоскостях.Стопа и рука являются примерами двухосных / двухплоскостных суставов. Они оба движутся в стороны или из стороны в сторону во фронтальной плоскости и вперед и назад (сгибание и разгибание) в сагиттальной плоскости.

Многоплоскостные или трехосные шарниры вращаются по всем трем осям, обеспечивая перемещение во всех трех плоскостях. Плечевой сустав является примером многоплоскостного / трехосного сустава. Он позволяет движение вперед и назад в сагиттальной плоскости, движение в стороны или из стороны в сторону во фронтальной плоскости, а также внутреннее и внешнее вращение в поперечной плоскости.

комплексная плоскость, сложение и вычитание

Обозначение.

Мы попробуем использовать x и y для вещественных переменных и z и w для комплексных переменных.Например, уравнение z = x + yi следует понимать как говорящее, что комплексное число z является суммой действительного числа x и действительного числа y , умноженного на i. В общем, часть x комплексного числа z = x + yi называется действительной частью из z , а y называется мнимой частью из z . (Иногда и называют мнимой частью.)

Когда мы используем плоскость xy, для комплексной плоскости C , мы назовем ось x действительной осью , и ось y мы назовем мнимая ось.

Действительные числа следует рассматривать как частный случай комплексных чисел; это просто числа x + yi , когда y равно 0, то есть это числа на действительной оси.Например, действительное число 2 – это 2 + 0 i. Числа на мнимой оси иногда называют чисто мнимыми числами.

Арифметические операции на

Сложение может быть представлено графически на комплексной плоскости C . Возьмем последний пример. Комплексное число z = 3 + i расположено на 3 единицы правее мнимой оси и на 1 единицу выше действительной оси, а w = –1 + 2 i расположено на 1 единицу слева и 2 единиц вверх. Таким образом, сумма z + w = 2 + 3 i равна 2 единицам вправо и 3 единицам больше.

Правило параллелограмма.

Дополнение как перевод.

Отрицание и вычитание.

Отрицание можно интерпретировать как преобразование плоскости C . Если повернуть плоскость на 180 ° вокруг 0, то каждая точка z отправляется в свое отрицание – z. Таким образом, отрицание дает поворот на 180 °.

Используя сложение и отрицание, вы можете определить геометрическое правило вычитания. Чтобы найти, где будет z – w , сначала инвертируйте w , найдя точку напротив 0, а затем используйте правило параллелограмма.

Мы можем интерпретировать вычитание w как преобразование C : плоскость перемещается по вектору от 0 до – w. Еще один способ сказать, что в том, что самолет переводится вдоль вектора ш 0.

Maths – 2D-преобразования с использованием комплексных чисел

Введение

Правила умножения комплексных чисел делают их пригодными для представления вращающихся величин в двух измерениях. Конечно, мы можем представить двумерный поворот как одно число, представляющее угол поворота в градусах или радианах, объединение последующих поворотов может быть выполнено путем добавления соответствующих углов.

Однако нам часто приходится работать с двухмерными компонентами вращающейся величины.Преобразование туда и обратно между углом и компонентами было бы большими накладными расходами, особенно потому, что они включают следующие триггерные функции:

Угол к комплексу:

вещественное = cos (угол)
мнимое = грех (угол)

Комплекс под углом:

угол = atan2 (действительный, мнимый)

Комплексные числа часто избавляют от необходимости работать с углом и позволяют работать исключительно с комплексными числами. Например, если у нас есть ориентация, представленная комплексным числом c1, и мы хотим применить дополнительное вращение c2, то мы можем объединить эти вращения, умножив эти комплексные числа, давая новую ориентацию: c1 * c2.

Если мы представляем чистое вращение, то комплексное число обычно имеет длину единицы, мы говорим, что оно нормализовано, (действительное) ² + (мнимое) ² = 1

для нормализации комплексного числа вычислить:

1 / √ ((действительный) ² + (мнимый) ² )

и умножьте это на действительную и мнимую части.

Преобразования с использованием комплексных чисел

Альтернативное представление вращения с использованием комплексных чисел (спинорное представление)

Во многих случаях приведенное выше представление двухмерного вращения является самым простым и легким.Однако есть более продвинутые приложения, где полезен другой способ. Преимущества этого метода:

• может представлять спиноры в 2D (изоморфны 2D спинорам)
• аналогично тому, как спиноры работают в 3D
• может не понадобиться использовать atan2, можно использовать asin или acos.

Это представляет вращение следующим образом:

Используется угол / 2 вместо угла, что означает, что нам нужно использовать только квадранты 1 и 2 для кодирования всех углов между 0 ° и 360 °, мы можем рассматривать два других квадранта как повторяющие эти углы.

Итак, если мы преобразуем точку по той же формуле, что и раньше:

Pout = штифт * C

Затем мы поворачиваем точку на половину угла. Чтобы преобразовать точку на требуемый угол, нам нужно применить его дважды:

Pout = штифт * C ²

Поскольку умножение комплексных чисел коммутативно, мы можем изменить порядок операндов, например, мы можем записать это как:

Pout = C * Pin * C

эта форма подчеркивает сходство с кватернионным эквивалентом (преобразования кватернионов описаны на этой странице)

Pout = Q * Pin * Q ‘

Примечание: разница между преобразованием комплексного числа и кватерниона:

Мне было бы интересно, может ли кто-нибудь увидеть здесь дальнейшую закономерность? или кто-нибудь может объяснить эти различия? Кватернионы обладают разными свойствами (некоммутативными), чем объясняются эти различия?

Обзор

Набор всех комплексных чисел представляет собой двумерную плоскость, содержащую действительные числа, показанные ниже горизонтальной линией, и мнимые числа, показано ниже в виде вертикальной линии.

Итак, умножение на ‘i’ вращает вокруг мнимой оси, а умножение на ‘i’ снова поворачивается к отрицательной действительной оси. Итак, i * i = -1, это просто еще один способ сказать, что i – квадратный корень из минус единицы. Следовательно, квадратный корень отрицательного числа всегда имеет решение, когда мы работаем с комплексными числами даже если у него нет решения, когда мы работаем исключительно с реальными числами.

Представление вращения с помощью комплексных чисел

вместо a + i b комплексное число также может быть представлено в виде известная как полярная форма:

r (соз (θ) + i sin (θ))

другими словами заменить:

• а = r cos (θ)
• b = r sin (θ)

мы можем использовать e ^{i θ} = cos (θ) + i sin (θ), чтобы получить экспоненту форма:

r e ^{i θ}

Если мы хотим объединить результат двух вращений, например повернуть на θ1 затем повернем на θ2, затем умножим соответствующие комплексные числа, потому что:

e ^{i (θ1 + θ2)} = e ^{i θ1} * e ^{i θ2}

Или сложить два поворота сложением, если сложить логарифмы комплекса числа.

Теорема Демуавра

(cos θ + i sin θ) ⁿ = cos (n θ) + i sin (n θ)

Поскольку мы используем умножение для представления композиции вращений, мы не можем использовать умножение для представления повторения вращения «n» раз, вместо этого возведение в степень n повторяет вращение «n» раз.

Аппликации комплексных чисел

Комплексное число может использоваться для обозначения положения объекта в двумерной плоскости, комплексные числа могут также представлять другие величины в два измерения, такие как смещения, скорость, ускорение, импульс и т. д.Но правильно ли работают обычные уравнения движения?

Проблем с F = m a

, где F и a – комплексные числа

и m – скаляр.

Но мы могли бы сделать то же самое и с двумерным вектором. Чтобы действительно использовать сложную алгебру, нам понадобится что-то, что связано с умножением двух комплексных чисел. Я не думаю, что мы можем использовать уравнения энергии, потому что энергия скалярная величина, не так ли?

Другая возможность использовать комплексные числа в простой механике: используйте их для представления поворотов.Выше мы видели, как комплексные числа могут использоваться для представления поворотов, но в чем преимущество этого? Почему используйте комплексное число, когда для представления вращения требуется только одно число угол в двухмерной плоскости?

Есть ли преимущества в использовании комплексных чисел для представления полного? состояние твердого объекта, другими словами, у него есть переменная состояния, которая включает обе позиции. Я не думаю, что это сработает, потому что, если мы хотим объединить переводы, затем мы добавляем их, но мы хотим объединить вращения, используя сложные числа, затем мы их умножаем.Поэтому мы не можем комбинировать операции с помощью одного операция. Нам было бы лучше использовать 3-элементный вектор, два элемента для положение и один для угла ориентации.

В физике и технике существует множество приложений, где комплексные числа полезны.

Обычно комплексные числа используются в электрических цепях, где конденсаторы а индукторы подобны воображаемому компоненту резисторов. Это применимо только при использовании переменного тока на используемой частоте.Другими словами, если частота тока изменяется, тогда комплексное значение «сопротивления» Компонентов будет очень. Этот тип анализа также может быть применен к механический аналог электрических схем, пружина, масса, модель демпфера. Если мы хотим для определения отклика такой модели на определенной частоте, затем сложные числа были бы хорошим способом сделать это.

Еще одно использование комплексных чисел – создание фрактальных узоров на двумерном самолет.

Другие страницы на сайте

Вот несколько возможных способов развить эту тему:

• Кватернионы – мы можем расширить эти идеи для работы в трех измерениях
Двойные комплексные числа
• – это возможный способ объединения двухмерных вращений со смещением (линейным перемещением) с помощью одной операции умножения.
• Car Racing Game – Мы можем использовать комплексные числа, чтобы создать автомобильную гоночную игру

Imaginary Axis – обзор

2.2.1.2 Ассоциативное произведение векторов

Чтобы изучить разработку ассоциативного произведения векторов в любом количестве измерений, начните с ограничения внимания сначала двумя измерениями, а затем тремя измерениями, чтобы увидеть, преподают ли эти особые случаи что-нибудь, что было бы полезно для разработка подхода к умножению и делению векторов. На рис. 2.7 представлены два вектора выше, но теперь они интерпретируются как комплексные числа a и b на плоскости. В этом представлении двумерных векторов комплексное число, связанное с вектором , , , , задается как

Рис.2.7. Вектор, связанный с комплексным числом.

(2.21) a = aeiϕ

, где a – величина вектора, а ϕ – угол между действительной осью и вектором.

В этом представлении произведение двух комплексных чисел равно

(2.22) a ∗ b = abcosθ + iabsinθ

В этом выражении θ – это угол между двумя векторами. Обратите внимание, что этот результат включает определение внутреннего продукта.

Чтобы использовать эту формулировку, теперь определите произведение двух векторов на

(2.24) ab = a ∗ b = abcosθ + iabsinθ

Первое наблюдение, которое следует сделать, это то, что это произведение обратимо, и поэтому его можно делить на векторы. Чтобы убедиться в этом, просто заметьте, что умножение a ∗ b слева на a / | a | ² восстанавливаетb и, следовательно, b . Однако в этом подходе умножение не коммутативно :

(2.25) ba = b ∗ a = abcosθ − iabsinθ ≠ ab.

В результате необходимо по-разному определять правое и левое умножение (и, следовательно, деление).Однако это усложнение не должно вызывать непреодолимых проблем, потому что инженеры уже привыкли к матричному умножению, которое также является некоммутативным.

Одним из недостатков этого подхода является то, что в процессе вычисления произведения ab необходимо было сопоставить действительную и мнимую оси. Но эти топоры к делу не относятся! Произведение, как определено, зависит только от величин векторов и угла между ними, что не требует назначения действительной оси в качестве точки отсчета для измерения углов.Например, вращение этих векторов, но оставление их величин и угла между ними неизменными, приводит к тому же результату для этого произведения, даже если соответствующие комплексные числа меняются. Следовательно, продукт измеряет относительных направлений векторов (а также относительные величины), и в назначении осей нет необходимости.

Одним из результатов присвоения действительной и мнимой осей было введение в результат i = −1. Обратите внимание, что i служит нескольким целям.В частности,

(1)

Он определяет мнимую ось и при этом разделяет «действительную» часть и «мнимую» часть комплексного числа;

(2)

Он определяет ориентацию в плоскости: + iϕ указывает, что ϕ отсчитывается от действительной оси в направлении вращения против часовой стрелки, тогда как – iϕ указывает, что ϕ отсчитывается от действительная ось в направлении вращения по часовой стрелке;

(3)

Это вызывает вращение посредством умножения; и

(4)

Он превращает один вид количества в другой посредством умножения, т.е.Например, умножение действительного числа на i дает мнимое число, тогда как умножение мнимого числа на i дает действительное число.

Как будет показано ниже, обобщение для получения векторного произведения, подходящего для любого количества измерений, включает эти различные функции i по-разному.

Рассмотрим вторую функцию i : определение ориентации. Хорошо известно, что при написании комплексного числа

(2.26) a = aeiϕ

роль i состоит в том, чтобы измерять угол ϕ от действительной оси против часовой стрелки, тогда как – i заставляет измерять угол ϕ по часовой стрелке. направление. С этой точки зрения i задает ориентацию для количества, которое он умножает. Теперь заметьте, что первый член в нашем произведении – это просто внутренний продукт

(2.27) a ∙ b = abcosθ.

Второй член состоит из двух частей: i и | a || b | грех θ .Роль и уже обсуждалась, так что теперь рассмотрим | a || b | грех θ . Как видно из рис. 2.8, он определяет область в плоскости, содержащей a и b (которая в данном случае является единственно возможной плоскостью, поскольку существует только два измерения). Обратите внимание, что | a || b | sin θ – это просто номер – он не определяет какую-либо конкретную форму , а только определяет область.Эту область удобно представить как область, определяемую параллелограммом, полученным путем перемещения одного вектора поперек другого, но эту область так же легко можно представить в виде круга или какой-либо другой формы с той же площадью. Что важно для определения продукта, так это то, что он дает число, обозначающее площадь.

Рис. 2.8. Площадь параллелограмма.

Представление о том, что i задает ориентацию количеству, которое оно умножает, предполагает, что количество i | a || b | sin θ можно плодотворно рассматривать как область , ориентированную на .Результирующее произведение двух векторов будет тогда суммой двух разных типов объектов: скаляра, заданного внутренним произведением, и ориентированной области. Это понятие будет исследовано более подробно позже.

Однако сначала рассмотрите возможность расширения этого подхода до трех измерений, как показано на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Геометрическая связь между двумя векторами в трех измерениях.

В частности, по аналогии с двумерным случаем сформулируйте «комплексное число» для представления произведения ab как

(2.28) abcosθ + ipabsinθ

, где i _p следует интерпретировать как ограничение этого «комплексного числа» плоскостью, определенной посредством a и b . Таким образом, можно использовать тот же подход к определению произведения векторов в трех измерениях, который обсуждался ранее в двух измерениях. Заметим, однако, что i _p не может просто быть i = -1, поскольку, как минимум, он должен также определять плоскость , если произведение должно быть обратимым.Если плоскость не указана, то, как показано на рис. 2.10, два вектора могут определять конус с углом конуса, равным 2 θ , где один из векторов направлен вдоль центральной оси конуса, а другой вектор лежит на конус. В этом случае продукт не будет однозначно обратимым. Величина i _p также должна действовать как i , определяя направление в плоскости, чтобы векторы можно было вращать.

Рис. 2.10. Нужно определить самолет.

Для этого скомбинируйте i – что даст повороты в плоскости посредством умножения – с полным поперечным произведением, которое определяет плоскость и ориентацию в плоскости в соответствии с правилом правой руки. Следовательно, установив

(2.29) ip = inˆ

, получим для произведения двух векторов:

(2.30) ab = a ∙ b + ia × b.

Этот подход также приводит к произведению векторов, которые можно использовать для определения деления. В частности,

(2.31) a2 = aa = a ∙ a = a2

i.е., квадрат любого вектора является скаляром, равным квадрату его длины (это следует, поскольку a × a = 0). Используя это понятие, снова определим обратный вектор ненулевого вектора как

(2.32) a − 1 = 1a = aa2 = aa2.

Получается, что произведение в уравнении. (2.30) ассоциативно – ( ab ) c = a ( bc ) – как легко показать (читатель должен проделать это вычисление).Таким образом, можно инвертировать это произведение (т. Е. Разделить), чтобы получить b умножением слева на a / | a | ² :

(2.33) aba = a − 1ab = aa2ab = a2a2b = b.

Аналогичным образом можно восстановить a из произведения путем умножения справа на b / | b | ² .

Результатом предыдущих обсуждений является то, что можно сформировать обратимое, ассоциативное произведение векторов в двух и трех измерениях, и, следовательно, можно ожидать, что такой продукт будет образован в произвольных измерениях.Обратите внимание, однако, что цель перехода от двух измерений к трех измерениям заключалась в том, чтобы расширить продукт, который был определен в двух измерениях. К сожалению, продукт, определенный для трех измерений, – это , а не , являющийся продолжением продукта, определенного для двух измерений – не имеет смысла формулировать в трех измерениях подход, который не может быть определен даже в двух измерениях! В частности, перекрестное произведение не определяется в двух измерениях, поскольку для вектора, определенного перекрестным произведением, просто нет третьего измерения, на которое он мог бы указывать.Более того, в измерениях больше трех не существует уникального направления, в котором должен указывать вектор, так как будет несколько направлений, перпендикулярных плоскости, определенной посредством a и b . Таким образом, несмотря на формальное сходство между двумерным подходом, основанным на комплексных числах, и трехмерным подходом, основанным на внутреннем произведении и «сложном» перекрестном произведении, использование i a × b для определения произведения векторов, которое будет работать в любом количестве измерений.

Использование комплексных чисел для определения произведения векторов в двух измерениях привело к другому комплексному числу для произведения, и, таким образом, очевидно, что произведение двух векторов дает другой вектор в этом подходе. Однако в трех измерениях произведение двух векторов привело к сумме внутреннего произведения, которое является скаляром, и сложной версии перекрестного произведения, которое, очевидно, представляет собой комплексный вектор, который по своему характеру отличается от двух векторов, которые вошли в продукт. Таким образом, ранее определенное произведение векторов в трех измерениях приводит к набору трех различных типов объектов: скаляров, векторов и комплексных векторов, которые возникают из «комплексного» перекрестного произведения.Поэтому неудивительно, что при обобщении произведения векторов на любое количество измерений можно найти:

(1)

Представление о том, что происходит в двух измерениях, должно быть изменено, чтобы произведение векторов было быть суммой различных видов объектов; и

(2)

Это представление произведения векторов как суммы различных типов объектов переносится на любое количество измерений.

Как в двух, так и в трех измерениях произведение двух векторов – это внутренний продукт, добавленный к чему-то еще, причем природа этого «чего-то еще» зависит от измерения.В двух измерениях это дополнительное количество составляет i | a || b | sin θ и в трех измерениях это совершенно другой объект i a × b . Интересно исследовать, чем эти объекты отличаются и чем они похожи.

Сначала рассмотрим отличия. Напомним, что ранее i выполняет несколько функций в двух измерениях и что эти функции могут быть включены в более высокие измерения по-разному.Первое отличие проявляется в попытке перейти от двух измерений к трём. В трех измерениях i не требуется, чтобы различать разные типы объектов – вектор a × b отличается от скаляра a ∙ b без необходимости и , чтобы различать их. Таким образом, первая функция i в двух измерениях, а именно разделение действительной и мнимой частей комплексного числа, не требуется в трех измерениях.

Кроме того, в трех измерениях и не требуется определять ориентацию в плоскости, поскольку эту роль играет вектор nˆ, нормальный к плоскости, в сочетании с правилом правой руки, как показано на рис. 2.11. В отличие от двухмерной плоскости, трехмерная плоскость имеет две стороны, поэтому необходимо определить, какая сторона плоскости используется в сочетании с таким правилом, как правило правой руки, для ориентации вращений.

Рис. 2.11. Векторное произведение в трех измерениях.

Однако по крайней мере в одном смысле объект i a × b , взятый в целом в трех измерениях, аналогичен объекту i | a || b | sin θ в двух измерениях, поскольку оба они определяют область, ориентированную на , в плоскости, определяемой положениями a и b . Так же, как есть две ориентации в двумерной плоскости согласно i или – i , есть также две ориентации в трех измерениях согласно a × b или – a × b (= b × a ).Именно это наблюдение предлагает путь вперед для расширения этого подхода для умножения векторов на любое количество измерений.

Значение воображаемого времени: диалог творчества с вневременностью

Кажется, что мнимые числа имеют какое-то отношение ко времени, потому что они проявляются как в квантовой механике, так и в теории относительности по отношению ко времени. Они также структурируют комплексную плоскость, в которой проявляются многие фракталы, такие как множество Мандельброта. Однако очень немногие физики или математики осмелятся приписать смысл этой математической формулировке, которая, похоже, не соответствует внешней реальности.Прежде чем приступить к более творческому исследованию роли воображаемых чисел некоторыми математиками, таким как Льюис Кэрролл, он же «Приключения Алисы в стране чудес» Чарльза Доджсона и отчет Вольфганга Паули об активном воображении, озаглавленный «Урок игры на фортепиано», давайте взглянем на роль мнимых чисел играют математически.

Напомним, что мнимое число, i = √ – 1. Добавление вертикальной мнимой оси к горизонтальной оси действительных чисел создает комплексную плоскость. Комплексное число – это просто комбинация мнимого и действительного числа.Каждая точка на комплексной плоскости описывается комплексным числом, состоящим из мнимой и действительной составляющих. Комплексная плоскость показывает особую связь i с циклами через круг i, также известную как вращение Вика. Каждый раз, когда точка на комплексной плоскости умножается на i, она перемещается на четверть оборота вокруг начала координат или центра плоскости.

Применение вращения по фитилю, чтобы сделать время воображаемым, вводит элемент цикличности, поскольку i умножается само на себя и перемещается вокруг комплексной плоскости.Это предполагает циклическую, колеблющуюся природу времени, поскольку оно движется между реальным и воображаемым царствами.

В квантовой механике мнимые числа появляются в нестационарном уравнении Шредингера. Блочная вселенная теории относительности определяет пространство-время с помощью четырехмерной теоремы Пифагора (x ² + y ² + z ² – (ict) ² = s ² ) путем добавления квадратов каждого пространственного измерения. и вычитая квадрат времени. При извлечении линейного времени из отрицательного квадрата время получается мнимым.[1]

Что может означать для времени быть воображаемым? Добавление дополнительного измерения часто открывает новые способы решения проблем, такие как теорема Пифагора – использование двумерных квадратов для определения взаимосвязи между одномерными линейными длинами. Однако воображаемая ось взаимодействует с действительной осью иначе, чем другая действительная ось. Представление мнимой составляющей вводит элемент цикличности.

Хотя мнимые числа не имеют очевидной физической интерпретации, они являются мощным математическим инструментом, особенно в качестве представителя времени в теории относительности и квантовой механике.Это кажется уместным, потому что ощущение времени каким-то образом кажется менее осязаемым, более «у нас в голове», чем пространственные измерения. Хотя создание воображаемого времени, кажется, отражает некоторую его нематериальную природу, оно также облегчает геометрическую работу со временем, рассматривая его, как если бы оно было измерением пространства. Вращение фитиля пространственно определяет время, вставляя заполнитель i для этой неосязаемости. Это эффективно работает в ряде сценариев, включая блочную вселенную теории относительности, где время кристаллизируется в одну большую четырехмерную шкалу времени.Тем не менее, пространственное распределение времени также раздражает наше здравое понятие времени как текущего в одном направлении. Когда время сформулировано как воображаемое, время становится симметричным.

В статье «Анализ взаимосвязи между реальным и мнимым временем в физике» физик Джордж Ярошкевич объясняет

… формулировка мнимого времени является полезным расширением непрерывного реального времени в различных областях специальной теории относительности, общей теории относительности и квантовой механики, но существует глубокая неопределенность в том, что касается физического смысла всего происходящего.[1]

Эти глубокие неопределенности относительно того, что именно означает мнимое время, могут вызвать очень сильную реакцию у людей, особенно когда математики впервые начали их использовать. Почти все знают историю Алисы в стране чудес, но мало кто знает, что Льюис Кэрролл, автор, был псевдонимом консервативного математика Чарльза Доджсона, и что история Алисы отметила резонансы как reductio ad absurdum критики все более абстрактного математика 19, ^-е, века, в том числе с использованием мнимых чисел.

Чаепитие Безумного Шляпника, застрявшее в бесконечном вращении вокруг стола из-за того, что персонаж Времени оставил их застрявшими на 6 часах, кивает математику Уильяму Роуэну Гамильтону, который разработал кватернионы, которые требовали четвертого измерения времени для выполнения вращений. в комплексной плоскости. [2] Вдобавок замешательство Алисы относительно того, означает ли «говорить то, что она имеет в виду», означает то же самое, что и «иметь в виду то, что она говорит», высмеивало некоммутативную природу формулировки Гамильтона.[3] Коммутативно означает, что не имеет значения, в каком порядке делать что-то вроде сложения или умножения. Деление и вычитание некоммутативны. Какое число стоит первым, полностью меняет результат уравнения. 5–3 – это не то же самое, что и 3–5. Кватернионы Гамильтона оказались весьма полезными во многих приложениях, в том числе в специальной и общей теории относительности, робототехнике и вычислениях. Так что, возможно, воображаемые числа не так уж диковинны, и Доджсон, он же Кэрролл, имел в виду.

Спустя сто лет после того, как «Приключения Алисы в стране чудес» 1865 года высмеивали использование мнимых чисел, они стали более обычным явлением в физике, хотя и не менее загадочными. Пионер квантовой физики Вольфганг Паули записал свои размышления о подарке «кольца и » в заключение упражнения «активного воображения», диалога с бессознательным. Он назвал произведение «Урок игры на фортепиано» и посвятил его психологу Мари Луизе фон Франц, протеже Карла Юнга.В отражении он получает «кольцо i» в подарок от учителя фортепиано «Она». У них был следующий обмен мнениями, намекающий на некоторые из наиболее загадочных и эзотерических значений мнимых чисел.

I: i объединяет пустоту и единицу в пару. В то же время это операция по вращению четверти всего кольца ».

Она: «Она превращает инстинктивное или импульсивное, интеллектуальное или рациональное, духовное или сверхъестественное, о котором вы говорили, в единое или монадическое целое, которое числа без и не могут представить.’

I: «Кольцо с i – это единство за пределами частицы и волны, и в то же время операция, которая порождает любое из них».

Она: «Это атом, неделимое, по-латыни…» Когда я произнес эти слова, она многозначительно посмотрела на меня, но мне показалось, что нет необходимости произносить вслух слово Цицерона, обозначающее атом. [4]

I: «Оно превращает время в статичное изображение».

Она: «Это брак и в то же время царство середины, которого вы никогда не сможете достичь в одиночку, а только в парах.[5]

В этом коротком разговоре мы становимся свидетелями диалога физика с его интуицией, представленной в женской форме, ясно выражающей ее собственную важность. Паули, говорящий от первого лица, сначала описывает мнимые числа (i), превращая пустоту (отрицательное) и единицу (1) в пару (i x i = -1) и выполняя четверть оборота вращения Вика. Она, голос женской интуиции, с которой он вошел в это состояние, чтобы учиться, затем обращается к не поддающимся количественной оценке аспектам жизни, которые математика не может уловить без чего-то, что представляло бы нематериальное или воображаемое (i).

Затем Паули описывает существенную роль мнимого числа в квантовой механике и обращает внимание на недвойственность i. Затем Она определяет нематериальное я как атомарную единицу, из которой созданы все вещи, и также подразумевает эту идентификацию с женским телом. [6] Он указывает на роль мнимых чисел как пространственного определения времени в блочной вселенной специальной теории относительности.

Затем Она делает это явно относительным: «Это брак и в то же время царство середины, которого вы никогда не сможете достичь в одиночку, а только в парах», таким образом подразумевая, что объект, «брак», никогда не бывает вещь или даже две вещи, но отношения, таинственность, которая возникает между двумя – брак времени и пространства, волны и частицы, мужского и женского начала.Здесь она приводит доводы в пользу своей собственной необходимости, необходимости интуиции, женского начала, недвойственной перспективы для достижения любого вида фундаментального понимания реальности.

Хотя математическая физика выдвигает на первый план логические выводы таких интуиций после того, как они рассортированы, физик редко имеет возможность публично сформулировать этот деликатный процесс извлечения мудрости из бессознательного. Физики могут отвергнуть этот отрывок как бесплодное и необоснованное предположение, но я полагаю, что его интуиция, глубоко укоренившаяся в глубоком понимании физики и математики Паули, дает важное понимание значения воображаемого времени, не говоря уже о глубоком понимании роли женского и женского начала. интуиция как важнейшие партнеры в диалоге.

Отсутствие физического смысла воображаемого времени, кажется, требует более качественной интерпретации. Любые явления, имеющие как физическое, так и субъективное значение, поддаются чисто физической интерпретации с помощью научного мышления. Отсутствие физической интерпретации мнимых чисел вынуждает научное мышление выйти за пределы самого себя. Точно так же, как квантовая механика, теория относительности и постмодернизм требуют включения сознательной субъективности наблюдателя в любое описание знания, воображаемое время способствует повсеместному напоминанию о том, что математика не может возникнуть без какой-либо формы воображения.Воображение помогает нам взглянуть на внутреннюю работу реальности.

Что же тогда означает воображаемое время для нашего понимания времени? Ярошкевич фокусируется на том, насколько несовместимы современные интерпретации воображаемого времени с нашим восприятием времени.

Если реальное время является иллюзией, физикам в конечном итоге придется обсудить причины этого (что означает расширение физики с включением нейробиологии), в то время как, если реальное время не является иллюзией, физикам еще предстоит долгий путь, чтобы построить математически обоснованный набор теорий, которые не обращаются к мнимому времени.Третья альтернатива – согласиться на рецепт черного ящика, которого, к сожалению, придерживаются многие физики [7].

Другими словами, либо эффективность мнимого времени означает, что время является иллюзией, избавьтесь от мнимого времени или просто продолжайте притворяться, что мнимое время ничего не значит. Четвертая возможность могла бы позволить сосуществование реального и воображаемого времени через понимание взаимосвязи между временем и безвременьем, а также между физикой и сознанием.Естественным продолжением аргумента Ярошкевича является не взаимная исключительность реального и воображаемого времени, а их взаимодополняющая природа. Изучая границы и отношения этих описаний друг с другом, мы можем составить более полную картину времени и наших отношений с ним.

Использование мнимого времени дает ключ к разгадке реальности времени. В специальной теории относительности воображаемое время дает нечто вроде вневременной перспективы, позволяя нам выйти за пределы времени и пространства через блочную вселенную Минковского.В квантовой механике, когда вращение Вика перемещается между действительной и мнимой осями, уравнение Шредингера принимает форму уравнения диффузии, а затем возвращается к классическим предсказаниям.

Я предполагаю, что комплексная плоскость сама по себе предлагает структуру, которая взаимодействует вне времени с реальной шкалой времени, и что вращение Вика описывает колебания между бесконечной потенциальностью безвременья воображаемой оси и проявлением в конечном пространстве-времени. Прогрессия колебаний между потенциальностью и проявлением может породить наше ощущение времени как линейную прогрессию в безвременье настоящего момента.

При возведении в квадрат любой точки на комплексной плоскости выполняется поворот на четверть Вика путем умножения ее мнимой составляющей на себя. Таким образом, возведение в квадрат воображаемого времени в блочной вселенной и амплитуды вероятности уравнения Шредингера облегчает их согласование между временем и вневременностью.

Вращение фитиля, кажется, переводится туда-сюда между безвременьем и временем, точно так же, как мы это делаем всякий раз, когда мы перемещаемся между отражением и действием. В рефлексивных состояниях воображение дает нам доступ к вневременной перспективе памяти и возможностей без внешних ограничений причинной темпоральности.Фактически, одна из отличительных черт вневременной перспективы – это совпадение с временной симметрией.

Однако Ярошкевич соглашается с тем, что «время – это не пространство», но что оно работает, чтобы обращаться с ним как с таковым, создавая его. [8] В частности, он имеет в виду, что мы не воспринимаем время как обратимое; кажется, что мы не движемся вперед и назад во времени, как в пространстве. Однако есть заметные исключения из этого очевидного «правила», о чем мы поговорим в следующих главах.

[1] Буккери Р., М. Санига, В.М. Стаки, ред. 2003. Природа времени: Геометрия, физика и восприятие. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 163.

[2] Вопреки формулировке Минковского, Гамильтон описал пространство как воображаемое, а время как реальное. Кажется важным, чтобы одно было реальным, а другое – воображаемым, чтобы сохранить перпендикулярные отношения между пространством и временем.

[3] Бейли, Мелани. 2009. Приключения Алисы по алгебре: Страна чудес решена. Новый ученый . 19 декабря 2009 г. Проблема 2739. http://www.newscientist.com/article/mg20427391.600-alices-adventures-in-algebra-wonderland-solved.html?full=true#.UupxnHddW6o

[4] Хотя это и не указано Паули в контексте этой истории, я предполагаю, что слово Цицерона для атома – corpusculum, – уменьшительное слово для тела, подразумевающее двусмысленность, поскольку оно также используется в нежном отношении к женщине. тело. (Рейнхарт и др., 2005, с. 159 – 162)

[5] Паули, Вольфганг.1953. Урок игры на фортепиано. Урожай. Журнал юнгианских исследований , 2002, том 48, № 2. Перевод: Фредерик В. Вигель, Герберт ван Эркеленс и Йос ван Мёрс. Получено с: http://herbert.vanerkelens.nl/2009/03/the-piano-lesson/