Звуки [К], [Т], [Г], [Д] усваиваются детьми к 2-3 годам. Это звуки “раннего онтогенеза”. В литературе достаточно внимания уделено постановке и автоматизации заднеязычных звуков (В.В.Коноваленко, С.В.Коноваленко, И.С.Лопухина), тогда как переднеязычные звуки [Т], [Д] рассмотрены недостаточно (И.С.Лопухина). Это возникает из-за того, что наиболее частым является замена звуков заднеязычных на звуки [Т], [Д]. При встрече же с ребенком в прямо противоположной ситуации (замена звуков [Т], [Д] на звуки [К], [Г]) возникают трудности в поиске лексического материала сначала на автоматизацию указанных переднеязычных звуков, а затем на их дифференциацию со звуками заднеязычными.
Поэтому главной задачей данной работы мы считаем подбор лексического материала по указанной проблеме.
Постановка и автоматизация звуков [Т], [Д]
На данном этапе работы из речевого материала
исключаются звуки [Г], [К].
1. Формирование восприятия звуков [Т], [Д].
– “Хлопни, когда услышишь слово: (суп, таз, хвост, рот, стол, дом, удав)”. Одно из данных слов называется вперемежку с любыми другими словами.
– “Хлопни, когда услышишь слог : (та, ту, от, ды, до)”. Один из данных слогов называется вперемежку с любыми другими слогами, не содержащими звуков [Г], [Д].
– “Хлопни, когда услышишь звук [Т] ([Д])”. Звуки называются вперемежку с любыми звуками, кроме [Г], [К].
2. Изолированное произношение звука [Т] ([Д]).
Многократное изолированное произношение звука с опорой на символы (Фомичева): “Как стучат колеса поезда? – т-т-т”, “Как стучит по дереву дятел? – д-д-д”.
3. Автоматизация звуков в слогах.
| Та – ту – то | да – ду – до |
| Ты – тэ – та | ды – дэ – да |
| От – ат – ит | ды – да – до |
| Ут – ат – от | ду – ды – до |
4.
Автоматизация звуков в словах.
Слова со звуком [Т]: там, таз, Тома, Толя, туфли, лото, это, четыре, лисята, волчата, медвежата, бельчата, ежата, телята, поросята, цыплята, индюшата, зайчата, жеребята, салат, халат, рот, вот, самолет, пилот, тут, салют, машет, машут, спит, спят, пьет, пьют, хлопает, хлопают, строит, строят, нюхает, нюхают, смотрит, смотрят, бежит, плачет, плачут, сидит, сидят, ест, едят, поет, поют, танцует, танцуют, везет, везут, нет, винт, туман, петух.
Слова со звуком [Д]: да, дай, Даша, дача, дом, дуб, дым, душ, дупло, духи, думай, Вода, иду, пирамида, пойду, уйду, беда, свобода, борода, помада, победа, команда, наряды, следы, пруды, сады, посуда.
5. Автоматизация звуков в словосочетаниях и предложениях.
Чаще всего на данном этапе уже можно использовать речевой материал, содержащий одновременно звуки и [Т] и [Д].
Там Толя. Тут Тома. Надену твои туфли.
Я думаю,
Даня спит. Зайчата оставили следы. Мама берет
помаду. В саду спят поросята. Папа завинчивает
винт. Тома хлопает в ладоши. Жеребята везут дрова.
У деда борода. Бельчата сидят в дупле. В душе идет
вода. Тома и Толя достали лото. Друзья едят дыню. Я
иду по мосту. Вон там фонтан.
6. Стихотворные тексты со звуками [Т], [Д].
У енота тетя Тоня.
Тетя Тоня в тине тонет.
– Тетя Тоня, не тони!
– Эй, тяни ее, тяни!
Вот идут мои друзья,
Подавать обед пора.
Дуб стоит у дома,
Дом стоит у дуба.
Кот сидит у дуба.
Кот сидит у дома.
Дома мама, дома папа,
Только Томы нету рядом.
– Найдите нашу Тому!
– Танцует там у дома.
Дед Данила дает дыню –
Вот и Дане, вот и Тане.
Дятел на дубу сидит,
Дятел ветви долбит.
Мама моет пол,
Папа чинит стол,
Я посуду убрала,
У нас дома чистота.
Даша и Наташа идут в лес. В лесу они видят дуб. На ветке дуба сидят бельчата. Даша и Наташа машут бельчатам: “Идите домой, в дупло!”
Толя идет в душ. Там льется вода. Толя стоит под душем. Потом он намыливается. Хорошо быть чистым и умытым!
Дифференциация звуков [К-Т]
А. Дифференциация звуков [К-Т] на слух.
– Игра “Хлопни-топни”. Инструкция: “Если услышишь слог ТА – хлопни, если услышишь слог КА – топни”. Позднее, игра проводится на материале звуков. На этом этапе возможны любые традиционные игры на дифференциацию звуков речи.
Б. Дифференциация произношения звуков [К-Т].
1. Попеременное называние изолированных звуков. Игра “Дождик-поезд”. Инструкция: “Когда я говорю дождик, ты произносишь звук [К], когда я говорю поезд, ты произносишь звук [Т]”.
2. Повторение по одному, по два и по три слога со звуками [К-Т].
ка – та – ка та – та – ка
ты – кы – ты ко – ко – то
ку – ту – ту ты – кы – кы
3.
Словарь: кабинет, канат, капитан, капот, катать, катание, кафтан, ватка, ветка, детка, девятка, дудка, утка, кот, ток, комета, комната, комод, конфета, копыто, кофта, подкова, молоток, моток, охотник, тук, стук, путник, спутник, каток, конфета, тыква, свисток, селедка, лодка, платок.
4. Дифференциация звуков в словосочетаниях и предложениях. Задания:
а) “Посчитай до пяти”. Выбирается несколько слов из вышеуказанного словаря,
б) “Спроси и ответь”. Про любой неодушевленный предмет ребенок спрашивает и отвечает: “Это что? – Это канат”. Про любое животное ребенок спрашивает и отвечает: “Это кто? – Это собака” или “Кто тут? – Тут овца”.
Дифференциация звуков [Г-Д]
Задания, как и в предыдущем разделе.
Словарь: гадать, гадание, угадать, дуга, радуга, погода, ягода, когда, гнедой, города.
Дифференциация звуков [К-Т-Г-Д]
1.
Словарь: отгадка, агат, Агата, тайга, гоготать,
гонит, коготок, готов, фагот, команда, подруга,
градусник, удочка, дождик, селедочка, гусята,
лодочка.
2. Предложения:
Катя собирает букет. В комнате летает муха. В доме два этажа. Коля ест торт. На столе стоит кактус. Моряк смотрит в бинокль. Я иду в аптеку за ватой. Таня надевает кофту. В комнате стоит комод. Мама надевает платок. На тарелке лежат конфеты. Дед тянет репку. Высоко гнездо аиста. На остановке стоит автобус. На окне сидит кот. Паук плетет паутину. У Кати красивый бант. Дедушка видит бегемота.
3. Тексты:
Опускается туман
На мосты и на кусты,
Опускается туман
На дома и на сады,
Тут не видно далеко,
Заблудиться так легко!Соловей выводит трель.
Слесарь в сеть включает дрель.
Лом ломает толстый лед,
Лом ломать не устает.Вот так домик!
Вот так дом!
В доме том одно окно,
В том окне идет кино.– Тук! Тук! Тук!
– Это кто тут?
– Это я, коток,
Тонкий коготок.Всё готово для хоккея:
И коньки и капитаны,
На катке стоят команды,
Ждут свистка, как кот сметаны!-Я иду куда?
– Туда.
– Я пойду от кого?
– От того.
– Будет там кто?
– Не будет там никого.
– Не пойду туда,
Буду дома я тогда!Вот на стуле кот сидит,
Вот за бантом он следит.
Когда бантик двинется,
Он на бантик кинется!
Наступила зима. На дворе холодно, стужа. Деревья, крыши домов, дороги – все покрыто снегом. Реки покрыты льдом. Рады дети. Они бегут с коньками на каток.
Большинство приведенных текстов являются
авторскими.
Для самостоятельного подбора
лексического материала по указанной проблеме
можно воспользоваться литературой из списка.
Литература
МДОУ д\с №69
Г. Комсомольск-на-Амуре
Диференциация
звуков К-Т
выполнила учитель-логопед
Архангельская Т.Н.
Жил был мальчик Толя.
И был он вот такой.
Артикуляция звука.
Губы в нейтральном положении принимают позицию следующего гласного звука, расстояние между зубами 5 мм. Кончик языка при произнесении с гласными звуками А, О, У, Ы упирается в верхние зубы или альвеолы, образует смычку. При произнесении с гласными звуками Е, Ё, Ю, И, Я кончик языка упирается в нижние резцы, образует смычку. Мягкое нёбо поднято, голосовые складки разомкнуты, воздушная струя толчкообразная.
Постановка звука.
1 способ: по подражанию. Лучше в слове или в слоге. В основном от слога ТА.
2 способ: исходить из межзубной позиции. Закусить язык зубами и сильно выдыхать. Получится межзубный звук Т. Затем убрать язык за зубы.
Практический материал по автоматизации звука Т.
Толя любит играть с поездом. Он строит железную дорогу, по которой едет поезд с вагонами и сигналит.
ТУ-ТУ-ТУ-ТУ
Взрослый показывает ребёнку игрушечный поезд или картинку.
Взрослый спрашивает:
– Как поезд сигналит?
Ребёнок начинает гудеть.
-ТУ-ТУ-ТУ-ТУ.
– Поезд едет далеко и его сигнал еле слышен.
-ТУ-ТУ-ТУ (ребёнок проговаривает тихо)
– Поезд подъезжает к нашей станции?
– ТУ-ТУ-ТУ (ребёнок проговаривает громко)
Взрослый знакомит ребёнка с буквой Т.
Автоматизация звука «Т».
1. Повтори слоги.
Та-та-та Та-то-ту-ты Та-та-та-та Ат-от-ут
То-то-то Ту-то-та-ты Ат-ат-ат-ат Ыт-ут-ат
Ту-ту-ту Ты-то-ту-та Ты-ты-ты-ты От-ут-ыт
Ты-ты-ты То-та-ту-ты Ыт-ыт-ыт-ыт Ат-ыт-от
2. Повтори слова.
Звук в начале слова: Там, так, таз, Таня, тара, Тамара, том, топ, Тоня, Тома, Тося, топор; туча, тумба, тулуп,
Звук в середине слова: Ната, Никита, сметана, рота, Рита; ноты, соты, шорты; Антон, пальто, сито, автобус,
Звук в конце слова: тонет, дует, ходит, бегает, думает, самолет, сонет, пишет, молот, рот, ропот, Марат, прыгает.
Стечение согласных звуков в слогах и словах:
тла, тлы; ста, сты, сто, сту; тра, тро, тру.
Аист, торт, порт, март, портфель; метла, стать, статный, сталь, стыть, мосты, остыть, стон, стоп, стол, чисто, стучит, стул; трап, трата, трава, травма, трамвай; трон, тропа, тротуар, трость, троллейбус, утро; труд, труба, трубач, трутни, трус, трусы.
3. Повтори предложения.
В автобусе едут люди. Антон несет ноты. Никита видит топор. Ната надела пальто. У Никиты новый самолёт. Таня несет цветы. Тома поет ноты. Топ, топ, топает малыш. В аэропорту стоит самолет. Тома моет стол и стул. Тоня едет на трамвае. Под тополем стоит Толя.
4. Повтори чистоговорки.
Та – та – та – у нас дома чистота.
Ты – ты – ты – папа строит мосты.
То – то – то – стали мы играть в лото.
Ат – От – ёт – мы играем в самолёт.
5. Повтори скороговорки.
Только Таня утром встанет,
Танцевать Танюшу тянет.
Топали да топали,
Дотопали до тополя,
До тополя дотопали,
Да ноги-то оттопали.
6. Игра «Подскажи словечко».
Взрослый читает стихотворение, ребенок прослушивает его и добавляет пропущенное слово.
Долго-долго крокодил
Море синее… (тушил).
По небесам оравою
Бегут мешки дырявые,
И бывает иногда:
Из мешков течет вода.
Спрячемся получше
От дырявой… (тучи).
7. Игра «Один – много».
Взрослый называет предмет в единственном числе, а ребёнок во множественном.
Топор – (топоры) Автобус – (автобусы)
Туча – (тучи) Таз – (тазы) Самолет – (самолеты)
8. Игра «Будь внимательным».
Взрослый предлагает ребенку прослушать небольшой рассказ, а затем назвать все слова со звуком Т, которые в нём встречаются.
У пианино Тоня, Таня и Анюта. У Анюты ноты. Анюта сидит за пианино и играет по нотам мелодию. Тоня и Таня поют. Девочки поют песню о маме. Это нежная и красивая песня.
Молодцы, Тоня, Таня и Анюта!
У него был друг мальчик Коля. И был он вот такой.
Постановка звука «К».
1-й способ. Звук к следует ставить механическим способом при помощи пальца или шпателя, исходя из звука т. При этом звук т должен быть у ребенка «чистым», т. е. произноситься без призвуков.
Ребенку предлагают произносить слог та. В момент произнесения педагог нажимает пальцем на переднюю часть спинки языка, благодаря чему получается слог тя. Затем педагог продвигает палец несколько глубже, в результате чего получается слог кя. Наконец, третий этап — еще более глубокий нажим на язык — дает твердый звук — ка.
Довольно часто бывают такие случаи: как только педагог приближает свой палец ко рту ребенка, тот сразу же отодвигает язык вглубь рта — прячет язык от педагога. В таких случаях педагог должен приучить ребенка к пальцу. Для этого он просит ребенка произносить слог та, а сам только кладет свой палец на кончик его языка, не нажимая на него.
Механическое воздействие на язык не следует прекращать слишком рано, иначе могут легко укорениться различные дефекты произношения к, например, мягкий звук или звук к с горловым оттенком.
2-й способ. Постановка К на вдохе. Беззвучная или шепотная имитация храпа или кашля (следить, чтобы не появился горловой звук Р). Похрапеть можно с переливами в свое удовольствие. Как правило, после упражнения слышится звук, похожий на К.
Коля очень любил смотреть на дождь .
Он сидел дома и считал капли.
Дождик, дождик, не грусти! Грозят пальцем.
Кап-кап, кап-кап! ритмично хлопают в ладоши.
Снова в гости приходи! Манят ручками.
Кап-кап, кап-кап! Хлопают в ладоши.
Взрослый знакомит ребёнка с буквой «К»
Автоматизация звука «К».
Я произнесу название предмета без последнего звука, а вы, дети, произнесите этот последний звук.
цир……(К)
челове…(К)
тюби…(К)
като…(К)
вос…(К)
огоне…(К)
роли…(К)
комо…(К)
чуло…(К)
тан…(К)
ручее…(К)
вени…(К)
плато…(К)
блес…(К)
узело…(К)
банти…(К)
дожди…(К)
замо…(К)
шты…(К)
кошеле…(К) доми…(К)
щено…(К)
дис…(К)
колобо…(К)
Найдите картинку, название которой я начну произносить. Произнесите слово полностью.
ЛУ.. .(К)
ЛА…(К)
ЖУ.. .(К)
СУ.. .(К)
БУ.. .(К)
МА. ..(К)
РА.. (К)
БА.. .(К)
СО…(К)
ТО. ..(К)
БО…(К)
ШО…(К)
Автоматизация звука [к] в слогах.
ка-ко-ку-кы ко-ку-кы-ка ку-кы-ка-ко кы-ка-ко-ку
ак-ок-ук-ык ок-ук-ык-ак ук-ык-ак-ок ык-ак-ок-ку
Автоматизация звука [к] в слогах.ак-ак-ак- бак, мак, так;
ок-ок-ок- ток, бок, сок, док;
ук-ук-ук- тук, бук, внук, паук;
ык-ык-ык- бык;
ик-ик-ик- пик, веник, финик;
ек-ек-ек- век, бег, снег;
як-як-як- маяк, як.
урок, друг, стук, сапог, ток, крик, сурок, веник, шнурок, порок, замок, брелок.
Бак, мак, так, маховик, паук, индюк, тук, бук внук, бык, бок, док, опенок, паек, веник, ботинок, дубок, финик, пик, як, маяк, каюк, тупик. Автоматизация звука [к] в словах начинающихся на звук [к]:кокос, кисть, кино, книга, кошка, кит, крот, кольцо,
кекс, колдун, кофе, кость, камень, колодец, корова.
Автоматизация звука [к]в слогах.
Ква-кво-кву-квы кна-кно-кну-кны
Кво-кву-квы-ква кно-кну-кны-кна
Кву-квы-ква-кво кну-кны-кна-кно
Квы-ква-кво-кву кны-кна-кно-кну
Автоматизация звука [к]. Повторить чистоговорки.ка — ка — ка — наша ноша не легка; Ниток клубок укатился в уголок.
ко — ко — ко — убежали далеко; Клава клала лук на полку,
ку — ку — ку — покупаем мы муку. Кликнула к себе Николку.
Автоматизация звука [к] в словах.
Игра «Веселый счет». Сосчитай кошек.
Одна кошка, две кошки, три кошки, четыре кошки, пять кошек.
Автоматизация звука [к] в словах. Игра « Один – много».Кабан – кабаны, кабина – кабины, камень – камни, канава – канавы,
капкан – капкан, конь – кони
Автоматизация звука [к]. Повторить чистоговорки.На кокосы, на кокосы
Налетели мы, как осы,
А кокосы высоко,
Высоко и далеко.
Автоматизация звука [к]. Игра « Один – много».Один бак – много баков одна буква – много букв
Один мак – много маков одна тыква – много тыкв
Один бук – много буков одно окно – много окон
Один паук – много пауков один маяк – много маяков
Один бык – много быков один индюк – много индюков
Один дубок – много дубков один веник – много веников
Автоматизация звука [к]. Повторить чистоговорку.Киска, киска, где твоя миска?
Ест киска суп из миски:
Сыта киска – пуста миска.
Мяукать под окном; купать коней в Оке; выкопать канаву; покупать комок; коптить окуней.
Автоматизация звука [к] в словах.Как, какаду, какао, какая, каемка, капкан, квак, койка, кок, кокон, комок, копейка, кнопка, кубик, кубок, покупка, пикник, конь, утка.
Автоматизация звука [к]. Игра «Исправь ошибку».Письмо пишет дедушку. Наша мышка поймала кошку.
Катушка ниток купила бабушку. Камешек нашёл Пашу.
На шубу вешают вешалку. Камыши сидят в лягушке.
Ландыши нашли Наташу. В картошку положили мешок
Автоматизация звука «К» в предложениях.
Дифференциация звуков К-Т.
Коля считает капли. Ребёнок пальчиком показывает на капли и произносит КАП-КАП-КАП-КАП
На вокзал прибыли поезда. Они сигналят. Ребёнок показывает на поезд и проговаривает ТУ-ТУ-ТУ
Игра «По дорожке пройти, что видел расскажи».
Ребёнок пальчиком показывает и называет КАП, ТУ и т.д.
Игра «Что услышишь покажи».
Взрослый выдаёт ребёнку картинки с каплями и поездом.
Инструкция: Если услышишь как капает дождик клади картинку с капелькой, если услышишь гудок поезда – клади картинку с поездом.
Ребёнок сам выкладывает в строчку картинки. Потом «читает» получившуюся дорожку.
Игра «Доскажи-ка буковку»
На конце слов потерялись буквы, тебе нужно помочь Коле и Толе закончить слова.Взрослый говорит начало слова, а ребёнок договаривает последнюю букву слова.
со_ живо_ бан_ лиф_ су_ щено_ лу_ кро_ клубо_ ко_ мешо_ жу_ гороше_ песо_ бегемо_ аис_ кус_
Дифференциация букв.
Толя очень любит ходить в гости к Коле. Толя прыгал по дороге с камушка на камушек. Прочитай буквы на камушках. (ребёнок пальчиком «прыгает» по камушкам и читает буквы)
Дифференциация в слогах.
Друзья любили зимой играть в снежки. Они налепили много снежков. Напиши на снежке букву «К», если услышишь слог со звуком «К». Напиши на снежке букву «Т», если услышишь слог со звуком «т». Посчитай, кто больше налепил снежков. Взрослый произносит слоги: КА, ТУ, КЫ, КО, ТА, ТЭ, АК, АТ и т.д, ребёнок записывает нужную букву в снежок. Потом читает «дорожку».
Повторение по одному, по два и по три слога со звуками К-Т.
ка – та – ка, та-та – ка,
та-ка, ка-та, ко-то, то-ко, ту-ку, ку-ту, ат-ак, ат-ак, ут-ук, ук – ут
то-то-ко, ту-ту-ку, ко-то-ко, то-то-ко, ак-ат-ак, ят-як-ят, от-ок-ок,
ты-кы-кы, ит-ик-ик, ик-ит-ик, ка-та-ка, ку-ку-ту, ака-ата, ото-око,
ита-ика, тла-кла, анк-ант, инк-инт, фта-фка и тд.
Ак-ак-ат эк-эк-эт ик-ик-ит ок-ок-от ук-ук-ут
Ак-ат-ак эк-эт-эк ик-ит-ик ок-от-ок ук-ут-ук
Предметы рассыпались. Расставь их по своим местам. Подбери слово, которое подойдет к схеме.
Дифференциация в словах.
Игра «Собери бусы»
Толя и Коля решили собрать бусы для мамы. У Коли были красные бусины, а у Толи – жёлтые.
Если услышишь слово со звуком «К», нанизывай красную бусину на ниточку. Если услышишь звук «Т», нанизывай жёлтую бусину.
Можно на столе выкладывать красные и жёлтые кружочки.
Можно на бумаге или доске рисовать и раскрашивать бусины.
Игра «Полёт на шаре»
Нужно пролететь вместе с шариком по дорожке и правильно назвать картинку со звуком Т или К. Можно добавить задание положить на картинку кружочек с нужной буквой.
Игра «Внимательные ушки».
Я буду произносить слова, а ты хлопни в ладоши, когда услышишь звук К, и топни ножками, когда услышишь звук Т.
Коля и Толя играли в игру «Кто что делает».
Называй, кто это и что он делает.
Игра «Разложи картинки»
Коля и Толя любят собирать в свои альбомы картинки.
Толя со звуком «Т», а Коля со звуком «К».
Игра «Раскраска».
У Коли есть красный, коричневый, а у Толи жёлтый, фиолетовый.
Назови предметы и раскрась их этими карандашами.
Проговаривай предмет и его цвет: жёлтая лента, красная крыша.
Игра «Бродилка»
Проговаривание слов, в которых встречаются оба звука.
По дорожкам пройди и слова назови.
(кофта, конфета, комета, копыта, катушка, утка, ветка, космонавт, молоток, платок, моток, каток, цветок, танк, канат, охотник, капитан, трактор)
Плитка, куртка, клетка, картошка, стройка, тумбочка, кроватка, тарелка, ласточка, косточка, кастрюля, тыква, стакан, завтрак, комната, компот, ткань, самокат, тапок.
Дифференциация в словосочетаниях.
Игра «Поиграем посчитаем».
Посчитай диких уток, жёлтые цветки, маленькие улитки, вкусные конфеты.
Дифференциация в предложении.
Игра «Пазлы»Взрослый разрезает картинку и просит ребёнка собрать и назвать все получившиеся картинки. Можно придумать с каждым их ни слов предложения.
Дифференциация в стихотворениях.
Коротышка под кроватку
Спрятал торт и шоколадку,
И картошку, и котлетку,
И капустку, и конфетку…
Ты постой-ка, коротышка!
Завтрак твой утащит мышка!
За столиком — Танюшка,
На столике — катушка.
Катушка тонких ниток
И ткани есть кусок…
Ну кто подскажет Тане —
Что сшить из этой ткани?
В тарелку косточку кладу —
Тотошку завтракать веду!
Юный Том катает ком,
Метко ком кидает он.
На окно забрался кот,
Умный кот, но кот не тот.
Рейтинг
[Всего голосов: 5 Средний: 3.8]ГБОУ Школа № 2103, учитель-логопед
e-mail: [email protected]
В статье изложен речевой материал, направленный на постепенное усвоение фонем [т]-[к] и различение их в произношении.
Речь – одна из важных функций человека, способствующая формированию высших психических функций. Речевое общение является необходимым условием развития различных форм деятельности. Недостаточно сформированное звукопроизношение значительно искажает речь ребенка, тем самым ограничивая его возможности.
Формирование звукопроизношения у детей процесс достаточно длительный. Нередко случается так, что постановка звуков не вызывает труда, а процесс автоматизации и дифференциации поставленных фонем затягивается на долгое время.
В коррекционной литературе можно найти большое количество дидактического материала по введению в речь ребенка таких сложных звуков, как [с], [ш], [л], [р], [ч], [щ] и т.п.. Однако есть и более простые фонемы, нарушения которых раньше были редкостью, а сейчас встречаются все чаще и чаще, например, такие согласные, как [т] и [к]. Особые сложности у ребенка вызывает именно различение этих звуков в произношении.
В специальной литературе информация по данной теме крайне ограничена. В связи с этим был разработан речевой материал, который помогает ребенку как можно скорее научиться различать эти фонемы. Предлагаемые упражнения были использованы в работе с детьми дошкольного возраста с общим недоразвитием речи в ГБОУ Школа №2103 на протяжении шести лет. Все задания максимально насыщены дифференцируемыми звуками и расположены по принципу от «простого к сложному»: сначала предлагаются слоговые упражнения, далее звуки различаются в словах, затем ребенок проговаривает предложения, чистоговорки, скороговорки, стихотворения и связные тексты. Речевой материал следует проговаривать медленно, четко, выделяя отрабатываемые звуки. Стихотворения и чистоговорки желательно заучивать наизусть для того, чтобы можно было их многократно повторять, тем самым способствуя скорейшему закреплению артикуляционных позиций у малыша. Рассказы ребенку читают выразительно и эмоционально, чтобы малыш смог проговорить их за взрослым, пересказать и ответить на вопросы. Целесообразно включать в работу использование разнообразных игровых приемов, ведь заинтересованность ребенка является немаловажным фактором успешности логопедического занятия.
Рассмотрим подробнее упражнения на различение звуков К–Т.
Целью данного упражнения является формирование у ребенка одновременно навыков по звукоразличению и слухового внимания, в том числе к собственной речи. Так как слоги не несут смысловой нагрузки, ребенок максимально концентрируется на правильном произношении данных звуков. При выполнении данного упражнения педагог проговаривает серию слогов, а ребенок повторяет их.
| ка – ка – та ка – та – ка та – та – ка та – ка – та | ко – ко – то ко – то – ко то – то – ко то – ко – то | ту – ку – ту ку – ту – ку ту – ту – ку ку – ку – ту |
| ак – ак – ат ак – ат – ак ат – ат – ак ат – ак – ат | ок – ок – от ок – от – ок от – от – ок от – ок – от | ук – ук – ут ук – ут – ук ут – ут – ук ут – ук – ут |
Данное упражнение предназначено для максимально точного произнесения пар слов, при котором закрепляется дифференциация данных звуков на уровне слова. Педагог проговаривает слова парами, обучающийся их повторяет (ребенок учится различать звуки [к]-[т] в словах близких по звучанию).
| ком – том куб – тулуп кулон – талон тачка – качка комар – Тамара тумба – клумба кара – тара тонет – колос Коля – Толя копка – топка кочка – точка кучка – тучка качать – тачать так – как крюк – трюк тройка – кройка | сад(т) – бак бук – пруд(т) совок – сонет самолет – бережок зонт – гонг(к) чайник – тонет пинцет – Бишкек фата – мука потоп – покос петух – пекут бетон – бекон вата – рука манка – манты окоп – утоп винтик – винтит валит – валик [2] |
Данное упражнение учит ребенка слышать и различать отрабатываемые фонемы в одном слове. Многократное проговаривание слов способствует более быстрой автоматизации и дифференциации данных звуков. Ребенок проговаривает за педагогом слова по 3-5 раз.
т – к
тапки, тачка, такси, тарелка, тыкать, точка, Тузик, молоток, моток, платок, веточка, сеточка, цветок, потолок, бутылка, монетка, тыква, толокно, таблетка, табак, танк, тачанка, ток, стакан, ступенька, ветка, нитка, плитка, пятак, напиток
к – т
каток, ракета, кофта, капитан, Никита, конфеты, катание, катушка, комета, копыто, кроты, кипяток, карта, картон, каста, кусты, котлы, коты, картошка, котенок, Костик, короткий, каталась, кот, котёл, который, щекотали, коротышка, скот [2]
Наибольшие сложности у ребенка с речевыми нарушениями вызывают слова со стечениями согласных, так как они являются сложными по слоговой структуре. Педагог отрабатывает с ребенком произношение слов со стечением согласных. При произнесении данных слов, от ребенка требуется максимальное внимание к собственной речи.
Кто, ткань, ткач, ткачиха, нитка, кто-то, кто-нибудь, откинул, под(т)катил, под(т)кинул, чёткий, меткий, бесед(т)ка, коктейль, конфетка. [2]
Данное упражнение предлагается ребенку для развития умения фонемы [к]-[т] на уровне предложения. Педагог произносит фразу целиком, не разбивая ее на отдельные слова, тем самым формируя у обучающегося слуховое внимание и речевую память. Ребенок должен проговаривать вслед за взрослым предложения без пропусков и перестановок отрабатываемых звуков.
Приведем примеры предложений для отработки правильного произношения звуков.
Тоня пьёт молоко. Кот спит на кушетке. На столе лежат конфеты. Собака несет тапки. Катя каталась на санках. Тося каталась на самокате. На тарелке лежат конфетки. Никита надел кофту и кепку. Коты спрятались в кусты. На гряд(т)ке выросла тыква и картошка. Таня и Катя идут на каток. Ткач разрезал ткань. В кустах кто-то пискнул. Кто у кота котёнка отнял? Костик прыгнул через мостик. Марта на конверт наклеила марку. Ветер гудит, дождик дождит.
Небольшие рифмовки легко запоминаются детьми, заучиваются наизусть и могут многократно повторяться, способствуя быстрой дифференциации отрабатываемых фонем. Педагог просит ребенка повторить вслед за ним чистоговорки.
Та – ка – та – есть усы у кота.
Кан – тан – кан – на столе стоит стакан.
Ток – кок – ток – у Ивана молоток.
Ат – ак – ат – мы берем самокат.
Ты – кы – ты – сметанку скушали коты.
Ат –ак – ат – тянем мы канат.
Ок – ок – от – дождик сильно льет.
Ит – ик – ик – тот цветок поник.
Работа со скороговорками способствует осознанному проговариванию речевого материала в быстром темпе, тем самым закрепляя правильное произношение звуков [к]-[т]). Ребенок повторяет за педагогом скороговорки сначала медленно, затем в более быстром темпе.
Ткёт ткач ткани на платки Тане.
Костя ходит в гости. В гости ходит Костя.
Катает кот моток. Паук паутинку ткёт.
Котик ниток клубок
Укатил в уголок,
Укатил в уголок,
Котик ниток клубок. [4]
Заучивание наизусть небольших стихотворных текстов-загадок дает возможность ребенку многократно их повторять, закрепляя правильное произношение отрабатываемых звуков. Упражнение способствует развитию мышления и воображения. Педагог предлагает ребенку проговорить загадки, отгадать их, выучить наизусть и загадать друзьям. Все загадки насыщены отрабатываемыми звуками.
Топили, сушили,
Колотили, рвали,
Крутили, ткали,
На стол клали. (Лён)
Стоит в саду кудряшка –
Белая рубашка,
Сердечко золотое,
Что это такое? (Ромашка)
Падают с ветки
Золотые монетки.
(Осенние листья)
Все детки на ветках
С рожденья в беретках.
С деревьев упадут –
Береток не найдут. (Жёлуди)
Кто не прядет, не ткет,
А людей одевает. (Баран)
Стучат, стучат –
Не велят скучать.
Идут, идут,
А все тут как тут. (Часы)
Одежды не шью,
А ткань всегда тку. (Паук) [1]
Данное упражнение способствует быстрому введению отрабатываемых фонем в связную речь ребенка, т.к. заученные стихотворения можно проговаривать много раз. Ребенок повторяет за педагогом стихотворения, четко проговаривая звуки [т] и [к].
Молоток.
Тук, тук,
Молоток,
Забей гвоздиков пяток.
Тук, тук,
Тук, тук, тук,
И в подмётку
И в каблук.
В. Лифшиц
Утята и котята.
Возле речки пять утят
В ряд на камешке сидят.
В воду пять утят глядят,
А купаться не хотят.
Из-за камня пять котят
За утятами следят.
Видно, пять котят хотят
Научить нырять утят.
Р. Боробулин. [3]
Педагог предлагает обучающемуся вслед за ним проговорить текст рассказа и ответить на вопросы полными предложениями. Предлагаемый материал должен быть максимально насыщен отрабатываемыми фонемами. Можно предложить ребенку пересказать текст. Данный вид работы способствует скорейшей дифференциации звуков в связной речи.
Примеры текстов для дифференциации звуков [к]-[т].
Толя и Коля жили в одном доме. Как-то зимой они решили залить около дома каток. Мальчики вышли во двор. Толя и Коля взяли лопаты и стали чистить снег. Когда площадка была готова, друзья залили каток водой. К утру вода замерзла и превратилась в гладкий лед. Все ребята во дворе были довольны.
Вопросы к тексту:
Скоро наступит Новый год. Катя поставила живую елку в центре комнаты. У елки зеленые колючие иголки, которые пахнут хвоей. Катя достала из картонной коробки елочные украшения. Чего здесь только не было: шарики, сосульки, шишки, золотистый дождик и разноцветные лампочки. Елка получилась очень нарядная. Катя пригласит к себе домой подруг. Девочек ждут новогодние подарки.
Мама ушла в магазин, а Никита остался дома один. Он решил помочь маме погладить белье. Мальчик достал гладильную доску, включил утюг. Сначала Никита погладил рубашку, затем брюки. Тут, как назло, в коридоре зазвонил телефон. Никита выбежал из комнаты, а утюг оставил на брюках. Когда мальчик вернулся, то увидел на брюках огромную дырку. Что теперь скажет мама?
Работа по дифференциации звуков необходима для того, чтобы научить ребенка различать смешиваемые звуки и правильно употреблять их в собственной речи. Использование данного речевого материала учителями-логопедами, воспитателями логопедических групп, педагогами поможет максимально эффективно устранить проблему у ребенка. Автоматизация данных звуков требует длительной систематической тренировки. Параллельно должна проводиться работа по совершенствованию лексико-грамматического строя речи, развитию фонематического восприятия. Педагогу также необходимо помнить, что ребенка необходимо хвалить за любое, даже самое маленькое, достижение.
Литература
This speech material is aimed at the gradual assimilation of the phonemes [t]-[k] distinction in their pronunciation. All jobs are fully saturated differentiable sounds and located on the principle «from simple to difficult»: first syllable exercises are offered, then the sounds differ in the words, the child then pronounces the sentence, chistogovorki, tongue twisters, poems and coherent texts. Speech material should speak slowly, clearly, highlighting sounds are working. Poems and chistogovorki it is advisable to memorize in order to be able to repeat them many times, thereby contributing to the rapid consolidation of the articulation position of the baby. Stories the child read expressive and emotionally, the baby was able to speak to them for adults to retell and answer questions. Appropriate for automation include the use of different playing techniques, because the interest of the child is an important factor in the success of speech therapy classes.
Keywords: speech therapy, differentiation of sounds, preschool education, correctional pedagogy.
1
День и ночь мечтает Том…
Угадайте-ка, о ком?
2
Смотрит кот из-за куста:
Нет ли вкусного куска?..
3
На красном стуле — Коленька,
На жёлтом стуле — Толенька!
4
В реке живёт карасик.
Поймай его, Тарасик.
5
К плотнику за стружкой
Шла Танюшка с кружкой!
6
По канату ходит кот!
Этот кот — не то, что тот!
7
Хвастал гномик перед троллем:
Я умею плавать кролем!
8
Привезли песка большие кучи!..
Да гулять нельзя: на небе — тучи!
9
Тесновата эта клетка!
Маловата та котлетка!
10
У папы плащ из кожи!
У дяди Коли — тоже!
11
Взял водитель карту:
— Как проехать в Тарту?
12
И Анюток, и Тамар —
Любит всех кусать комар!
13
Приснилось ночью Тоне:
По полю мчатся кони!..
14
Капитан достанет кортик,
Кортиком разрежет тортик!
15
Просили африканца
Протанцевать три танца!
16
Когда-нибудь потомки
Возьмут свои котомки,
Приедут и начнут копать… —
Далёких предков изучать!..
17
Что ж ты, друг, не слышишь стука?
Без тебя такая скука!
Тук-тук-тук! Тук-тук-тук!
Открывай скорее, друг!
18
К Тобику
За косточкой
Шёл Трезорка
С тросточкой!
19
Доктор дал
Креветке
Мятные таблетки!
20
Коротышка под кроватку
Спрятал торт и шоколадку,
И картошку, и котлетку,
И капустку, и конфетку…
Ты постой-ка, коротышка!
Завтрак твой утащит мышка!
21
Ползёт по карте каракатица…
Так до Антарктики докатится!..
22
Налей-ка, кот, для кашалота
Стаканчик сладкого компота!
Ведь сладкоежка-кашалот
Так любит сладкий пить компот!
23
За столиком — Танюшка,
На столике — катушка.
Катушка тонких ниток
И ткани есть кусок…
Ну кто подскажет Тане —
Что сшить из этой ткани?
24
В тарелку косточку кладу —
Тотошку завтракать веду!
25
Я деток соком угощала,
Потом в кроватке укачала…
26
К доктору плывут лещи.
Доктор, лещиков лечи!
27
Часы на кухне бьют —
Ребята кофе пьют!
28
Ветку я согнул дугой —
Сделал лук себе тугой!
29
Уронили мы в кудушку
Ниток шёлковых катушку!
30
Снова я приехал в Тверь…
Открывай, сестрёнка, дверь!
Всё как прежде здесь!.. И даже
На стене картина та же!..
31
Ты, индюк,
Такой надутый!..
Стыдно так,
Имей в виду ты!
32
Диктор Дмитрий отдыхает…
Дождь идёт — и он вздыхает…
Что ты, Дмитрий, — красота!
Лучше дождь, чем духота!
33
Люди едут кто куда —
Кто оттуда, кто туда…
Вот доедут — и тогда
Опустеют поезда…
34
Медвежата Джон и Тедди!
Подождите, доктор едет!
Едет доктор бородатый
На медведе к медвежатам!
35
Здесь нельзя пройти: кусты
И колючи, и густы!
36
За высокою горой
Кедры с толстою корой!
37
Мама рукава мне закатала,
А потом загадку загадала!
38
Говорит галчонку галка:
— Вот скамейка, вот скакалка,
Вот гармошка, вот горшок,
Гайка, грелка, гребешок!
39
Промяукал хитрый кот:
— Как найти на кухню вход?
За котлетками на кухню
Хочет кот пойти в поход!..
Нищева Н.В.
нет в наличии
Скоро в продаже В пособии представлены картинки и тексты для автоматизации и дифференциации звуков [с], [с’], [з], [з’], [ц], [т’], [ч]. Пособие позволяет по разному организовать работу с ребенком: повторять текст по одному предложению вслед за логопедом с опорой на картинку, предварительно отработав произношение слов, вынесенных за пределы текста, пересказывать текст с опорой на картинку или читать его, правильно произнося слова со сложными звуками.
Адресовано учителям-логопедам детских дошкольных образовательных учреждений и школьных логопедических пунктов, воспитателям детских садов, родителям детей, имеющих проблемы речевого развития.
| Регион (Город/Страна где издана): | Санкт-Петербург |
| Год публикации: | 2018 |
| Тираж: | 1500 |
| Страниц: | 24 |
| Формат: | 60×90/16 |
| Вес в гр.: | 46 |
| Язык публикации: | Русский |
| Тип обложки: | Мягкий / Полужесткий переплет |
| Цвета обложки: | Зелёный |
| Иллюстрирована: | Да |
| Тип иллюстраций: | Цветные иллюстрации |
| Возраст от: | 0+ |
| Полный список лиц указанных в издании: | Нищева Н.В. |
Цель: дифференцировать звуки К – Т в различных позициях звуков в слогах, в словах.
Задачи:
1. Развивать артикуляционную, мелкую моторику.
2. Закреплять умение дифференцировать звуки К – Т в слогах и словах.
3. Развивать фонематический слух и фонематическое восприятие.
4. Формировать умение слушать и выполнять инструкцию педагога.
Оборудование:
1. Организационный момент
– Сегодня к нам на занятие пришли Толя и Коля ( перед ребёнком сидят две куклы-мальчика). Давай научим их делать зарядку для язычка.
2. Артикуляционная гимнастика
«Горка»
Язычок за зубки опускается,
Его кончик к зубкам прижимается.
Спинка сильно-сильно выгибается-
Вот какая горка получается!
«Наказать непослушный язык»
Язычок твой – озорник,
Он не слушает тебя.
Накажи его скорее:
«Пя-пя, пя-пя, пя-пя-пя!»
«Качели»
На качелях я качаюсь:
Вверх-вниз, вверх-вниз,
Я до крыши поднимаюсь,
А потом спускаюсь вниз!
«Лошадка»
Что за цокот раздаётся?
То лошадка к нам несётся.
На лошадку мы глядим,
Так же цокать все хотим:
Цок — цок – цок, цок – цок – цок.
Наш зацокал язычок.
3. Объявление темы занятия
– Сегодня на занятии мы будем продолжать тренироваться различать звуки т и к.
4. Произношение звуков изолированно. Характеристика звуков.
– Произнеси звуки К и Т
– Чем они похожи? ( они согласные )
– Почему их называют согласными? (их нельзя петь)
– А чем различаются звуки К и Т?
(когда произносим Т, кончик языка стучит по бугоркам за верхними зубами.
Когда произносим К, кончик языка опущен, спинка языка выгнута
горкой)
5. Развитие фонематического слуха
– Я думаю,что пришло время угостить наших друзей. Они любят разные продукты. Коля любит те, в названии которых есть звук К, а Толя продукты, в названии которых есть звук Т.
Задание:
Разложить карточки с изображением продуктов : со звуком К- на одну тарелку, со звуком Т — на другую.
6. Пальчиковая гимнастика
– А теперь мы отправимся на прогулку.
Пальчиковая гимнастика «Прогулка»
Пошли пальчики гулять,
(Пальцы рук сжаты в кулаки, большие пальцы опущены вниз и как бы прыжками двигаются по столу.)
А вторые догонять,
(Ритмичные движения по столу указательных пальцев.)
Третьи пальчики бегом,
(Движения средних пальцев в быстром темпе.)
А четвертые пешком,
(Медленные движения безымянных пальцев по столу.)
Пятый пальчик поскакал
(Ритмичное касание поверхности стола обоими мизинцами.)
И в конце пути упал.
(Стук кулаками по поверхности стола.)
7. Дифференциация звуков в слогах
– Давай еще поиграем с нашими друзьями.
Повтори за мной слоги:
Повторение по одному, по два и по три слога со звуками К-Т.
ка — та — ка, та-та — ка, та-ка, ка-та, ко-то, то-ко, ту-ку, ку-ту, ат-ак, ат-ак, ут-ук, ук — ут
то-то-ко, ту-ту-ку, ко-то-ко, то-то-ко, ак-ат-ак, ят-як-ят, от-ок-ок,
ты-кы-кы, ит-ик-ик, ик-ит-ик, ка-та-ка, ку-ку-ту, ака-ата, ото-око.
8. Дифференциация звуков в словах
– Назови предметы, которые ты видишь на картинке.
танк, кот, травка, кроватка, калитка, куст, капитан, канат, кисточка, ласточка, платок, петрушка, ватрушка, кушетка, молоток, косточка, тарелка, тыква, кабинет.
9. Итог занятия
– Наше занятие подошло к концу. О каких звуках мы сегодня говорили на занятии?( О звуках Т и К)
– Коле и Толе очень понравилось подружиться с тобой. Они обязательно придут к нам в гости снова.
Камалова Екатерина Александровна,
учитель-логопед
Пелых Н.И., учитель-логопед ДОУ № 1410, Москва
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ
Сравнение, различение и правильное произношение звуков [т] и [д] в слогах, словах, фразах, рассказе.
Развитие логического мышления, внимания, памяти, фонематического слуха.
Звуковой анализ и синтез односложных, двусложных и трехсложных слов с опорой на звукослоговую схему слов, предложений.
Различение слов-паронимов.
Образование многосложных слов.
Развитие зрительного гнозиса при составлении рассказа по опорным силуэтным картинкам с использованием разноприставочных глаголов.
ПОДГОТОВКА
Готовятся следующие материалы:
– предметные картинки на звуки [т] – [д];
– наборное полотно;
– фланелеграф;
– схемы слов, предложений;
– символы звуков;
– сюжетные картинки;
– медвежонок – игрушка би-ба-бо;
– ширма.
* * *
Организационный момент
Раздается стук в дверь.
Логопед. Кто там? (Достает из-за ширмы медвежонка.)
Медвежонок. Это я, медвежонок, пришел к вам в гости. Здравствуйте. Ребята, вы вчера получили мое письмо? Мои картинки вам понравились? А сегодня я приготовил для вас загадки.
Шел долговяз,
В сыру землю увяз.
Крупно, дробно зачастил,
Всю землю водой напоил.
(Дождь.)
Кланяется, кланяется,
Придет домой – растянется.
(Топор.)
Белый столб стоит на крыше
И растет все выше, выше,
Вот дорос он до небес
И исчез.
(Дым.)
Пушистая вата
Плывет куда-то.
Чем вата ниже,
Тем дождик ближе.
(Туча.)
Дети отгадывают загадки. Медвежонок их хвалит и прощается.
Сравнение звуков [т] – [д]
Детям, сидящим в правом ряду, предлагается произнести звук [т], в левом – звук [д], держа руку на горле.
Логопед. Чем похожи звуки?
Дети. Язык стучит в верхние зубы, губы улыбаются, они оба согласные и твердые.
Логопед. Чем они отличаются?
Дети. Звук [т] – глухой, а звук [д] – звонкий, произносим с голосом.
Дифференциация звуков
[т] – [д] в слогах
Дидактическая игра с мячом «Скажи наоборот»
Детям предлагается встать в круг. Дается задание придумать слог с противоположным звуком. Логопед бросает мяч ребенку и произносит слог «та», ребенок, возвращая мяч логопеду, должен произнести «да» («эт» – «эд», «ты» – «ды» и т.д.).
Дифференциация звуков
[т] – [д] в словах-паронимах
Дидактическая игра «Найди пару»
На наборном полотне изображены мальчик Толя и девочка Даша. Детям дается задание поставить картинки со звуком [т] – Толе, а со звуком [д] – Даше. Логопед произносит предложения, а дети должны назвать последнее слово, подходящее по смыслу, найти картинку и поставить ее на наборное полотно.
Логопед
Назовем мы книжку… (том).
Для жилья построим… (дом).
Вот тележка, это… (тачка).
Дом в саду зовется… (дачка).
По реке плывут… (плоты).
Зреют на ветвях… (плоды).
И т.д.
Звуковой анализ и синтез слов
Дидактическое упражнение
«Подбери слово к схеме»
На доске изображены четыре схемы слов, а у детей на столах лежат картинки с изображением предметов, в названиях которых есть звуки [т] – [д]. Детям дается задание поставить свои картинки к схемам в соответствии со звуковым наполнением слова и объяснить свой выбор.
Односложные слова
Дым, душ, кот, дом
Односложные слова со стечением согласных звуков в конце
Торт, танк, зонт, бант
Двусложные слова из двух открытых слогов
Вата, ноты, дыня, дома
Трехсложные слова из открытых слогов
Лопата, дорога, радуга, машина
Физкультминутка под музыку
Дети произносят чистоговорку и выполняют соответствующие движения.
Дети
Дятел дерево долбит,
Дятел клювом дуб долбит.
Тук-тук-тук, тук-тук-тук,
Червячка он ищет тут.
Образование многосложных
слов и развитие
фонематического слуха
На фланелеграфе расположены изображения девочки и кота.
Логопед. Какие у девочки волосы?
Дети. Светлые волосы.
Логопед. Выкладываю две полосочки, которые обозначают количество слов. Какая девочка? Скажите одним словом.
Дети. Светловолосая.
При этом на фланелеграфе две короткие полоски соединяются в одну длинную.
Логопед. Какие уши у кота?
Дети. Короткие уши.
Логопед. Какой кот? Скажите одним словом.
Дети. Короткоухий.
Параллельно дети работают с символами. На столах по две карточки: одна пустая (символизиру ет глухой звук), а другая с изображением звонка (символизирует звонкий звук). Дети поднимают одну или другую карточку в зависимости от того, какой звук (звонкий [д] или глухой [т]) они услышали в названных словах.
Работа над схемой
предложения
Один ребенок выкладывает на фланелеграфе, а остальные на столах схему предложения.
Светловолосая девочка играет с короткоухим котом.
Дифференциация
звуков [т] – [д]
Рассказ по опорным силуэтным
картинкам «Толя на даче»
Летом Толя отдыхал на даче. Он пошел на речку ловить удочкой рыбу. Толя сел в лодку и от берега отплыл. Мимо острова проплыл. Речку переплыл и до другого берега доплыл. Он наловил удочкой много рыбы и домой приплыл.
Дети пересказывают рассказ сначала по цепочке, а потом целиком.
В конце занятия подводится его итог.
Для того чтобы ребенок научился звуковой речи, необходимо чтобы были соблюдены следующие условия.
1. Прежде всего аппарат речи у ребенка должен быть в исправности; каждый из отделов должен работать правильно и в полном согласии с другими отделами.
2. Ребенок должен обладать хорошим слухом.
3. Посредством этого слуха он должен воспринимать предлагаемые ему окружающими хорошие образцы речи.
4. Ребенок должен быть настолько психически развит, чтобы ему вообще было о чем говорить.
5. При отсутствии хотя бы одного из этих условий мы имеем дело с расстройствами или недостатками речи.
Нахождение производных функций с использованием определения производной может быть длительным и, для некоторых функций, довольно сложным процессом. Например, ранее мы обнаружили это с помощью процесса, который включал умножение выражения на конъюгат перед вычислением предела. Процесс, который мы могли бы использовать для оценки с использованием определения, хотя и похож, но более сложен. В этом разделе мы разрабатываем правила для поиска производных, которые позволяют нам обойти этот процесс.Начнем с основ.
Функции и где положительное целое число являются строительными блоками, из которых строятся все многочлены и рациональные функции. Чтобы найти производные многочленов и рациональных функций эффективно, не прибегая к предельному определению производной, мы должны сначала разработать формулы для дифференцирования этих основных функций.
Мы показали, что
а также .На этом этапе вы можете увидеть, как начинает развиваться паттерн для производных формы.Мы продолжим рассмотрение производных формул, дифференцируя степенные функции вида где – натуральное число. Формулы для производных этого типа функций мы разрабатываем поэтапно, начиная с положительных целых степеней. Прежде чем сформулировать и доказать общее правило для производных функций этого вида, рассмотрим конкретный случай,.
Найти.
Найти.
Как мы увидим, процедура нахождения производной общего вида очень похожа.Хотя часто неразумно делать общие выводы из конкретных примеров, мы отмечаем, что, когда мы проводим дифференциацию, степень включения становится коэффициентом в производной, а степень включения в производной уменьшается на 1. Следующая теорема утверждает, что это правило степени выполняется для всех положительных целых степеней. В конечном итоге мы расширим этот результат до отрицательных целых степеней. Позже мы увидим, что это правило может быть распространено сначала на рациональные степени, а затем на произвольные степени.Однако имейте в виду, что это правило не применяется к функциям, в которых константа возводится в переменную степень, например.
Позвольте быть положительное целое число. Если, то
.В качестве альтернативы мы можем выразить это правило как
.Мы находим наши следующие правила дифференцирования, рассматривая производные сумм, разностей и постоянных кратных функций. Как и при работе с функциями, существуют правила, которые упрощают поиск производных функций, которые мы складываем, вычитаем или умножаем на константу.Эти правила кратко изложены в следующей теореме.
Теперь, когда мы изучили основные правила, мы можем приступить к рассмотрению некоторых из более сложных правил. Первый исследует производную произведения двух функций. Хотя может возникнуть соблазн предположить, что производная продукта является произведением производных инструментов, подобно правилам суммы и разницы, правило продукта не следует этому шаблону. Чтобы понять, почему мы не можем использовать этот шаблон, рассмотрим функцию, у которой производная есть, а нет.
Начнем с предположения, что и являются дифференцируемыми функциями. В ключевой точке этого доказательства нам нужно использовать тот факт, что, поскольку оно дифференцируемо, оно также непрерывно. В частности, мы используем тот факт, что, поскольку непрерывно,.
Применяя предельное определение производной к, получаем
.Добавляя и вычитая в числителе, получаем
.После разделения этого частного и применения закона сумм для пределов производная становится
.Переставляя, получаем
.Используя непрерывность определения производных от и и применяя предельные законы, мы приходим к правилу произведения,
Для, найдите, применив правило произведения. Проверьте результат, сначала найдя продукт, а затем дифференцируя его.
Используйте правило произведения, чтобы получить производную от.
.
Разработав и применив правило продукта, мы теперь рассмотрим дифференцирующие частные функций. Как мы видим в следующей теореме, производная частного не является частным производных; скорее, это производная функции в числителе, умноженная на функцию в знаменателе, минус производная функции в знаменателе, умноженная на функцию в числителе, деленную на квадрат функции в знаменателе.Чтобы лучше понять, почему мы не можем просто взять частное производных, имейте в виду, что
, что не то же самое, что.Доказательство правила отношения очень похоже на доказательство правила произведения, поэтому здесь оно опускается. Вместо этого мы применяем это новое правило для поиска производных в следующем примере.
Используйте правило частного, чтобы найти производную от.
Найдите производную от.
.
Теперь можно использовать правило частного, чтобы расширить правило степени, чтобы найти производные функций вида где – отрицательное целое число.
Если – отрицательное целое число, то
.Если – отрицательное целое число, мы можем установить, так что это положительное целое число с. Поскольку для каждого положительного целого числа мы теперь можем применить правило частного, установив и. В этом случае и. Таким образом,
.Упрощая, мы видим, что
.Наконец, обратите внимание на то, что, поскольку при подстановке мы получаем
Найти.
Применяя расширенное правило мощности с, получаем
.Для нахождения используйте расширенное правило мощности и правило кратной постоянной.
Может показаться заманчивым использовать правило частного для нахождения этой производной, и, конечно, это было бы правильно.Однако гораздо проще отличить эту функцию, сначала переписав ее как.
Найдите производную от расширенного правила мощности.
.
Как мы видели в примерах в этом разделе, редко случается, что нам приходится применять только одно правило дифференцирования, чтобы найти производную заданной функции. На этом этапе, комбинируя правила дифференцирования, мы можем найти производные любой полиномиальной или рациональной функции.Позже мы столкнемся с более сложными комбинациями правил дифференцирования. Хорошее практическое правило, которое следует использовать при применении нескольких правил, – применять правила в обратном порядке, в котором мы будем оценивать функцию.
Для, найдите.
Для поиска этой производной требуется правило сумм, правило множественных постоянных и правило произведения.
For, выразить через и их производные.
Для, найдите.
Эта процедура типична для нахождения производной рациональной функции.
Найти.
.
Определите значения, для которых имеется горизонтальная касательная.
Найдите значение (я), для которого прямая, касательная к графику, параллельна прямой.
могут быть очень захватывающими и привлечь внимание множества зрителей. Дизайнеры трассы Формулы-1 должны обеспечить наличие достаточного пространства на трибунах вокруг трассы для размещения этих зрителей. Однако автомобильные гонки могут быть опасными, и соображения безопасности имеют первостепенное значение. Трибуны должны быть размещены там, где зрителям не будет угрожать опасность, если водитель потеряет управление автомобилем ((Рисунок)).
Рисунок 1. Трибуна рядом с прямой трассой гоночной трассы Circuit de Barcelona-Catalunya, где зрителям ничего не угрожает.**********
Безопасность особенно важна на поворотах. Если водитель недостаточно замедлится перед въездом в поворот, автомобиль может соскользнуть с гоночной трассы. Обычно это приводит к более широкому повороту, что замедляет водителя. Но если водитель полностью потеряет контроль, автомобиль может полностью вылететь за пределы трассы по траектории, касательной к изгибу гоночной трассы.
Предположим, вы разрабатываете новую трассу Формулы-1. Один участок пути можно смоделировать функцией ((Рисунок)). Текущий план требует, чтобы трибуны были построены вдоль первой прямой и вокруг части первой кривой. Планируется, что передний угол трибуны должен быть расположен в этой точке. Мы хотим определить, угрожает ли это место зрителям, если водитель потеряет контроль над автомобилем.
Рис. 2. (a) Одна часть ипподрома может быть смоделирована функцией.(б) Передний угол трибуны расположен по адресу.Найдите для каждой функции следующие упражнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Для следующих упражнений найдите уравнение касательной к графику данной функции в указанной точке. Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы построить график функции и касательной.
13. [T] at
15. [T] at
Для следующих упражнений предположим, что обе функции и являются дифференцируемыми для всех.Найдите производную каждой функции.
17,
18.
19.
20.
Для следующих упражнений предположим, что обе и являются дифференцируемыми функциями со значениями, указанными в следующей таблице. Используйте следующую таблицу для расчета следующих производных.
21. Найдите, если.
23. Найдите, если.
24. Найдите, если.
Для следующих упражнений используйте следующий рисунок, чтобы найти указанные производные, если они существуют.
а. 2
б. не существует
c. 2,5
Для следующих упражнений:
28.[Т]
а. 23
г.
29. [Т]
30. [Т]
а. 3
б.
31. [Т]
32. Найдите уравнение касательной к графику при.
33. Найдите уравнение касательной к графику at.
34. Найдите уравнение касательной к графику при.
35. Найдите на графике точку, в которой касательная линия в этой точке имеет точку пересечения 6.
36. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку и касательную к графику.
37. Определите все точки на графике, для которых наклон касательной составляет
38. Найдите квадратный многочлен такой, что, и.
39. Автомобиль, проезжающий по скоростной автомагистрали, проехал метры за секунды.
40. [T] Селедка, плывущая по прямой линии, прошла ноги за секунды.
Определите скорость сельди, пройдя 3 секунды.
или 0,0992 фут / с
41. Численность миллионов арктических камбал в Атлантическом океане моделируется функцией, где измеряется в годах.
а.
г. -0,02395 мг / л-час, -0.01344 мг / л-час, -0,003566 мг / л-час, -0,001579 мг / л-час
c. Скорость, с которой снижается концентрация лекарственного средства в кровотоке, замедляется до 0 с увеличением времени.
43. У книжного издателя есть функция затрат, определяемая выражением, где – количество копий книги в тысячах, а – стоимость одной книги, измеренная в долларах. Оцените и объясните его значение.
а.
г. Н / м
Мы познакомились с методами различения основных функций (и т. Д.), А также сумм, разностей, произведений, частных и постоянных кратных этих функций.Однако эти методы не позволяют нам различать композиции функций, такие как или. В этом разделе мы изучаем правило нахождения производной композиции двух или более функций.
Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее. Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким.Вместо этого мы используем цепное правило , которое гласит, что производная сложной функции – это производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.
Чтобы рассмотреть это правило в контексте, давайте рассмотрим пример:. Мы можем думать о производной этой функции по отношению к скорости изменения относительно изменения. Следовательно, мы хотим знать, как меняется как изменяется. Мы можем думать об этом событии как о цепной реакции: как изменения, изменения, которые приводят к изменению.Эта цепная реакция дает нам подсказки относительно того, что участвует в вычислении производной от. Прежде всего, изменение принуждения к изменению предполагает, что каким-то образом задействована производная от. Кроме того, изменение принуждения к изменению в предполагает, что производная от по, где, также является частью конечной производной.
Мы можем более формально взглянуть на производную от, установив предел, который даст нам производную с определенным значением в области.
.Это выражение не кажется особенно полезным; однако мы можем изменить его, умножив и разделив на выражение, чтобы получить
.Из определения производной, мы можем видеть, что второй множитель является производной от at. То есть
.Однако было бы немного сложнее признать, что первый член также является производным инструментом. Мы можем убедиться в этом, допустив и заметив это как:
Таким образом,.
Другими словами, если, то.Таким образом, если мы думаем о композиции, где и, то производная от является произведением производной от и производной функции, вычисленной в функции. На данный момент мы ожидаем, что это весьма вероятно. Как мы определили выше, это так для.
Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.
Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза. Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем создать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.
В общем, сначала сдаем
.Затем, применяя цепное правило, мы получаем
.Снова применяя цепное правило, получаем
.Для всех значений, для которых функция дифференцируема, если
,, затем
.Другими словами, мы применяем цепное правило дважды.
Обратите внимание, что производная от композиции трех функций состоит из трех частей. (Точно так же производная композиции четырех функций состоит из четырех частей и т. Д.) Кроме того, помните, мы всегда работаем извне внутрь, беря по одной производной за раз.
Найдите производную от.
Сначала перепишите как
.Затем примените цепное правило несколько раз.
Найдите производную от.
Частица движется по координатной оси. Его положение во время указано в. Какова скорость частицы во времени?
Частица движется по координатной оси.Его положение во время указано в. Найдите его ускорение во времени.
Теперь, когда мы изучили пределы и непрерывность функций двух переменных, мы можем перейти к изучению производных.Нахождение производных функций двух переменных – ключевая концепция в этой главе, имеющая такое же множество приложений в математике, науке и технике, как и дифференцирование функций одной переменной. Однако мы уже видели, что ограничения и непрерывность функций с несколькими переменными имеют новые проблемы и требуют новой терминологии и идей для их решения. Это также переносится на дифференциацию.
При изучении производных функций одной переменной мы обнаружили, что одна из интерпретаций производной – это мгновенная скорость изменения yy как функции от x.Икс. Обозначение Лейбница для производной – dy / dx, dy / dx, что означает, что yy – зависимая переменная, а xx – независимая переменная. Для функции z = f (x, y) z = f (x, y) двух переменных, xx и yy – независимые переменные, а zz – зависимая переменная. Сразу возникает два вопроса: как адаптировать обозначения Лейбница для функций двух переменных? Кроме того, какова интерпретация производной? Ответ кроется в частных производных.
Пусть f (x, y) f (x, y) – функция двух переменных.Тогда частная производная ff по x, x, записанная как ∂f / ∂x, ∂f / ∂x или fx, fx, определяется как
∂f∂x = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h. ∂f∂x = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h.(4.12)
Частная производная ff по y, y, записанная как ∂f / ∂y, ∂f / ∂y или fy, fy, определяется как
∂f∂y = limk → 0f (x, y + k) −f (x, y) k. ∂f∂y = limk → 0f (x, y + k) −f (x, y) k.(4.13)
Это определение уже показывает два различия. Во-первых, обозначения меняются в том смысле, что мы все еще используем версию обозначений Лейбница, но dd в исходных обозначениях заменяется символом ∂.∂. (Это округленное «d» «d» обычно называют «частичным», поэтому ∂f / ∂x∂f / ∂x произносится как «частичное ff по отношению к x».) X ».) Это первое намек на то, что мы имеем дело с частными производными. Во-вторых, теперь у нас есть две разные производные, которые мы можем взять, поскольку есть две разные независимые переменные. В зависимости от того, какую переменную мы выбираем, мы можем придумывать разные частные производные, что часто и происходит.
Используйте определение частной производной как предел для вычисления ∂f / ∂x∂f / ∂x и ∂f / ∂y∂f / ∂y для функции
f (x, y) = x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12.f (x, y) = x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12.Сначала вычислите f (x + h, y) .f (x + h, y).
f (x + h, y) = (x + h) 2−3 (x + h) y + 2y2−4 (x + h) + 5y − 12 = x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4x −4h + 5y − 12. f (x + h, y) = (x + h) 2−3 (x + h) y + 2y2−4 (x + h) + 5y − 12 = x2 + 2xh + h3− 3xy − 3hy + 2y2−4x − 4h + 5y − 12.Затем подставьте это в уравнение 4.12 и упростите:
∂f∂x = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h = limh → 0 (x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4x − 4h + 5y − 12) – ( x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12) h = limh → 0x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4x − 4h + 5y − 12 − x2 + 3xy − 2y2 + 4x − 5y + 12h = limh → 02xh + h3−3hy − 4hh = limh → 0h (2x + h − 3y − 4) h = limh → 0 (2x + h − 3y − 4) = 2x − 3y − 4.∂f∂x = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h = limh → 0 (x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4x − 4h + 5y − 12) – ( x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12) h = limh → 0x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4x − 4h + 5y − 12 − x2 + 3xy − 2y2 + 4x − 5y + 12h = limh → 02xh + h3−3hy − 4hh = limh → 0h (2x + h − 3y − 4) h = limh → 0 (2x + h − 3y − 4) = 2x − 3y − 4.Чтобы вычислить ∂f∂y, ∂f∂y, сначала вычислите f (x, y + h): f (x, y + h):
f (x, y + h) = x2−3x (y + h) +2 (y + h) 2−4x + 5 (y + h) −12 = x2−3xy − 3xh + 2y2 + 4yh + 2h3−4x + 5y + 5h − 12. f (x, y + h) = x2−3x (y + h) +2 (y + h) 2−4x + 5 (y + h) −12 = x2−3xy − 3xh + 2y2 + 4yh + 2h3−4x + 5y + 5h − 12.Затем подставьте это в уравнение 4.13 и упростите:
∂f∂y = limk → 0f (x, y + h) −f (x, y) k = limk → 0 (x2−3xy − 3xk + 2y2 + 4yk + 2k2−4x + 5y + 5k − 12) – ( x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12) k = limk → 0x2−3xy − 3xk + 2y2 + 4yk + 2k2−4x + 5y + 5k − 12 − x2 + 3xy − 2y2 + 4x − 5y + 12k = limk → 0−3xk + 4yk + 2k2 + 5kk = limk → 0h (−3x + 4y + 2k + 5) k = limk → 0 (−3x + 4y + 2k + 5) = – 3x + 4y + 5.∂f∂y = limk → 0f (x, y + h) −f (x, y) k = limk → 0 (x2−3xy − 3xk + 2y2 + 4yk + 2k2−4x + 5y + 5k − 12) – ( x2−3xy + 2y2−4x + 5y − 12) k = limk → 0x2−3xy − 3xk + 2y2 + 4yk + 2k2−4x + 5y + 5k − 12 − x2 + 3xy − 2y2 + 4x − 5y + 12k = limk → 0−3xk + 4yk + 2k2 + 5kk = limk → 0h (−3x + 4y + 2k + 5) k = limk → 0 (−3x + 4y + 2k + 5) = – 3x + 4y + 5.Используйте определение частной производной как предел для вычисления ∂f / ∂x∂f / ∂x и ∂f / ∂y∂f / ∂y для функции
f (x, y) = 4×2 + 2xy − y2 + 3x − 2y + 5. f (x, y) = 4×2 + 2xy − y2 + 3x − 2y + 5.Идея, которую следует иметь в виду при вычислении частных производных, состоит в том, чтобы рассматривать все независимые переменные, кроме переменной, по которой мы производим дифференцирование, как константы.Затем переходите к дифференцированию, как с функцией одной переменной. Чтобы понять, почему это так, сначала зафиксируйте yy и определите g (x) = f (x, y) g (x) = f (x, y) как функцию от x.x. Тогда
g ′ (x) = limh → 0g (x + h) −g (x) h = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h = ∂f∂xg ′ (x) = limh → 0g (x + h) −g (x) h = limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h = ∂f∂x.То же самое верно и для вычисления частной производной ff по y.y. На этот раз зафиксируйте xx и определите h (y) = f (x, y) h (y) = f (x, y) как функцию от y.y. Тогда
h ′ (x) = limk → 0h (x + k) −h (x) k = limk → 0f (x, y + k) −f (x, y) k = ∂f∂y.h ′ (x) = limk → 0h (x + k) −h (x) k = limk → 0f (x, y + k) −f (x, y) k = ∂f∂y.Применяются все правила дифференциации из Введение в производные финансовые инструменты.
Вычислить ∂f / ∂x∂f / ∂x и ∂f / ∂y∂f / ∂y для следующих функций, удерживая противоположную переменную постоянной и затем дифференцируя:
Вычислить ∂f / ∂x∂f / ∂x и ∂f / ∂y∂f / ∂y для функции f (x, y) = tan (x3−3x2y2 + 2y4) f (x, y) = tan ( x3−3x2y2 + 2y4), удерживая противоположную переменную постоянной, а затем производя дифференцирование.
Как мы можем интерпретировать эти частные производные? Напомним, что график функции двух переменных – это поверхность в ℝ3.ℝ3. Если мы удалим предел из определения частной производной по x, x, то разностное отношение останется:
f (x + h, y) −f (x, y) h.f (x + h, y) −f (x, y) h.Это похоже на коэффициент разности производной функции одной переменной, за исключением наличия переменной yy. На рис. 4.21 изображена поверхность, описываемая произвольной функцией z = f (x, y).г = е (х, у).
Фигура 4,21 Секущая линия, проходящая через точки (x, y, f (x, y)) (x, y, f (x, y)) и (x + h, y, f (x + h, y)). (X + h, y, f (x + h, y)).На рисунке 4.21 значение hh положительное. Если построить график f (x, y) f (x, y) и f (x + h, y) f (x + h, y) для произвольной точки (x, y), (x, y), то наклон секущей линии, проходящей через эти две точки, равен
f (x + h, y) −f (x, y) h.f (x + h, y) −f (x, y) h.Эта линия параллельна оси x. Оси x. Следовательно, наклон секущей линии представляет собой среднюю скорость изменения функции ff, когда мы движемся параллельно оси x.ось абсцисс. Когда hh приближается к нулю, наклон секущей линии приближается к наклону касательной.
Если мы решим изменить yy вместо xx на то же значение приращения h, h, то секущая линия параллельна оси y, как и касательная. Следовательно, ∂f / ∂x∂f / ∂x представляет собой наклон касательной, проходящей через точку (x, y, f (x, y)) (x, y, f (x, y)), параллельную Ось x ось x и ∂f / ∂y∂f / ∂y представляет собой наклон касательной линии, проходящей через точку (x, y, f (x, y)) (x, y, f (x, y) ) параллельно оси ординат.ось y. Если мы хотим найти наклон касательной, проходящей через ту же точку в любом другом направлении, нам понадобится так называемая производная по направлению , которую мы обсуждаем в разделе «Производные по направлению и градиент».
Теперь мы вернемся к идее контурных карт, которую мы представили в разделе «Функции нескольких переменных». Мы можем использовать контурное отображение для оценки частных производных функции g (x, y) .g (x, y).
Используйте контурную карту, чтобы оценить ∂g / ∂x∂g / ∂x в точке (5,0) (5,0) для функции g (x, y) = 9 − x2 − y2.д (х, у) = 9-х2-у2.
На следующем графике представлена контурная карта для функции g (x, y) = 9 − x2 − y2.g (x, y) = 9 − x2 − y2.
Фигура 4,22 Контурное отображение для функции g (x, y) = 9 − x2 − y2, g (x, y) = 9 − x2 − y2, используя c = 0,1,2, c = 0,1,2 и 33 (c = 3 (c = 3 соответствует началу координат).Внутренний круг на контурной карте соответствует c = 2c = 2, а следующий круг соответствует c = 1.c = 1. Первый круг задается уравнением 2 = 9 − x2 − y2; 2 = 9 − x2 − y2; вторая окружность задается уравнением 1 = 9 − x2 − y2.1 = 9 − x2 − y2. Первое уравнение упрощается до x2 + y2 = 5×2 + y2 = 5, а второе уравнение упрощается до x2 + y2 = 8.×2 + y2 = 8. Пересечение x-точки первой окружности равно (5,0) (5,0), а пересечение x-точки второй окружности – (22,0). (22,0). Мы можем оценить значение ∂g / ∂x∂g / ∂x, вычисленное в точке (5,0) (5,0), используя формулу наклона:
∂g∂x | (x, y) = (5,0) ≈g (5,0) −g (22,0) 5−22 = 2−15−22 = 15−22≈ − 1.688.∂g∂ x | (x, y) = (5,0) ≈g (5,0) −g (22,0) 5−22 = 2−15−22 = 15−22≈ − 1,688.Чтобы вычислить точное значение ∂g / ∂x∂g / ∂x, вычисленное в точке (5,0), (5,0), мы начнем с нахождения ∂g / ∂x∂g / ∂x с использованием цепочки правило.Сначала перепишем функцию как g (x, y) = 9 − x2 − y2 = (9 − x2 − y2) 1 / 2g (x, y) = 9 − x2 − y2 = (9 − x2 − y2) 1. / 2, а затем дифференцировать по xx при постоянном yy:
∂g∂x = 12 (9 − x2 − y2) −1/2 (−2x) = – x9 − x2 − y2. ∂g∂x = 12 (9 − x2 − y2) −1/2 (−2x) = −x9 − x2 − y2.Затем мы оцениваем это выражение, используя x = 5x = 5 и y = 0: y = 0:
∂g∂x | (x, y) = (5,0) = – 59− (5) 2− (0) 2 = −54 = −52≈ − 1.118.∂g∂x | (x, y) = (5,0) = – 59− (5) 2− (0) 2 = −54 = −52≈ − 1,118.Оценка частной производной соответствует наклону секущей линии, проходящей через точки (5,0, g (5,0)) (5,0, g (5,0)) и (22,0, g (22,0)).(22,0, г (22,0)). Он представляет собой аппроксимацию наклона касательной к поверхности через точку (5,0, g (5,0)), (5,0, g (5,0)), которая параллельна оси x- ось. ось x.
Используйте контурную карту, чтобы оценить ∂f / ∂y∂f / ∂y в точке (0,2) (0,2) для функции
f (x, y) = x2 − y2. f (x, y) = x2 − y2.Сравните это с точным ответом.
Предположим, у нас есть функция трех переменных, например w = f (x, y, z).ш = е (х, у, г). Мы можем вычислить частные производные ww по любой из независимых переменных, просто как расширение определений частных производных функций двух переменных.
Пусть f (x, y, z) f (x, y, z) – функция трех переменных. Тогда частная производная от ff по x, , записанная как ∂f / ∂x, ∂f / ∂x или fx, fx, определяется как
∂f∂x = limh → 0f (x + h, y, z) −f (x, y, z) h.∂f∂x = limh → 0f (x + h, y, z) −f (x, у, г) з.(4.14)
Частная производная от ff по y, y, записанная как ∂f / ∂y, ∂f / ∂y или fy, fy, определяется как
∂f∂y = limk → 0f (x, y + k, z) −f (x, y, z) k.∂f∂y = limk → 0f (x, y + k, z) −f (x, у, г) к.(4.15)
Частная производная от ff по z, z, записанная как ∂f / ∂z, ∂f / ∂z или fz, fz, определяется как
∂f∂z = limm → 0f (x, y, z + m) −f (x, y, z) m.∂f∂z = limm → 0f (x, y, z + m) −f (x, у, г) м.(4.16)
Мы можем вычислить частную производную функции трех переменных, используя ту же идею, которую мы использовали для функции двух переменных.Например, если у нас есть функция ff от x, y и z, x, y и z, и мы хотим вычислить ∂f / ∂x, ∂f / ∂x, то мы обрабатываем две другие независимые переменные, как если бы они – константы, то дифференцируем по xx
Используйте определение предела частных производных для вычисления ∂f / ∂x∂f / ∂x для функции
f (x, y, z) = x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z.f (x, y, z) = x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z.Затем найдите ∂f / ∂y∂f / ∂y и ∂f / ∂z∂f / ∂z, установив две другие переменные постоянными и проведя соответствующее дифференцирование.
Сначала мы вычисляем ∂f / ∂x∂f / ∂x, используя уравнение 4.14, затем вычисляем две другие частные производные, оставляя оставшиеся переменные постоянными. Чтобы использовать уравнение для нахождения ∂f / ∂x, ∂f / ∂x, нам сначала нужно вычислить f (x + h, y, z): f (x + h, y, z):
f (x + h, y, z) = (x + h) 2−3 (x + h) y + 2y2−4 (x + h) z + 5yz2−12 (x + h) + 4y − 3z = x2. + 2xh + h3−3xy − 3xh + 2y2−4xz − 4hz + 5yz2−12x − 12h + 4y − 3zf (x + h, y, z) = (x + h) 2−3 (x + h) y + 2y2 −4 (x + h) z + 5yz2−12 (x + h) + 4y − 3z = x2 + 2xh + h3−3xy − 3xh + 2y2−4xz − 4hz + 5yz2−12x − 12h + 4y − 3zи напомним, что f (x, y, z) = x2−3xy + 2y2−4zx + 5yz2−12x + 4y − 3z.f (x, y, z) = x2−3xy + 2y2−4zx + 5yz2−12x + 4y − 3z. Затем мы подставляем эти два выражения в уравнение:
∂f∂x = limh → 0 [x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4xz − 4hz + 5yz2−12x − 12h + 4y − 3zh − x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3zh ] = limh → 0 [2xh + h3−3hy − 4hz − 12hh] = limh → 0 [h (2x + h − 3y − 4z − 12) h] = limh → 0 (2x + h − 3y − 4z − 12) = 2x − 3y − 4z − 12. ∂f∂x = limh → 0 [x2 + 2xh + h3−3xy − 3hy + 2y2−4xz − 4hz + 5yz2−12x − 12h + 4y − 3zh − x2−3xy + 2y2− 4xz + 5yz2−12x + 4y − 3zh] = limh → 0 [2xh + h3−3hy − 4hz − 12hh] = limh → 0 [h (2x + h − 3y − 4z − 12) h] = limh → 0 (2x + h − 3y − 4z − 12) = 2x − 3y − 4z − 12.Затем мы находим ∂f / ∂y∂f / ∂y, удерживая постоянные xandzxandz.Следовательно, любой член, не включающий переменную yy, является постоянным, а его производная равна нулю. Мы можем применить правила суммы, разности и мощности для функций одной переменной:
∂∂y [x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z] = ∂∂y [x2] −∂∂y [3xy] + ∂∂y [2y2] −∂∂y [4xz] + ∂ ∂y [5yz2] −∂∂y [12x] + ∂∂y [4y] −∂∂y [3z] = 0−3x + 4y − 0 + 5z2−0 + 4−0 = −3x + 4y + 5z2 + 4. ∂∂y [x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z] = ∂∂y [x2] −∂∂y [3xy] + ∂∂y [2y2] −∂∂y [4xz] + ∂∂y [5yz2] −∂∂y [12x] + ∂∂y [4y] −∂∂y [3z] = 0−3x + 4y − 0 + 5z2−0 + 4−0 = −3x + 4y + 5z2 + 4.Чтобы вычислить ∂f / ∂z, ∂f / ∂z, мы сохраняем константу x и y и применяем правила суммы, разности и степени для функций одной переменной:
∂∂z [x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z] = ∂∂z [x2] −∂∂z [3xy] + ∂∂z [2y2] −∂∂z [4xz] + ∂ ∂z [5yz2] −∂∂z [12x] + ∂∂z [4y] −∂∂z [3z] = 0−0 + 0−4x + 10yz − 0 + 0−3 = −4x + 10yz − 3.∂∂z [x2−3xy + 2y2−4xz + 5yz2−12x + 4y − 3z] = ∂∂z [x2] −∂∂z [3xy] + ∂∂z [2y2] −∂∂z [4xz] + ∂ ∂z [5yz2] −∂∂z [12x] + ∂∂z [4y] −∂∂z [3z] = 0−0 + 0−4x + 10yz − 0 + 0−3 = −4x + 10yz − 3.Используйте определение предела частных производных для вычисления ∂f / ∂x∂f / ∂x для функции
f (x, y, z) = 2×2−4x2y + 2y2 + 5xz2−6x + 3z − 8. f (x, y, z) = 2×2−4x2y + 2y2 + 5xz2−6x + 3z − 8.Затем найдите ∂f / ∂y∂f / ∂y и ∂f / ∂z∂f / ∂z, установив две другие переменные постоянными и проведя соответствующее дифференцирование.
Вычислите три частные производные следующих функций.
В каждом случае трактуйте все переменные как константы, кроме той, частную производную которой вы вычисляете.
Вычислить ∂f / ∂x, ∂f / ∂x, ∂f / ∂y, ∂f / ∂y и ∂f / ∂z∂f / ∂z для функции f (x, y, z) = sec. (x2y) −tan (x3yz2) .f (x, y, z) = sec (x2y) −tan (x3yz2).
Рассмотрим функцию
f (x, y) = 2×3−4xy2 + 5y3−6xy + 5x − 4y + 12. f (x, y) = 2×3−4xy2 + 5y3−6xy + 5x − 4y + 12.Его частные производные:
∂f∂x = 6×2−4y2−6y + 5and∂f∂y = −8xy + 15y2−6x − 4. ∂f∂x = 6×2−4y2−6y + 5and∂f∂y = −8xy + 15y2−6x− 4.Каждая из этих частных производных является функцией двух переменных, поэтому мы можем вычислить частные производные этих функций.Как и в случае с производными функций одной переменной, мы можем называть эти производными второго порядка, производными третьего порядка и так далее. В общем, они называются частными производными более высокого порядка. Для любой функции существует четыре частных производных второго порядка (при условии, что все они существуют):
∂2f∂x2 = ∂∂x [∂f∂x], ∂2f∂x∂y = ∂∂x [∂f∂y], ∂2f∂y∂x = ∂∂y [∂f∂x], ∂ 2f∂y2 = ∂∂y [∂f∂y] .∂2f∂x2 = ∂∂x [∂f∂x], ∂2f∂x∂y = ∂∂x [∂f∂y], ∂2f∂y ∂x = ∂∂y [∂f∂x], ∂2f∂y2 = ∂∂y [∂f∂y].Альтернативное обозначение для каждого из них – fxx, fyx, fxy, fxx, fyx, fxy и fyy, fyy соответственно.Частные производные высшего порядка, вычисляемые по различным переменным, таким как fxyfxy и fyx, fyx, обычно называются смешанными частными производными.
Вычислить все четыре вторые частные производные функции
f (x, y) = xe − 3y + sin (2x − 5y). f (x, y) = xe − 3y + sin (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / dx2∂2f / dx2 и ∂2f / ∂y∂x, ∂2f / ∂y∂x, сначала вычислим ∂f / ∂x: ∂f / ∂x:
∂f∂x = e − 3y + 2cos (2x − 5y).∂f∂x = e − 3y + 2cos (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / dx2, ∂2f / dx2, продифференцируйте ∂f / ∂x∂f / ∂x по x: x:
∂2f∂x2 = ∂∂x [∂f∂x] = ∂∂x [e − 3y + 2cos (2x − 5y)] = – 4sin (2x − 5y). ∂2f∂x2 = ∂∂x [∂f ∂x] = ∂∂x [e − 3y + 2cos (2x − 5y)] = – 4sin (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / ∂y∂x, ∂2f / ∂y∂x, продифференцируйте ∂f / ∂x∂f / ∂x по y: y:
∂2f∂y∂x = ∂∂y [∂f∂x] = ∂∂y [e − 3y + 2cos (2x − 5y)] = – 3e − 3y + 10sin (2x − 5y) .∂2f∂y∂ x = ∂∂y [∂f∂x] = ∂∂y [e − 3y + 2cos (2x − 5y)] = – 3e − 3y + 10sin (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / ∂x∂y∂2f / ∂x∂y и ∂2f / dy2, ∂2f / dy2, сначала вычислите ∂f / ∂y: ∂f / ∂y:
∂f∂y = −3xe − 3y − 5cos (2x − 5y).∂f∂y = −3xe − 3y − 5cos (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / ∂x∂y, ∂2f / ∂x∂y, продифференцируйте ∂f / ∂y∂f / ∂y по x: x:
∂2f∂x∂y = ∂∂x [∂f∂y] = ∂∂x [−3xe − 3y − 5cos (2x − 5y)] = – 3e − 3y + 10sin (2x − 5y) .∂2f∂x ∂y = ∂∂x [∂f∂y] = ∂∂x [−3xe − 3y − 5cos (2x − 5y)] = – 3e − 3y + 10sin (2x − 5y).Чтобы вычислить ∂2f / ∂y2, ∂2f / ∂y2, продифференцируйте ∂f / ∂y∂f / ∂y по y: y:
∂2f∂y2 = ∂∂y [∂f∂y] = ∂∂y [−3xe − 3y − 5cos (2x − 5y)] = 9xe − 3y − 25sin (2x − 5y). ∂2f∂y2 = ∂∂ y [∂f∂y] = ∂∂y [−3xe − 3y − 5cos (2x − 5y)] = 9xe − 3y − 25sin (2x − 5y).Вычислить все четыре вторые частные производные функции
f (x, y) = sin (3x − 2y) + cos (x + 4y).f (x, y) = sin (3x − 2y) + cos (x + 4y).Здесь мы должны заметить, что как в примере 4.19, так и в контрольной точке верно, что ∂2f / ∂x∂y = ∂2f / ∂y∂x.∂2f / ∂x∂y = ∂2f / ∂y ∂x. При определенных условиях это всегда так. Фактически, это прямое следствие следующей теоремы.
Предположим, что f (x, y) f (x, y) определена на открытом диске DD, который содержит точку (a, b). (A, b). Если функции fxyfxy и fyxfyx непрерывны на D, D, то fxy = fyx.fxy = fyx.
ТеоремаКлеро гарантирует, что до тех пор, пока смешанные производные второго порядка непрерывны, порядок, в котором мы выбираем дифференцировать функции (то есть, какая переменная идет первой, затем второй и т. Д.), Не имеет значения. Его также можно распространить на производные более высокого порядка. Доказательство теоремы Клеро можно найти в самых продвинутых книгах по математике.
Две другие частные производные второго порядка могут быть вычислены для любой функции f (x, y) .f (x, y). Частная производная fxxfxx равна частной производной fxfx по x, x, а fyyfyy равна частной производной fyfy по y.у.
Во введении в дифференциальные уравнения мы изучали дифференциальные уравнения, в которых у неизвестной функции была одна независимая переменная. Уравнение в частных производных – это уравнение, которое включает неизвестную функцию более чем одной независимой переменной и одной или нескольких ее частных производных. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных:
ut = c2 (uxx + uyy) ut = c2 (uxx + uyy)(4.17)
(уравнение теплопроводности в двух измерениях)
utt = c2 (uxx + uyy) utt = c2 (uxx + uyy)(4.18)
(волновое уравнение в двух измерениях)
uxx + uyy = 0uxx + uyy = 0(4.19)
(уравнение Лапласа в двух измерениях)
В первых двух уравнениях неизвестная функция uu имеет три независимых переменных: t, x, andyt, x, andy, а cc – произвольная константа. Независимые переменные xandyxandy считаются пространственными переменными, а переменная tt представляет время. В уравнении Лапласа неизвестная функция uu имеет две независимые переменные xandy.xandy.
Убедитесь, что
u (x, y, t) = 5sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) u (x, y, t) = 5sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt)– решение волнового уравнения
utt = 4 (uxx + uyy) .utt = 4 (uxx + uyy).(4.20)
Сначала мы вычисляем utt, uxx, utt, uxx и uyy: uyy:
utt = ∂∂t [∂u∂t] = ∂∂t [5sin (3πx) sin (4πy) (- 10πsin (10πt))] = ∂∂t [−50πsin (3πx) sin (4πy) sin (10πt) ] = – 500π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) uxx = ∂∂x [∂u∂x] = ∂∂x [15πcos (3πx) sin (4πy) cos (10πt)] = – 45π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) uyy = ∂∂y [∂u∂y] = ∂∂y [5sin (3πx) (4πcos (4πy)) cos (10πt)] = ∂∂y [20πsin (3πx) cos ( 4πy) cos (10πt)] = – 80π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt).utt = ∂∂t [∂u∂t] = ∂∂t [5sin (3πx) sin (4πy) (- 10πsin (10πt))] = ∂∂t [−50πsin (3πx) sin (4πy) sin (10πt) ] = – 500π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) uxx = ∂∂x [∂u∂x] = ∂∂x [15πcos (3πx) sin (4πy) cos (10πt)] = – 45π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) uyy = ∂∂y [∂u∂y] = ∂∂y [5sin (3πx) (4πcos (4πy)) cos (10πt)] = ∂∂y [20πsin (3πx) cos ( 4πy) cos (10πt)] = – 80π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt).Затем мы подставляем каждый из них в правую часть уравнения 4.20 и упрощаем:
4 (uxx + uyy) = 4 (−45π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) + – 80π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt)) = 4 (−125π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt)) = – 500π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) = utt.4 (uxx + uyy) = 4 (−45π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) + – 80π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt)) = 4 (−125π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt)) = – 500π2sin (3πx) sin (4πy) cos (10πt) = utt.Это подтверждает решение.
Убедитесь, что u (x, y, t) = 2sin (x3) sin (y4) e − 25t / 16u (x, y, t) = 2sin (x3) sin (y4) e − 25t / 16 является решением уравнение теплопроводности
ut = 9 (uxx + uyy) .ut = 9 (uxx + uyy).(4,21)
Поскольку решение двумерного уравнения теплопроводности является функцией трех переменных, создать визуальное представление решения непросто.Мы можем построить график решения для фиксированных значений t , что составляет моментальные снимки распределения тепла в фиксированные моменты времени. Эти снимки показывают, как тепло распределяется по двумерной поверхности с течением времени. График предыдущего решения в момент времени t = 0t = 0 показан на следующем рисунке. Со временем крайности выравниваются, приближаясь к нулю, когда t приближается к бесконечности.
Фигура 4,23
Если мы рассмотрим уравнение теплопроводности в одном измерении, то можно будет построить график решения во времени.Уравнение теплопроводности в одном измерении становится
, где c2c2 представляет коэффициент температуропроводности рассматриваемого материала. Решение этого дифференциального уравнения можно записать в виде
um (x, t) = e − π2m2c2tsin (mπx) um (x, t) = e − π2m2c2tsin (mπx)(4,22)
, где мм – любое положительное целое число. График этого решения с m = 1m = 1 показан на рис. 4.24, где начальное распределение температуры по проводу длиной 11 дается формулой u (x, 0) = sinπx.u (x, 0) = sinπx. Обратите внимание, что со временем провод остывает.Это видно, потому что слева направо самая высокая температура (которая возникает в середине провода) уменьшается и меняет цвет с красного на синий.
Фигура 4,24 График решения уравнения теплопроводности в одном измерении с течением времени.
Фигура 4,25 а) Уильям Томсон (лорд Кельвин), 1824–1907, был британским физиком и инженером-электриком; (b) Кельвин использовал уравнение диффузии тепла для оценки возраста Земли (кредит: модификация работы НАСА).
В конце 1800-х годов ученые новой области геологии приходили к выводу, что Земле должны быть «миллионы и миллионы» лет. Примерно в то же время Чарльз Дарвин опубликовал свой трактат по эволюции. Дарвин считал, что для эволюции необходимы многие миллионы лет, и он смело заявил, что меловые поля Уилда, где были обнаружены важные окаменелости, были результатом эрозии в течение 300–300 миллионов лет.
В то время выдающийся физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) использовал важное уравнение в частных производных, известное как уравнение диффузии тепла , чтобы оценить возраст Земли, определив, сколько времени потребуется Земле, чтобы остыть от расплавленной породы до того, что у нас было в то время.Его вывод был в диапазоне от 20 до 40020 до 400 миллионов лет, но, скорее всего, около 5050 миллионов лет. На протяжении многих десятилетий провозглашение этого неопровержимого символа науки не нравилось геологам или Дарвину.
Кельвин сделал разумные предположения, основанные на том, что было известно в его время, но он также сделал несколько предположений, которые оказались неверными. Одно неверное предположение заключалось в том, что Земля твердая и поэтому охлаждение происходило только за счет теплопроводности, что оправдывает использование уравнения диффузии.Но самая серьезная ошибка была простительной – упущение того факта, что Земля содержит радиоактивные элементы, которые постоянно поставляют тепло под мантию Земли. Открытие радиоактивности было ближе к концу жизни Кельвина, и он признал, что его расчет придется изменить.
Кельвин использовал простую одномерную модель, примененную только к внешней оболочке Земли, и получил возраст из графиков и примерно известного градиента температуры у поверхности Земли. Давайте посмотрим на более подходящий вариант уравнения диффузии в радиальных координатах, который имеет вид
∂T∂t = K [∂2T∂2r + 2r∂T∂r].∂T∂t = K [∂2T∂2r + 2r∂T∂r].(4,23)
Здесь T (r, t) T (r, t) – температура как функция от rr (отсчитывается от центра Земли) и времени t.t. KK – теплопроводность, в данном случае для расплавленной породы. Стандартный метод решения такого уравнения с частными производными – разделение переменных, где мы выражаем решение как произведение функций, содержащих каждую переменную отдельно. В этом случае мы бы записали температуру как
T (r, t) = R (r) f (t). T (r, t) = R (r) f (t).Обратите внимание, как значения αnαn берутся из граничного условия, примененного в части b. Член −1n − 1n − 1n − 1n – это константа AnAn для каждого члена в ряду, определенная с применением метода Фурье. Положив β = πRE, β = πRE, исследуем первые несколько членов этого решения, показанного здесь, и обратите внимание, как λ2λ2 в экспоненте заставляет старшие члены быстро уменьшаться с течением времени:
T (r, t) = T0REπr (e − Kβ2t (sinβr) −12e − 4Kβ2t (sin2βr) + 13e − 9Kβ2t (sin3βr) −14e − 16Kβ2t (sin4βr) + 15e − 25Kβ2t (sin5βr)…). T (r, t) = T0REπr (e − Kβ2t (sinβr) −12e − 4Kβ2t (sin2βr) + 13e − 9Kβ2t (sin3βr) −14e − 16Kβ2t (sin4βr) + 15e − 25Kβ2t (sin5βr) … ).Вблизи момента времени t = 0, t = 0 для точности требуется много членов решения. Подставляя значения для проводимости KK и β = π / REβ = π / RE для времени, приближающегося всего к тысячам лет, только первые несколько членов вносят значительный вклад. Кельвину нужно было только взглянуть на раствор у поверхности Земли (рис. 4.26) и, спустя долгое время, определить, в какое время лучше всего подходит расчетный градиент температуры, известный в его эпоху (1 ° F (увеличение на 1 ° F на 50 футов).50 футов). Он просто выбрал диапазон времен с градиентом, близким к этому значению. На рис. 4.26 решения нанесены на график и масштабированы с добавлением температуры поверхности 300–300 – K. Обратите внимание, что центр Земли был бы относительно прохладным. В то время считалось, что Земля должна быть твердой.
Фигура 4,26 Температура в зависимости от радиального расстояния от центра Земли. (а) Результаты Кельвина в масштабе. (b) Крупный план результатов на глубине 4,0–4,0 мили ниже поверхности Земли.Эпилог
20 мая 1904–201904 физик Эрнест Резерфорд выступил в Королевском институте, чтобы объявить пересмотренный расчет, который включал вклад радиоактивности как источника тепла Земли. По словам Резерфорда:
«Я вошел в комнату, которая была полутемной, и вскоре заметил лорда Кельвина в аудитории и понял, что меня ждут неприятности в последней части моей речи, посвященной возрасту Земли, где мои взгляды расходились. с его.К моему облегчению, Кельвин крепко заснул, но когда я подошел к важному моменту, я увидел, как старая птица села, открыла глаз и бросила на меня злобный взгляд.
Затем внезапно пришло вдохновение, и я сказал, что лорд Кельвин ограничил возраст Земли, при условии, что не будет обнаружен новый источник [ тепла ] . Это пророческое высказывание относилось к тому, что мы рассматриваем сегодня вечером, – к радию! Вот! Старик сиял на меня ».
Резерфорд рассчитал, что возраст Земли составляет около 500–500 миллионов лет.Сегодняшнее принятое значение возраста Земли составляет около 4,64,6 миллиарда лет.
Для следующих упражнений вычислите частную производную, используя только определения пределов.
112 .∂z∂x∂z∂x для z = x2−3xy + y2z = x2−3xy + y2
113 .∂z∂y∂z∂y для z = x2−3xy + y2z = x2−3xy + y2
Для следующих упражнений вычислите знак частной производной, используя график поверхности.
Для следующих упражнений вычислите частные производные.
118 .∂z∂x∂z∂x для z = sin (3x) cos (3y) z = sin (3x) cos (3y)
119 .∂z∂y∂z∂y для z = sin (3x) cos (3y) z = sin (3x) cos (3y)
120 .∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y∂z∂y для z = x8e3yz = x8e3y
121 .∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y∂z∂y для z = ln (x6 + y4) z = ln (x6 + y4)
122 .Найдите fy (x, y) fy (x, y) для f (x, y) = exycos (x) sin (y). F (x, y) = exycos (x) sin (y).
123 .Пусть z = exy.z = exy. Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.
124 .Пусть z = ln (xy) .z = ln (xy). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.
125 .Пусть z = tan (2x − y) .z = tan (2x − y). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.
126 .Пусть z = sh (2x + 3y) .z = sh (2x + 3y). Найдите ∂z∂x∂z∂x и ∂z∂y.∂z∂y.
127 .Пусть f (x, y) = arctan (yx). F (x, y) = arctan (yx). Вычислите fx (2, −2) fx (2, −2) и fy (2, −2) .fy (2, −2).
128 .Пусть f (x, y) = xyx − y.f (x, y) = xyx − y. Найдите fx (2, −2) fx (2, −2) и fy (2, −2) .fy (2, −2).
Вычислить частные производные в точке P (0,1) .P (0,1).
129 .Найдите ∂z∂x∂z∂x в точке (0,1) (0,1) для z = e − xcos (y).z = e − xcos (y).
130 .Для заданного f (x, y, z) = x3yz2, f (x, y, z) = x3yz2 найдите ∂2f∂x∂y∂2f∂x∂y и fz (1,1,1) .fz (1 , 1,1).
131 .Дано f (x, y, z) = 2sin (x + y), f (x, y, z) = 2sin (x + y), найти fx (0, π2, −4), fx (0, π2 , −4), fy (0, π2, −4), fy (0, π2, −4) и fz (0, π2, −4). Fz (0, π2, −4).
132 .Площадь параллелограмма с соседними длинами сторон, равными aandb, aandb, и в котором угол между этими двумя сторонами равен θ, θ, определяется функцией A (a, b, θ) = бассейн (θ). (a, b, θ) = бассейн (θ). Найдите скорость изменения площади параллелограмма относительно следующего:
Выразите объем правого кругового цилиндра как функцию двух переменных:
Вычислить ∂w∂z∂w∂z для w = zsin (xy2 + 2z).w = zsin (xy2 + 2z).
Найдите указанные частные производные высшего порядка.
135 .fxyfxy для z = ln (x − y) z = ln (x − y)
136 .fyxfyx для z = ln (x − y) z = ln (x − y)
137 .Пусть z = x2 + 3xy + 2y2.z = x2 + 3xy + 2y2. Найдите ∂2z∂x2∂2z∂x2 и ∂2z∂y2.∂2z∂y2.
138 .Для z = extany, z = extany найти ∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x.∂2z∂y∂x.
139 .Дано f (x, y, z) = xyz, f (x, y, z) = xyz, найдите fxyy, fyxy, fxyy, fyxy и fyyx.fyyx.
140 .Дано f (x, y, z) = e − 2xsin (z2y), f (x, y, z) = e − 2xsin (z2y), покажем, что fxyy = fyxy.fxyy = fyxy.
141 .Покажите, что z = 12 (ey − e − y) sinxz = 12 (ey − e − y) sinx является решением дифференциального уравнения ∂2z∂x2 + ∂2z∂y2 = 0. ∂2z∂x2 + ∂2z∂y2 = 0.
142 .Найдите fxx (x, y) fxx (x, y) для f (x, y) = 4x2y + y22x.f (x, y) = 4x2y + y22x.
143 .Пусть f (x, y, z) = x2y3z − 3xy2z3 + 5x2z − y3z.f (x, y, z) = x2y3z − 3xy2z3 + 5x2z − y3z. Найдите fxyz.fxyz.
144 .Пусть F (x, y, z) = x3yz2−2x2yz + 3xz − 2y3z.F (x, y, z) = x3yz2−2x2yz + 3xz − 2y3z. Найдите Fxyz.Fxyz.
145 .Дано f (x, y) = x2 + x − 3xy + y3−5, f (x, y) = x2 + x − 3xy + y3−5, найти все точки, в которых fx = fy = 0fx = fy = 0 одновременно.
146 .Дано f (x, y) = 2×2 + 2xy + y2 + 2x − 3, f (x, y) = 2×2 + 2xy + y2 + 2x − 3, найти все точки, в которых ∂f∂x = 0∂f∂ x = 0 и ∂f∂y = 0∂f∂y = 0 одновременно.
147 .Дано f (x, y) = y3−3yx2−3y2−3×2 + 1, f (x, y) = y3−3yx2−3y2−3×2 + 1, найти все точки на ff, в которых fx = fy = 0fx = fy = 0 одновременно.
148 .Дано f (x, y) = 15×3−3xy + 15y3, f (x, y) = 15×3−3xy + 15y3, найти все точки, в которых fx (x, y) = fy (x, y) = 0fx (x , y) = fy (x, y) = 0 одновременно.
149 .Покажите, что z = exsinyz = exsiny удовлетворяет уравнению ∂2z∂x2 + ∂2z∂y2 = 0.∂2z∂x2 + ∂2z∂y2 = 0.
150 .Покажите, что f (x, y) = ln (x2 + y2) f (x, y) = ln (x2 + y2) решает уравнение Лапласа ∂2z∂x2 + ∂2z∂y2 = 0. ∂2z∂x2 + ∂2z∂ у2 = 0.
151 .Покажите, что z = e − tcos (xc) z = e − tcos (xc) удовлетворяет уравнению теплопроводности ∂z∂t = −e − tcos (xc) .∂z∂t = −e − tcos (xc).
152 .Найдите limΔx → 0f (x + Δx) −f (x, y) ΔxlimΔx → 0f (x + Δx) −f (x, y) Δx для f (x, y) = – 7x − 2xy + 7y.f ( х, у) = – 7x − 2xy + 7y.
153 .Найдите limΔy → 0f (x, y + Δy) −f (x, y) ΔylimΔy → 0f (x, y + Δy) −f (x, y) Δy для f (x, y) = – 7x − 2xy + 7y.f (x, y) = – 7x − 2xy + 7y.
154 .Найдите limΔx → 0ΔfΔx = limΔx → 0f (x + Δx, y) −f (x, y) ΔxlimΔx → 0ΔfΔx = limΔx → 0f (x + Δx, y) −f (x, y) Δx для f (x, y) = x2y2 + xy + yf (x, y) = x2y2 + xy + y.
155 .Найдите limΔx → 0ΔfΔx = limΔx → 0f (x + Δx, y) −f (x, y) ΔxlimΔx → 0ΔfΔx = limΔx → 0f (x + Δx, y) −f (x, y) Δx для f (x, y) = sin (xy). f (x, y) = sin (xy).
156 .Функция P (T, V) = nRTVP (T, V) = nRTV дает давление в точке газа как функцию температуры TT и объема V.V. Буквы nandRnandR являются константами. Найдите ∂P∂V∂P∂V и ∂P∂T, ∂P∂T и объясните, что представляют собой эти величины.
157 .Уравнение теплового потока в xy-planexy-плоскости: ∂f∂t = ∂2f∂x2 + ∂2f∂y2.∂f∂t = ∂2f∂x2 + ∂2f∂y2. Покажите, что f (x, y, t) = e − 2tsinxsinyf (x, y, t) = e − 2tsinxsiny – решение.
158 .Основное волновое уравнение: ftt = fxx.ftt = fxx. Убедитесь, что f (x, t) = sin (x + t) f (x, t) = sin (x + t) и f (x, t) = sin (x − t) f (x, t) = sin (x − t) – решения.
159 .Закон косинусов можно представить как функцию трех переменных. Пусть x, y, x, y и θθ – две стороны любого треугольника, где угол θθ – это угол между двумя сторонами.Тогда F (x, y, θ) = x2 + y2−2xycosθF (x, y, θ) = x2 + y2−2xycosθ дает квадрат третьей стороны треугольника. Найдите ∂F∂θ∂F∂θ и ∂F∂x∂F∂x, когда x = 2, y = 3, x = 2, y = 3 и θ = π6.θ = π6.
160 .Предположим, стороны прямоугольника меняются во времени. Первая сторона изменяется со скоростью 22 дюйма / сек, тогда как вторая сторона изменяется со скоростью 44 дюйма / сек. Насколько быстро изменяется диагональ прямоугольника, если длина первой стороны составляет 1616 дюймов, а второй стороны – 2020 дюймов.? (Округлите ответ до трех десятичных знаков.)
161 .Производственная функция Кобба-Дугласа: f (x, y) = 200×0,7y0,3, f (x, y) = 200×0,7y0,3, где xandyxandy представляет собой количество доступного труда и капитала. Пусть x = 500x = 500 и y = 1000.y = 1000. Найдите δfδxδfδx и δfδyδfδy при этих значениях, которые представляют предельную производительность труда и капитала соответственно.
162 .Показатель кажущейся температуры – это мера ощущения температуры, и он основан на двух переменных: h, h, которая представляет собой относительную влажность, и t, t, которая представляет собой температуру воздуха.
A = 0,885t − 22,4h + 1,20th − 0,544.A = 0,885t − 22,4h + 1,20th − 0,544. Найдите ∂A∂t∂A∂t и ∂A∂h∂A∂h, когда t = 20 ° Ft = 20 ° F и h = 0,90.h = 0,90.
Напомним, что правило цепочки для производной композиции двух функций может быть записано в форме
В этом уравнении и f (x) f (x), и g (x ) g (x) – функции одной переменной. Теперь предположим, что ff – функция двух переменных, а gg – функция одной переменной. Или, возможно, они обе являются функциями двух переменных или даже больше.Как бы мы вычислили производную в этих случаях? Следующая теорема дает нам ответ для случая одной независимой переменной.
Доказательство этой теоремы использует определение дифференцируемости функции двух переменных. Предположим, что f дифференцируема в точке P (x0, y0), P (x0, y0), где x0 = g (t0) x0 = g (t0) и y0 = h (t0) y0 = h (t0) для фиксированного значения t0.t0. Мы хотим доказать, что z = f (x (t), y (t)) z = f (x (t), y (t)) дифференцируем при t = t0t = t0 и что уравнение 4.29 также выполняется в этой точке.
Поскольку ff дифференцируема в P, P, мы знаем, что
z (t) = f (x, y) = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0) + E (x, y), z (t) = f (x, y) = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0) + E (x, y),(4.30)
где lim (x, y) → (x0, y0) E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2 = 0. lim (x, y) → (x0, y0) E ( х, у) (х-х0) 2+ (у-у0) 2 знак равно 0. Затем вычитаем z0 = f (x0, y0) z0 = f (x0, y0) из обеих частей этого уравнения:
z (t) −z (t0) = f (x (t), y (t)) – f (x (t0), y (t0)) = fx (x0, y0) (x (t) −x ( t0)) + fy (x0, y0) (y (t) −y (t0)) + E (x (t), y (t)).z (t) −z (t0) = f (x (t), y (t)) – f (x (t0), y (t0)) = fx (x0, y0) (x (t) −x ( t0)) + fy (x0, y0) (y (t) −y (t0)) + E (x (t), y (t)).Затем мы разделим обе части на t − t0: t − t0:
z (t) −z (t0) t − t0 = fx (x0, y0) (x (t) −x (t0) t − t0) + fy (x0, y0) (y (t) −y (t0) t − t0) + E (x (t), y (t)) t − t0.z (t) −z (t0) t − t0 = fx (x0, y0) (x (t) −x (t0) t − t0) + fy (x0, y0) (y (t) −y (t0) t − t0) + E (x (t), y (t)) t − t0.Затем мы берем предел, когда tt приближается к t0: t0:
limt → t0z (t) −z (t0) t − t0 = fx (x0, y0) limt → t0 (x (t) −x (t0) t − t0) + fy (x0, y0) limt → t0 (y (t) −y (t0) t − t0) + limt → t0E (x (t), y (t)) t − t0.limt → t0z (t) −z (t0) t − t0 = fx (x0, y0) limt → t0 (x (t) −x (t0) t − t0) + fy (x0, y0) limt → t0 (y (t) −y (t0) t − t0) + limt → t0E (x ( t), y (t)) t − t0.Левая часть этого уравнения равна dz / dt, dz / dt, что приводит к
dzdt = fx (x0, y0) dxdt + fy (x0, y0) dydt + limt → t0E (x (t), y (t)) t − t0.dzdt = fx (x0, y0) dxdt + fy (x0, y0) dydt + limt → t0E (x (t), y (t)) t − t0.Последний член можно переписать как
limt → t0E (x (t), y (t)) t − t0 = limt → t0 (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2 (x − x0) 2+ (y −y0) 2t − t0) = limt → t0 (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2) limt → t0 ((x − x0) 2+ (y − y0) 2t− t0) .limt → t0E (x (t), y (t)) t − t0 = limt → t0 (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2 (x − x0) 2). + (y − y0) 2t − t0) = limt → t0 (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2) limt → t0 ((x − x0) 2+ (y − y0). ) 2t − t0).Когда tt приближается к t0, t0, (x (t), y (t)) (x (t), y (t)) приближается к (x (t0), y (t0)), (x (t0), y (t0)), поэтому мы можем переписать последнее произведение как
lim (x, y) → (x0, y0) (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2) lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0 ) 2+ (y − y0) 2t − t0) .lim (x, y) → (x0, y0) (E (x, y) (x − x0) 2+ (y − y0) 2) lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0) 2+ (y − y0) 2t − t0).Поскольку первый предел равен нулю, нам нужно только показать, что второй предел конечен:
lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0) 2+ (y − y0) 2t − t0) = lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0) 2+ (y − y0) 2 (t − t0) 2) = lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0t − t0) 2+ (y − y0t − t0) 2) = (lim (x , y) → (x0, y0) (x − x0t − t0)) 2+ (lim (x, y) → (x0, y0) (y − y0t − t0)) 2.lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0) 2+ (y − y0) 2t − t0) = lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0) 2+ (y − y0) 2 (t − t0) 2) = lim (x, y) → (x0, y0) ((x − x0t − t0) 2+ (y − y0t − t0) 2) = (lim (x , y) → (x0, y0) (x − x0t − t0)) 2+ (lim (x, y) → (x0, y0) (y − y0t − t0)) 2.Поскольку x (t) x (t) и y (t) y (t) являются дифференцируемыми функциями от t, t, существуют оба предела внутри последнего радикала. Следовательно, это значение конечно. Это доказывает цепное правило при t = t0; t = t0; остальная часть теоремы следует из предположения, что все функции дифференцируемы во всей своей области определения.
□
Более подробное рассмотрение уравнения 4.29 показывает интересную закономерность. Первый член в уравнении ∂f∂x · dxdt∂f∂x · dxdt, а второй член ∂f∂y · dydt.∂f∂y · dydt. Напомним, что при умножении дробей можно использовать отмену. Если рассматривать эти производные как дроби, то каждое произведение «упрощается» до чего-то вроде ∂f / dt.∂f / dt. Переменные xandyxandy, которые исчезают при таком упрощении, часто называют промежуточными переменными: они являются независимыми переменными для функции f, f, но являются зависимыми переменными для переменной t.т. Два члена появляются в правой части формулы, а ff является функцией двух переменных. Этот шаблон также работает с функциями более чем двух переменных, как мы увидим позже в этом разделе.
Вычислить dz / dtdz / dt для каждой из следующих функций:
Вычислить dz / dtdz / dt с учетом следующих функций. Выразите окончательный ответ в терминах т.т.
z = f (x, y) = x2−3xy + 2y2, x = x (t) = 3sin2t, y = y (t) = 4cos2tz = f (x, y) = x2−3xy + 2y2, x = x ( t) = 3sin2t, y = y (t) = 4cos2tЧасто бывает полезно создать визуальное представление уравнения 4.29 для цепного правила. Это называется древовидной диаграммой цепного правила для функций одной переменной, и она позволяет запомнить формулу (рис. 4.34).Как мы вскоре увидим, эта диаграмма может быть расширена для функций более чем одной переменной.
Фигура 4,34 Древовидная диаграмма для случая dzdt = ∂z∂x · dxdt + ∂z∂y · dydt.dzdt = ∂z∂x · dxdt + ∂z∂y · dydt.На этой диаграмме крайний левый угол соответствует z = f (x, y) .z = f (x, y). Поскольку ff имеет две независимые переменные, из этого угла идут две строки. Верхняя ветвь соответствует переменной xx, а нижняя ветвь соответствует переменной y.y. Поскольку каждая из этих переменных зависит от одной переменной t, t, тогда одна ветвь идет из xx, а одна ветвь идет из y.у. Наконец, каждая из ветвей в крайнем правом углу имеет метку, которая представляет путь, пройденный, чтобы добраться до этой ветки. Чтобы попасть в верхнюю ветвь, нужно пройти ветвь xx, затем ветвь tt; поэтому он помечен (∂z / ∂x) × (dx / dt). (∂z / ∂x) × (dx / dt). Нижняя ветвь аналогична: сначала ветвь yy, затем ветвь tt. Эта ветвь обозначается (∂z / ∂y) × (dy / dt). (∂z / ∂y) × (dy / dt). Чтобы получить формулу для dz / dt, dz / dt, добавьте все термины, которые появляются в правой части диаграммы. Это дает нам уравнение 4.29.
В цепном правиле для двух независимых переменных z = f (x, y) z = f (x, y) является функцией xandy, xandy, и оба x = g (u, v) x = g (u, v ) и y = h (u, v) y = h (u, v) – функции независимых переменных uandv.uandv.
Предположим, что x = g (u, v) x = g (u, v) и y = h (u, v) y = h (u, v) – дифференцируемые функции от uu и v, v, и z = f ( x, y) z = f (x, y) – дифференцируемая функция от xandy.xandy. Тогда z = f (g (u, v), h (u, v)) z = f (g (u, v), h (u, v)) является дифференцируемой функцией от uandv, uandv и
∂z∂u = ∂z∂x∂x∂u + ∂z∂y∂y∂u∂z∂u = ∂z∂x∂x∂u + ∂z∂y∂y∂u(4.31)
и
∂z∂v = ∂z∂x∂x∂v + ∂z∂y∂y∂v. ∂z∂v = ∂z∂x∂x∂v + ∂z∂y∂y∂v.(4.32)
Мы можем нарисовать древовидную диаграмму для каждой из этих формул, а также следующим образом.
Фигура 4,35 Древовидная диаграмма для ∂z∂u = ∂z∂x · ∂x∂u + ∂z∂y · ∂y∂u∂z∂u = ∂z∂x · ∂x∂u + ∂z∂y · ∂y∂u и ∂z∂v = ∂z∂x · ∂x∂v + ∂z∂y · ∂y∂v.∂z∂v = ∂z∂x · ∂x∂v + ∂z∂y · ∂y∂v.Чтобы вывести формулу для ∂z / ∂u, ∂z / ∂u, начните с левой стороны диаграммы, затем следуйте только ветвям, заканчивающимся на uu, и добавьте члены, которые появляются в конце этих ветвей.Для формулы для ∂z / ∂v, ∂z / ∂v следуйте только ветвям, заканчивающимся на vv, и добавляйте члены, которые появляются в конце этих ветвей.
Между этими двумя теоремами о цепных правилах есть важное различие. В цепном правиле для одной независимой переменной левая часть формулы для производной не является частной производной, но в цепном правиле для двух независимых переменных это так. Причина в том, что в цепном правиле для одной независимой переменной zz в конечном итоге является функцией только tt, тогда как в цепном правиле для двух независимых переменных zz является функцией обоих uandv.uandv.
Вычислить ∂z / ∂u∂z / ∂u и ∂z / ∂v∂z / ∂v, используя следующие функции:
z = f (x, y) = 3×2−2xy + y2, x = x (u, v) = 3u + 2v, y = y (u, v) = 4u − vz = f (x, y) = 3×2− 2xy + y2, x = x (u, v) = 3u + 2v, y = y (u, v) = 4u − v.Чтобы реализовать цепное правило для двух переменных, нам нужны шесть частных производных: ∂z / ∂x, ∂z / ∂y, ∂x / ∂u, ∂x / ∂v, ∂y / ∂u, ∂z / ∂ x, ∂z / ∂y, ∂x / ∂u, ∂x / ∂v, ∂y / ∂u и ∂y / ∂v: ∂y / ∂v:
∂z∂x = 6x − 2y∂z∂y = −2x + 2y∂x∂u = 3∂x∂v = 2∂y∂u = 4∂y∂v = −1.∂z∂x = 6x − 2y∂z∂y = −2x + 2y∂x∂u = 3∂x∂v = 2∂y∂u = 4∂y∂v = −1.Чтобы найти ∂z / ∂u, ∂z / ∂u, мы используем уравнение 4.31:
∂z∂u = ∂z∂x∂x∂u + ∂z∂y∂y∂u = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) = 10x + 2y.∂z∂u = ∂z∂x ∂x∂u + ∂z∂y∂y∂u = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) = 10x + 2y.Далее подставляем x (u, v) = 3u + 2vx (u, v) = 3u + 2v и y (u, v) = 4u − v: y (u, v) = 4u − v:
∂z∂u = 10x + 2y = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) = 38u + 18v. ∂z∂u = 10x + 2y = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) = 38у + 18в.Чтобы найти ∂z / ∂v, ∂z / ∂v, мы используем уравнение 4.32:
∂z∂v = ∂z∂x∂x∂v + ∂z∂y∂y∂v = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) = 14x − 6y.∂z∂v = ∂ z∂x∂x∂v + ∂z∂y∂y∂v = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) = 14x − 6y.Затем подставляем x (u, v) = 3u + 2vx (u, v) = 3u + 2v и y (u, v) = 4u − v: y (u, v) = 4u − v:
∂z∂v = 14x − 6y = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) = 18u + 34v. ∂z∂v = 14x − 6y = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) = 18у + 34в.Вычислить ∂z / ∂u∂z / ∂u и ∂z / ∂v∂z / ∂v с учетом следующих функций:
z = f (x, y) = 2x − yx + 3y, x (u, v) = e2ucos3v, y (u, v) = e2usin3v.z = f (x, y) = 2x − yx + 3y, x ( u, v) = e2ucos3v, y (u, v) = e2usin3v.Дифференциальное уравнение – это уравнение, включающее производную функции.Они позволяют нам выразить простым уравнением связь между величиной и скоростью ее изменения.
Банк платит 2% годовых по сертификату депозитного счета, но взимает ежегодную комиссию в размере 20 долларов. Напишите уравнение скорости изменения баланса \ (B ‘(t) \).
Если баланс \ (B (t) \) состоит из долларовых единиц, то \ (B ‘(t) \) имеет долларовые единицы в год. Когда мы думаем о том, что меняет баланс счета, есть два фактора:
Учитывая проценты, мы знаем, что каждый год баланс будет увеличиваться на 2%, но 2% чего? Каждый год это будет меняться, поскольку мы получаем проценты от любого текущего баланса. Мы можем представить сумму увеличения как 2% от баланса: \ (0,02B (t) \) долларов в год.
В гонораре уже есть единицы долларов / год. Поскольку все теперь имеет одинаковые единицы измерения, мы можем сложить их вместе и создать уравнение: \ [B ‘(t) = 0,02B (t) -20. \]
Результат – пример дифференциального уравнения.3 – 4 \).
Вы уже решили множество дифференциальных уравнений: каждый раз, когда вы находили первообразную функции \ (f (x) \), вы решали дифференциальное уравнение \ (y ‘= f (x) \), чтобы получить решение \ ( у \). Однако дифференциальное уравнение \ (y ‘= f (x) \) – это только начало. Другие приложения генерируют другие дифференциальные уравнения, как в приведенном выше примере банковского баланса.
Вне зависимости от того, легко или сложно решить дифференциальное уравнение, важно иметь возможность проверить, действительно ли возможное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.2} = 2, \] результат, который мы хотели проверить.
Дифференциальное уравнение называется разделяемым, если переменные могут быть разделены алгебраически так, что все \ (x \) и \ (dx \) составляют одну сторону уравнения, а все \ (y \) и \ (dy \) находятся по другую сторону уравнения. Другими словами, уравнение имеет вид \ (f (x) \, dx = g (y) \, dy \).
После разделения разделимые дифференциальные уравнения могут быть решены путем интегрирования обеих частей уравнения.2 + х + С. \]
Как и ожидалось, существует целое семейство решений этого дифференциального уравнения.
Задача начального значения – это дифференциальное уравнение, которое предоставляет дополнительную информацию о начальном или начальном значении функции. Это позволяет нам затем найти константу и найти единственное решение.
Найдите решение \ (y ‘= \ frac {6x + 1} {2y} \), которое удовлетворяет \ (y (2) = 3 \).2 + х-5}. \]
Банк платит 2% годовых по сертификату депозитного счета, но взимает ежегодную комиссию в размере 20 долларов. Если вы изначально инвестируете 3000 долларов, сколько у вас будет через 10 лет?
Вы можете узнать это как пример из начала раздела, для которого мы установили уравнение \ (B ‘(t) = 0,02B (t) -20 \) или, проще говоря, \ [\ frac {dB } {dt} = 0,02B-20. \]
Мы можем разделить это уравнение, умножив его на \ (dt \) и разделив на все выражение справа: \ [\ frac {dB} {0.02B-20} = дт. \]
Интегрирование левой части этого уравнения требует подстановки. Пусть \ (u = 0,02B-20 \), поэтому \ (du = 0,02 \, дБ \). Делая замену, \ [\ begin {align *} \ int \ frac {дБ} {0,02B-20} = & \ int \ frac {du / 0,02} {u} \\ = & \ int \ frac {1} {u} \ frac {du} {0,02} \\ = & \ frac {1} {0.02} \ int \ frac {1} {u} \, du \\ = & \ frac {1} {0,02} \ ln | u | + C_1 \\ = & \ frac {1} {0,02} \ ln | 0,02B-20 | + C_1 \ конец {выравнивание *} \]
Проще интегрировать правую часть дифференциального уравнения: \ [\ int dt = t + C_2 \]
Вместе это дает нам общее решение дифференциального уравнения (на этом этапе мы также объединяем \ (C \)): \ [\ frac {1} {0.{0,02 (10)} + 1000 \ приблизительно \ $ 3442,81. \]
Стоит отметить, что это не совсем правильный ответ. Дифференциальные уравнения предполагают, что непрерывных изменений, изменение, и маловероятно, что проценты начисляются непрерывно или плата извлекается непрерывно. Однако ответ, вероятно, близок к фактическому, а дифференциальные уравнения представляют собой относительно простую модель сложной ситуации.
Пример банковского счета продемонстрировал одну базовую модель роста: рост, пропорциональный существующему количеству.Банковские счета и население, как правило, растут таким образом, если это не ограничивается. Этот тип роста называется неограниченный рост .
Если количество или популяция y растет со скоростью, пропорциональной размеру этого количества, его можно смоделировать с неограниченным ростом, который имеет дифференциальное уравнение: \ [y ‘= ry, \], где \ (r \) – постоянная.
Население ежегодно увеличивается на 8%. Если текущее население составляет 5000 человек, найдите уравнение для населения через \ (t \) лет.{0,08т}. \]
Обратите внимание, что решение уравнения неограниченного роста является экспоненциальным уравнением.
Когда продукт широко рекламируется, продажи будут расти очень быстро, но в конечном итоге рынок достигнет насыщения, и продажи замедлятся. В этом типе роста, называемом ограниченным ростом , популяция растет со скоростью, пропорциональной расстоянию от максимального значения.
Если величина растет со скоростью, пропорциональной расстоянию от максимального значения, \ (M \), ее можно смоделировать с ограниченным ростом, который имеет дифференциальное уравнение \ [y ‘= k (My), \] где \ (k \) – константа, а \ (M \) – максимальный размер \ (y \).
Представлен новый сотовый телефон. По оценкам компании, они продадут 200 тысяч телефонов. Через 1 месяц они продали 20 тысяч. Сколько они будут проданы через 9 месяцев?
В данном случае есть максимальное количество телефонов, которое они ожидают продать, так что \ (M = 200 \) тысяч. Моделируя продажи \ (y \) в тысячах телефонов, мы можем написать дифференциальное уравнение \ [y ‘= k (200-y). \]
Поскольку это был новый телефон, \ (y (0) = 0 \).{-0,105 (9)} + 200 \ приблизительно 122,26 \ text {тысяча телефонов}. \]
Ограниченный рост также обычно используется для моделей обучения, поскольку при изучении нового навыка люди обычно сначала учатся быстро, а затем скорость их улучшения замедляется по мере приближения к мастерству.
Ранее мы использовали неограниченный рост для моделирования популяции, но часто население будет ограничено продуктами питания, пространством и другими ресурсами. Когда популяция растет как пропорционально ее размеру, так и по отношению к расстоянию от некоторого максимума, это называется логистическим ростом .Это приводит к дифференциальному уравнению \ (y ‘= ky (M-y) \), которое является точным, но не всегда удобным в использовании. Мы будем использовать небольшую модификацию. Поскольку решение этого дифференциального уравнения требует техники интегрирования, которую мы не изучили, приводится форма решения.
Если количество растет со скоростью, пропорциональной его размеру и расстоянию от максимального значения, \ (M \), его можно смоделировать с помощью логистического роста , который имеет дифференциальное уравнение: \ [y ‘= ry \ слева (1- \ frac {y} {M} \ right).{-1.1404t} = & \ frac {\ frac {5} {3} -1} {49} \ приблизительно 0,01361 \\ t = & \ frac {\ ln (0.01361)} {- 1.1404} \ приблизительно 3,77 \ text {лет}. \ конец {выравнивание *} \]
Логистический рост также является хорошей моделью для нерекламируемых продаж. У нового продукта, который не рекламируется, продажи сначала будут расти медленно, а затем расти по мере распространения молвы и знакомства с продуктом. Продажи будут выравниваться по мере приближения к насыщению рынка.
Производная любой константы (которая просто означает любое число) равна нулю.
Это достаточно легко запомнить, но если вы студент, изучающий исчисление, вам нужно запомнить множество различных форм, которые может принимать константа. Во-первых, давайте рассмотрим более очевидные случаи.
объявление
Найдите производную каждой функции.
\ (\ текст {(а)} е (х) = 1 \)
\ (\ текст {(b)} g (x) = 20 \)
\ (\ text {(c)} k (x) = – \ dfrac {117} {91} \)
Как бы мило мы ни пытались получить сумасшедшие дроби, остается один факт: все они являются константами.{\ prime} = 0 \)
Вы узнаете довольно много разных типов констант в математике. Сразу приходит в голову пара:
\ (е \ примерно 2,718 \)
\ (\ пи \ приблизительно 3,142 \)
Это известные, но есть и другие, с которыми вы наверняка работали. Рассмотрим \ (\ sqrt {2} \) или \ (\ ln \ left (5 \ right) \). Оба они являются константами (если вы не уверены, введите их в свой калькулятор – вы получите десятичный эквивалент), поэтому их производные также равны нулю.2 \) (график ниже), наклон может меняться от точки к точке, потому что график изогнут.
Но как выглядит функция, если это постоянная функция? Ниже представлен график \ (f (x) = 2,5 \).
Этот график представляет собой линию, поэтому наклон одинаков во всех точках. Далее это горизонтальная линия. Наклон любой горизонтальной линии равен нулю. Поскольку график любой постоянной функции представляет собой горизонтальную линию, подобную этой, производная всегда равна нулю.
объявление
Вероятно, у вас никогда не возникнет проблем с поиском производной константы, если она является частью полинома или другой функции.Но будьте осторожны, обращая внимание на различные формы, которые может принимать константа, поскольку профессора и учителя любят проверять, замечаете ли вы такие вещи. Кроме того, вы можете использовать эту простую идею, чтобы помочь вам запомнить концепцию производной как наклона в точке – то, с чем вы будете работать, даже когда производные намного сложнее.
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.
Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!
СвязанныеЧастичная производная – это производная, в которой некоторые переменные остаются постоянными. Как в этом примере:
Когда мы находим наклон в направлении x (сохраняя фиксированным y ), мы нашли частную производную.
Или мы можем найти наклон в направлении y (при сохранении фиксированного размера x ).
Давайте сначала подумаем о функции одной переменной (x):
f (x) = x 2
Мы можем найти его производную, используя правило мощности:
f ’(x) = 2x
А как насчет функции двух переменных (x и y):
f (x, y) = x 2 + y 3
Мы можем найти его частную производную по x , если рассматривать y как константу (представьте, что y – это число вроде 7 или что-то в этом роде):
f ’ x = 2x + 0 = 2x
Пояснение:
Чтобы найти частную производную по y , мы рассматриваем x как константу :
f ’ y = 0 + 3y 2 = 3y 2
Пояснение:
Вот и все.Просто не забудьте рассматривать все остальные переменные, как если бы они были константами .
Так как же выглядит «сохранение переменной-константы»?
Мы можем записать это в “многопеременной” форме как
f (r, h) = π r 2 h
Для частной производной по r мы держим h, константу , а r изменяется:
f ’ r = π (2r) h = 2πrh
(Производная r 2 по r равна 2r, а π и h являются константами)
В нем говорится: «Поскольку изменяется только радиус (на минимальную величину), объем изменяется на 2πrh».
Это как если бы мы добавляли скин с окружностью круга (2πr) и высотой h.
Для частной производной по h мы держим константу r :
f ’ h = π r 2 (1) = πr 2
(π и r 2 – константы, а производная h по h равна 1)
В нем говорится, что “при изменении только высоты (на минимальную величину) объем изменяется на πr 2 ”
Это похоже на добавление самого тонкого диска сверху с площадью круга πr 2 .
Давайте посмотрим на другой пример.
Поверхность включает верх и низ с областями x 2 каждая и 4 стороны области xy каждая:
f (x, y) = 2x 2 + 4xy
f ’ x = 4x + 4y
f ’ y = 0 + 4x = 4x
У нас может быть 3 или более переменных.Просто найдите частную производную каждой переменной по очереди, рассматривая все остальные переменные как константы .
f (x, y, z) = z 3 – x 2 y
f ’ x = 0 – 2xy = −2xy
f ’ y = 0 – x 2 = −x 2
f ’ z = 3z 2 – 0 = 3z 2
Когда есть много x и y, это может сбивать с толку, поэтому мысленный трюк состоит в том, чтобы заменить «постоянные» переменные на буквы типа «c» или «k», которые выглядят как константы.
У него повсюду х и у! Итак, давайте попробуем трюк со сменой букв.
Что касается x, мы можем изменить «y» на «k»:
f (x, y) = k 3 sin (x) + x 2 tan (k)
f ’ x = k 3 cos (x) + 2x tan (k)
Но не забудьте снова повернуть его обратно!
f ’ x = y 3 cos (x) + 2x tan (y)
Аналогично относительно y мы превращаем «x» в «k»:
f (x, y) = y 3 sin (k) + k 2 tan (y)
f ’ y = 3y 2 sin (k) + k 2 sec 2 (y)
f ’ y = 3y 2 sin (x) + x 2 sec 2 (y)
Но делайте это только в том случае, если у вас проблемы с запоминанием, поскольку это небольшая дополнительная работа.
Обозначение : мы использовали f ’ x , чтобы обозначить« частную производную по x », но еще одно очень распространенное обозначение – это использование забавного обратного d (∂), например:
∂f ∂x = 2x
Это то же самое, что:
f ’ x = 2x
∂ называется «дель», «ди» или «кудрявый ди»
Так ∂f ∂x можно сказать “del f del x”
f (x, y, z) = x 4 – 3xyz
∂f ∂x = 4x 3 – 3yz
∂f ∂y = −3xz
∂f ∂z = −3xy
Возможно, вы предпочтете такое обозначение, оно определенно выглядит круто.
