Самостоятельная работа математика 5 класс «Отрезок. Плоскость. Прямая. Луч».
В- 1
Начерти отрезок МF. Измерь его длину.
Отметьте в тетради точки О и А. Проведите луч ОА.
Начертите две пересекающиеся прямые АВ и СD. Отметьте точку К лежащую на прямой АВ, точку L лежащую на прямой СD, и точку О не лежащую ни на одной прямой.
Начерти четырехугольник АВСD. Укажи его вершины и стороны.
Самостоятельная работа математика 5 класс «Отрезок. Плоскость. Прямая. Луч».
В- 2
Начерти отрезок АW. Измерь его длину.
Отметьте в тетради точки H и P. Проведите луч HP.
Начертите две пересекающиеся прямые АT и СR . Отметьте точку К лежащую на прямой АT, точку L лежащую на прямой СR, и точку V не лежащую ни на одной прямой.
Начерти четырехугольник SAKO. Укажи его вершины и стороны.
Самостоятельная работа математика 5 класс «Отрезок. Плоскость. Прямая. Луч».
В- 1
Начерти отрезок МF. Измерь его длину.
Отметьте в тетради точки О и А. Проведите луч ОА.
Начертите две пересекающиеся прямые АВ и СD. Отметьте точку К лежащую на прямой АВ, точку L лежащую на прямой СD, и точку О не лежащую ни на одной прямой.
Начерти четырехугольник АВСD. Укажи его вершины и стороны.
Самостоятельная работа математика 5 класс «Отрезок. Плоскость. Прямая. Луч».
В- 2
Начерти отрезок АW. Измерь его длину.
Отметьте в тетради точки H и P. Проведите луч HP.
Начертите две пересекающиеся прямые АT и СR . Отметьте точку К лежащую на прямой АT, точку L лежащую на прямой СR, и точку V не лежащую ни на одной прямой.
Начерти четырехугольник SAKO. Укажи его вершины и стороны.
УРОК 11
Тема. Плоскость. Прямая. Луч
Цель: закрепить знания, полученные на предыдущем уроке, о свойствах прямой, плоскости и луча; развивать пространственное воображение учащихся; проверить усвоение материала по темам «Отрезок» и «Плоскость. Прямая. Луч» во время выполнения самостоятельной работы.
Тип урока: усвоение навыков и умений.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний
Устные упражнения
1. Назовите все отрезки, прямые и лучи, изображенные на рис. 6
2.
Прочитайте
число: а) 3 007 020; б) 5 213 000.
3. числа 28; найдите четверть числа 28. Чему равна утроенное число 28?
4. Учитель. Я построил на доске отрезок AВ = 70 см, точка С — середина отрезка АВ. Потом стер точки А и В, оставив т. С и часть отрезка. Как восстановить рисунок?
II. Решение упражнений
№ 103, 104,105, 107, 108, дополнительно 110.
III. Самостоятельная работа
Согласно текста тематической контрольной работы, самостоятельная работа из этих тем может быть такой:
Вариант 1
1. Начертите отрезок АВ длиной 5 см 2 мм. Отметьте на нем точку D. Запишите все отрезки, которые образовались на рисунке и измерьте их длины.
2. Назовите все отрезки, прямые и лучи изображенные на рис. 7.
3. Точка М принадлежит отрезку КР, МК = 13 см, отрезок РМ на 18 см длиннее отрезок МК. Найдите длину отрезка КР.
4*. На отрезке MN = 21 см обозначили точки Р и К так, что МК = 15 см, NK = 14 см.
Чему равна длина отрезка РК?
Вариант 2
1. Начертите отрезок MN длиной 6 см 5 мм. Отметьте на нем точку D. Запишите все отрезки, образовавшиеся на рисунке и измерьте их длины.
2. Назовите все отрезки, прямые и лучи, изображенные на рис. 8.
3. Точка А принадлежит отрезку ВС; АВ = 18 см, АС на 13 см длиннее отрезок АВ. Найдите длину отрезка ВС.
4*. На отрезке ТК = 13 см обозначили точки М и N так, что МТ = 5 см, a KN = 9 см. Чему равна длина отрезка РК?
IV. Домашнее задание
п. 4, №№ 106, 109, 110, дополнительно № 120.
Урок № 7 Плоскость. Прямая. Луч.
Цели: сформировать понятие плоскости, научить находить и называть прямую на чертеже, строить её по двум точкам; развивать правильную математическую речь, логическое мышление, умение аргументировать ответ, быстроту вычислительных навыков; воспитывать внимательность, аккуратность, повышать интерес к предмету.
Оборудование: плакат с прямой и точками на прямой и вне прямой, карточки для самостоятельной работы.
Ход урока
Организационный момент
I. Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа по вариантам (учащиеся выполняют работу на листках).
Вариант I
Вариант II
1. Запишите цифрами число:
а) сорок миллиардов сто миллионов пять;
б) 7 миллионов 37 тысяч;
в) 6027 тыс.
2. Начертите отрезки АВ и CD, если АВ = 27 мм, СD = 4 см 2 мм.
3. Выразите:
а) 3 км 54 м в метрах;
б) 504 дм в дециметрах и метрах.
4. Сколько всего четырехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 3?
1.
Запишите цифрами:
а) двести миллиардов семь тысяч три;
б) 20 миллионов 4 тысячи;
в) 3108 тыс.
2. Начертите отрезки МК и СЕ, если МК = 3 см 4 мм, СЕ = 52 мм.
3. Выразите:
а) 4 м 5 см в сантиметрах;
б) 6085 м в километрах и метрах.
4. Сколько всего четырехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 7?
Через 10–12 минут учащиеся сдают работу.
II. Устные упражнения (5 минут).
1. На доске написаны краткие условия задач № 73 и 72. Решите их устно.
2. Выполните № 84 (1–2 строка).
III. Изучение нового материала.
1. Сообщение темы урока (учащиеся записывают тему в тетради).
2. Ещё раз прочитайте тему и скажите, о чем мы сейчас будем говорить? (О плоскости.
) Правильно. Запишите первый пункт плана.
1) Плоскость.
Учитель: Прочитайте о плоскости в тексте учебника.
Ответьте на вопросы:
а) Какие предметы дают нам представление о плоскости?
б) Чем отличаются эти предметы от плоскости?
в) Какую важную мысль мы должны запомнить? (У плоскости нет края.)
Запишите это в тетради.
2) Прямая.
Учащиеся читают учебник и выполняют соответствующий чертёж, учитель показывает у доски:
а) начертим отрезок АВ;
б) продолжим по линейке в обе стороны;
в) получили новую фигуру – прямую, которая обозначается «прямая АВ» или «прямая ВА».
Что мы должны знать о прямой?
1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
2. Прямая не имеет концов.
3. Прямая неограниченно продолжается в обе стороны.
Какая фигура изображена на рисунке? Что вы скажете о точках А, В, С, D? (Точки А, С лежат на прямой.) Как проверить, лежит ли на прямой MN точка D? Точка В?
д) Работа с книгой.
Учитель: Рассмотрите рисунок 13. Какие фигуры изображены на рисунке? (АВ и CD.) Принадлежит ли точка М прямой АВ? Прямой CD? Говорят так: «Прямые АВ и CD имеют одну общую точку, а следовательно, такие прямые называются пересекающимися».
– Попробуйте сами сформулировать ответ на вопрос: «Какие прямые называются пересекающимися?».
IV. Физкультминутка.
V.
Закрепление.
а) № 75, 78 (устно), 77 (устно), 79.
б) № 87.
VI. Итог урока.
1. Ролевая игра.
Учитель: Сейчас к нам гости придут. («Главных героев» можно посадить за последние парты, чтобы они присутствовали на уроке. После записи домашнего задания «Отрезок», «Плоскость», «Прямая», выходят к доске.)
Плоскость: Я – Плоскость. Здравствуйте. Расскажите, что вы узнали обо мне. (Дети поднимают руки, «Плоскость» их спрашивает.)
Прямая: Здравствуйте, я – Прямая. (Спрашивает класс о себе).
Отрезок: Я – Отрезок, пришел к вам в гости. Здравствуйте.
Учитель: Что общего между отрезком и прямой? (Обозначается двумя буквами, через две точки можно провести только один отрезок и только одну прямую.)
– Чем отличается отрезок от прямой? (Отрезок имеет два конца, а прямая не имеет концов.
2. Сообщение оценок.
VII. Домашнее задание: п. 3 (до определения луча), № 100, 105, 106 (в, г).
Самостоятельная работа. Тема: Умножение. 5 класс
1 вариант Дата проведения _______________ ФИ ______________________________________
№ | Содержание задания | Самооценка | Сравнение с образцом | |
№ 1 | Я умею выполнять умножение и деление на разрядные единицы 10, 100, 1000 а) 1205 * 10 д) 21300 : 10 б) 309 *100 е) 303000 : 100 в) 34 *1000 ж) 21450000 : 1000 г) 201200 : 100 и) 670000 : 100 | |||
№ 2 | Я знаю правила и умею выполнять умножение в столбик а) 513 * 42 б) 608*76 в) 302*405 | |||
№ 3 | Я знаю сочетательное свойство умножения: _______________________ Я умею вычислять удобным способом. а) 4*13*25 = _______________________ б) 125*17*8=_______________________ в)4*24*5=__________________________ г) 50*236*2=________________________ | |||
№ 4 | Я умею использовать свойства умножении, чтобы упрощать выражения. Упростить выражение: а) б) в) г) д) е) | |||
№ 5 | Я знаю распределительный закон умножения | |||
№ 6 | Я умею раскрывать скобки, используя распределительный закон. а) б) в) д) | |||
№ 7 | Я умею использовать правило вынесения общего множителя и вычислять удобным способом. А) Б) В) Г) | |||
№ 8 | Упростить выражение: а) 7а + 8а =_____ б) 16b – 5b = ________ в) 27c – c =______ г) d + 34d =__________ д) 3x + 5x + 17x =_________ е) 46y – 18y + 22y =_____________ | |||
№ 9 | Записать выражение: А) произведение числа 12 и суммы чисел 45 и 92_________________________ Б) произведение разности числа 12 и d и суммы чисел m и 56_______________ В) разность произведения b и 35 и произведения m и 67_____________________ |
Условные обозначения для самооценки:
+ точно знаю, уверен(а) в ответе;
сомневаюсь в ответе, нужно повторить;
не знаю ответа.
Самостоятельная работа. Тема: Умножение. 5 класс
2 вариант Дата проведения _______________ ФИ ______________________________________
№ | Содержание задания | Самооценка | Сравнение с образцом | |
№ 1 | Я умею выполнять умножение и деление на разрядные единицы 10, 100, 1000 а) 1205 * 100 д) 21300 : 100 б) 309 *10 е) 303000 : 1000 в) 10234 *1000 ж) 21450000 : 100 г) 201200 : 10 и) 670000 : 1000 | |||
№ 2 | Я знаю правила и умею выполнять умножение в столбик а) 214 * 57 б) 509*83 в) 204*305 | |||
№ 3 | Я знаю сочетательное свойство умножения: _______________________ Я умею вычислять удобным способом. а) 5*17*20 = _______________________ б) 8*37*125=_______________________ в)5*27*4=__________________________ г) 25*451*4=________________________ | |||
№ 4 | Я умею использовать свойства умножении, чтобы упрощать выражения. Упростить выражение: а) б) в) г) д) е) | |||
№ 5 | Я знаю распределительный закон умножения | |||
№ 6 | Я умею раскрывать скобки, используя распределительный закон. а) б) в) д) | |||
№ 7 | Я умею использовать правило вынесения общего множителя и вычислять удобным способом. А) Б) В) Г) | |||
№ 8 | Упростить выражение: а) 5х + 7х =_____ б) 17а – 9а = ________ в) с + 72с =______ г) 34 d – d =__________ д) 7x + 8x + 12x =_________ е) 53y –24y + 18y =_____________ | |||
№ 9 | Записать выражение: А) произведение суммы чисел 25 и 76 и числа 12 _________________________ Б) произведение суммы числа 25 и с и разности чисел 23 и m _______________ В) разность произведения 26 и b и произведения n и 57_____________________ |
Условные обозначения для самооценки:
+ точно знаю, уверен(а) в ответе;
сомневаюсь в ответе, нужно повторить;
не знаю ответа.
Математика 5 класс
ФИ _____________________________
Плоскость, прямая, луч.
Вариант 1
1. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображенные на рисунке.
D E
В
A C
K F
Отрезки _________________________________________________________________
Прямые _________________________________________________________________
Лучи ____________________________________________________________________
2. На прямой МN отметьте:
а) точку К,
принадлежащую отрезку МN.
б) точку F, принадлежащую лучу NМ и не принадлежащую отрезку МN.
в) точку А, принадлежащую лучу МN и не принадлежащую отрезку МN.
3. Точки Р, К и Н лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка КН, если РК = 22 см, РН = 31 см.
Математика 5 класс
ФИ _____________________________
Плоскость, прямая, луч.
Вариант 2
1. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображенные на рисунке.
D E
С
A В
К F
Отрезки _________________________________________________________________
Прямые _________________________________________________________________
Лучи ____________________________________________________________________
2.
На
прямой АВ отметьте:
а) точку К, принадлежащую отрезку АВ.
б) точку М, принадлежащую лучу АВ и не принадлежащую отрезку АВ.
в) точку С, принадлежащую лучу ВА и не принадлежащую отрезку МN.
3. Точки Т, К и М лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка КМ, если ТК = 18 см, ТМ = 27 см.
Хадыкина Наталья Борисовна | ||||
Должность, категория | Учитель математики | |||
Место работы | Государственное общеобразовательное учреждение с.Колывань муниципального района Красноармейский Самарской области | |||
Предмет | Математика | |||
Класс | 5 | |||
Тема урока, место в изучаемой теме, разделе | «Плоскость, прямая, луч» (Урок из раздела «Натуральные числа», 10 урок из раздела) | |||
Тип урока | Урок изучения нового материала | |||
Цели урока | предметные – познакомить учащихся с геометрическими фигурами: плоскость, прямая, луч; научить распознавать на рисунках эти фигуры, а в окружающем мире – объекты, для которых плоскость, прямая, луч являются моделями. личностные – проявлять интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения метапредметные: формировать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, в окружающей жизни. | |||
Задачи урока | образовательные: продолжить работу по формированию у учащихся пространственного воображения; научить различать простые геометрические фигуры развивающие: создать условия для развития учебно-познавательной деятельности; вести работу по развитию математической речи, логического мышления, умения анализировать, делать выводы; воспитательные: содействовать формированию положительного отношения к урокам, понимания необходимости знаний; показать практическую значимость математики при решении задач из повседневной жизни; воспитывать культуру поведения учащихся во время работы. | |||
Планируемые результаты | Учащийся научится распознавать на чертежах геометрические фигуры: плоскость, прямая, луч | |||
Основные понятия | Плоскость, прямая, свойство прямой, луч | |||
Формы организации образовательного пространства на уроке | Фронтальная и индивидуальная работы; работа с учебником. | |||
Средства обучения | Учебник, письменные принадлежности, презентация, компьютер, интерактивная доска, листы самоконтроля; ресурсы сети Интернет: http://school–collection.edu.ru; http://www.mathvaz.ru Методическое пособие по математике 5 класс/Е.В.Буцко, А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир/ ФГОС /Алгоритм успеха/ | |||
Используемые технологии | Здоровьесберегающая, информационно-коммуникационная, технология сотрудничества | |||
Базовый учебник | Учебник 5 класс /А. | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Методы, приёмы, средства обучения | Формируемые УУД |
1. Организационный, 1 мин | Приветствует учащихся, оценивает их готовность к учебной деятельности, мобилизирует внимание. Создать благоприятный психологический настрой на работу. | Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. «Ребята, проверьте пожалуйста, все ли у вас готово к уроку?» Выполняют необходимые действия, демонстрируют готовность для работы. | Словесный | Регулятивные: прогнозирование своей деятельности; Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками Личностные: умение выделять нравственный аспект поведения; самоопределение |
2. Мотивация учебной деятельности, 1 мин | – Предлагает послушать строки из стихотворения С. Маршака. Пусть каждый день и каждый час – Как вы понимаете эти строки? – Ребята, я желаю вам успешной работы на уроке и думаю, что мы все с вами справимся с заданиями | Слушают, объясняют смысл прочитанного четверостишия; смотрят на доску, определяют смысл предстоящего поиска, излагают свои мысли. | Метод стимулирования положительной самооценки | Познавательные: умение извлекать информацию, обобщать, делать выводы. Коммуникативные: умение слушать, анализировать, излагать свои мысли в устной форме и понимать речь других; Личностные: умение проявлять познавательную инициативу |
3. Актуализация знаний, 7 мин | – Предлагает решить устно примеры поочередно и вписать правильность ответов в листы самоконтроля в дневнике достижений – Предлагает решить задачу: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/608887c4-68f4-410f-bbd4-618ad7929e22/113925/?interface=pupil&class=47&subject=16 – ставит проблему | -Актуализируют необходимые установки; -выполняют задания и вписывают результаты в листы самоконтроля; -проводят подсчёт баллов за устную работу – анализируют, отвечают на вопросы учителя, предлагают способы решения проблемы | Фронтальный опрос с элементами тестирования с применением листа самоконтроля (приложение № 1) (слайды №2-5) из презентации «Устный счет. Частично поисковая, исследовательская деятельность; | Познавательные: поиск и выделение необходимой информации; строит свои высказывания, формулирует вывод на основе анализа Регулятивные: выделение и осознание того, что уже пройдено, фиксация индивидуального затруднения, пути решения проблемы; удерживать цель деятельности до получения ее результата; планировать решение учебной задачи; корректировать деятельность: вносить изменения в процесс с учетом возникших трудностей и ошибок, намечать способы их устранения; Коммуникативные: умение выражать свои мысли, аргументация; формирование умений совместно с другими детьми оценивать способы решения и делать выводы; находить решение задачи и оценивать полученные результаты. Личностные: применять правила делового сотрудничества: сравнивать разные точки зрения; считаться с мнением другого человека; проявлять терпение и доброжелательность в споре, дискуссии, доверие к собеседнику. |
4. Изучение нового материала, 10 мин | – Как вы думаете, какую тему мы сегодня с вами будем изучать? – Организует высказывания, предположения учащихся в отношении того, что и как исследовать; -подводит к тому, что плоскость бесконечна – Предлагает начертить прямую через одну точку, две точки, три точки, 4 точки и сделать вывод -вызывает к интерактивной доске учеников, чтобы продемонстрировать получившееся изображение – дает понятие луча; отрабатывается взаимное расположение изучаемых фигур: пересекаются (не пересекаются) две прямые, прямая и луч, луч и отрезок, отрезок и прямая; точка принадлежит (не принадлежит) прямой, лучу, отрезку. | – находят в окружающих предметах плоскость -свободно обмениваются мнениями, делают выводы – в тетрадях чертят прямую, проходящую через две точки, 3 точки, 4 точки делают самостоятельные выводы – Смотрят, выполняют задания , оценивают, делают выводы | Частично поисковая, исследовательская деятельность; Презентация «Дм 3 Плоскость. | Познавательные: поиск и выделение необходимой информации; структурирование знаний; анализ объектов; Регулятивные: формирование умений ставить личные цели деятельности, оценивать полученные результаты; делать выводы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера. Личностные: проявление внимания, интереса, желания больше узнать Коммуникативные: умение слушать, анализировать, излагать свои мысли в устной форме согласно речевому этикету и понимать речь других; |
5. Физминутка, 2 мин | Даёт рекомендации по выполнению. Ведёт счёт. | Выполняют гимнастику | Здоровьесберегающие | Коммуникативные: умение работать по заданию Личностные: формирование ЗОЖ |
6. 6 мин | Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу. -организует работу с учебником: предлагает устно ответить на вопросы на стр. 29 – решение №85 в тетрадях; к интерактивной доске вызывается 1 ученик – №87, 88, 89 решают всем классом устно – №90,91 – работа в парах | – Отвечают на вопросы – Выполняют задания; – учащиеся, которые справились с заданием, записывают своё решение на доске – записывают решение в тетрадь, советуются с соседом по парте – результаты решения записывают в листы самоконтроля | Фронтальная работа с классом Индивидуальная работа Работа в парах | Познавательные: рефлексия способов и условий действия. Анализ и синтез объектов. Коммуникативные: сотрудничество в поиске и сборе информации; умение точно и грамотно выражать свои мысли; выслушивать мнение членов команды, не перебивая; принятие коллективного решения. Регулятивные: |
7. Закрепление (обеспечение осознанности формируемых знаний и умений), 5 мин | Самостоятельная работа (по вариантам) с самопроверкой | Выполняют работу; Сверяются с ответами на доске, выставляют баллы в дневнике достижений в листах самоконтроля | Индивидуальная самостоятельная работа | Познавательные: рефлексия способов и условий действия. Анализ и синтез объектов. Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; саморегуляция. Коммуникативные: умение выражать свои мысли, аргументация; формирование умений совместно с другими детьми оценивать способы решения и делать выводы; находить решение задачи и оценивать полученные результаты. |
8. Рефлексия 2 мин | – Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых Какая была сегодня тема урока? Какую цель ставили? Достигли цели? Расскажите по схеме, чему научились на уроке: я – знаю я – запомнил я – смог И поставьте себе смайлик – один из 4 | Учащиеся отвечают | Фронтальная работа с классом | Коммуникативные: умение выражать свои мысли, аргументация Личностные: умение оценить свои знания и возможности |
9. 1 мин | Завершается урок. Он пошёл ребятам впрок? Постарались все понять? Учились тайны открывать? Ответы полные давали? На уроке не зевали?» Учитель предлагает дозированное домашнее задание §4, вопросы, №86, 89, 106, доп.111 | Учащиеся записывают в дневники домашнее задание | Личностные: формирование самооценки на основе критерия успешности учебной деятельности | Количество правильных ответов | Шкала баллов | Суммарный балл за задание |
Тест | ||||
1 слайд | 5 | |||
2 слайд | 5 | |||
3 слайд | 8 | |||
4 слайд | 5 | |||
Задача № 85 | 1 | |||
Задача №87 | 1 | |||
Задача №88 | 1 | |||
Задача №89 | 1 | |||
Задача №90 | 1 | |||
Задача №91 | 1 | |||
Самостоятельная работа | ||||
Задание 1 | 1 | |||
Задание 2 | 1 | |||
Задание 3 | 1 | |||
Суммарный балл за работу |
Математика
5 класс
Урок №21
Прямая, луч, отрезок
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятия «прямая», «луч», «отрезок»;
– отличия прямой, луча, отрезка;
– прямая, луч, отрезок на чертежах, рисунках и моделях.
Тезаурус
Отрезок – часть прямой, ограниченный двумя точками.
Концы отрезка – точки, ограничивающие отрезок.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф.Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009.–142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.
// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин.– М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основными геометрическими фигурами принято считать плоскость, прямую и точку, все остальные фигуры образуются из них или их частей, поясним сказанное на примерах. Начнём с того, что различные геометрические фигуры располагаются на плоскости. Представление о плоскости даёт нам, например, поверхность стола или школьной доски. Стоит отметить, что эти поверхности имеют края. У плоскости нет краёв. Она безгранично простирается во всех направлениях.
Введём ещё одно понятие – прямая. Её обозначают малой латинской буквой (например, а) или двумя заглавными буквами (например, АВ, если на прямой отмечены соответствующие точки).
Стоит заметить, что прямая линия не имеет ни начала, ни конца, поэтому её изображение можно продолжить в обе стороны. Две различные прямые могут иметь только одну общую точку, в этом случае говорят, что прямые пересекаются.
Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их не продолжали, такие прямые называют параллельными.
Параллельные прямые можно легко построить с помощью линейки и угольника, передвигая его вдоль линейки так, как показано на рисунке.
Через любые две точки можно провести только одну прямую.
Выполним построение. Для этого отметим две точки А и В и проведём через эти точки прямую b.
Провести через точки А и В другую прямую, отличную от прямой b, нельзя.
Используя прямую и точку в виде деталей геометрического конструктора, можно создавать новые геометрические объекты.
Например, начертим прямую с и отметим на ней точку А. Точка А разделила прямую на две части.
Каждую из этих частей называют лучом, исходящим из точки А.
Итак, луч – это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.
Луч следует обозначать двумя заглавными буквами латинского алфавита, при этом на первое место надо ставить обозначение начала луча.
Например, АВ, как в нашем случае, где точка А – начало луча.
Переставлять буквы в названии луча нельзя.
Теперь рассмотрим ещё одно важное геометрическое понятие – отрезок.
Отрезком называют часть прямой между двумя точками. Отрезок обозначают АВ или ВА. При этом точки А и В называют концами отрезка АВ.
В отличие от луча, в названии отрезка переставлять буквы допустимо, поэтому его можно обозначить как АВ, так и ВА.
Заметим, что два отрезка называются равными, если они совмещаются при наложении.
Итак, сегодня мы познакомились с понятиями прямая, луч, отрезок, как одними из основополагающих понятий в геометрии.
Это интересно
Помимо геометрии, мы можем встретить слово «луч» и в других научных областях.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: добавление подписей к изображениям.
Разместите нужные подписи к изображениям.
Для выполнения задания обратитесь к теоретическому материалу урока.
Правильные ответы:
1) а – это прямая.
2) АВ – это отрезок.
3) А – это луч.
№ 2. Тип задания: подстановка элементов в пропуски в тексте.
Вставьте в текст нужные слова.
Через__________ две____________ можно провести только одну _________.
Слова: любые; точки; прямую; ломаную.
Правильный ответ: через любые две точки можно провести только одну прямую.
% PDF-1.5 % 1 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 1 >> эндобдж 6 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 2 >> эндобдж 9 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 3 >> эндобдж 14 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 4 >> эндобдж 19 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 5 >> эндобдж 24 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 6 >> эндобдж 29 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 7 >> эндобдж 34 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 8 >> эндобдж 39 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 9 >> эндобдж 44 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 10 >> эндобдж 49 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 11 >> эндобдж 54 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 12 >> эндобдж 59 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 13 >> эндобдж 64 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 14 >> эндобдж 69 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 15 >> эндобдж 74 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 16 >> эндобдж 79 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 17 >> эндобдж 84 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 18 >> эндобдж 89 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 19 >> эндобдж 94 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 20 >> эндобдж 99 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 21 >> эндобдж 104 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 22 >> эндобдж 109 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 23 >> эндобдж 114 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 24 >> эндобдж 119 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 25 >> эндобдж 124 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 26 >> эндобдж 129 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 27 >> эндобдж 134 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 28 >> эндобдж 139 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 29 >> эндобдж 144 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 30 >> эндобдж 149 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 31 >> эндобдж 154 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 32 >> эндобдж 159 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 33 >> эндобдж 164 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 34 >> эндобдж 169 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 35 >> эндобдж 174 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 36 >> эндобдж 179 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 37 >> эндобдж 184 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 38 >> эндобдж 189 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 39 >> эндобдж 194 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 40 >> эндобдж 199 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 41 >> эндобдж 204 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 42 >> эндобдж 209 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 43 >> эндобдж 214 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 44 >> эндобдж 219 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 45 >> эндобдж 224 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 46 >> эндобдж 229 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 47 >> эндобдж 234 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 48 >> эндобдж 239 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 49 >> эндобдж 244 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 50 >> эндобдж 249 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 51 >> эндобдж 254 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 52 >> эндобдж 259 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 53 >> эндобдж 264 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 54 >> эндобдж 269 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 55 >> эндобдж 274 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 56 >> эндобдж 279 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 57 >> эндобдж 284 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 58 >> эндобдж 289 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 59 >> эндобдж 294 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 60 >> эндобдж 299 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 61 >> эндобдж 304 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 62 >> эндобдж 309 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 63 >> эндобдж 314 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 64 >> эндобдж 319 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 65 >> эндобдж 324 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 66 >> эндобдж 329 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 67 >> эндобдж 334 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 68 >> эндобдж 339 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 69 >> эндобдж 344 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 70 >> эндобдж 349 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 71 >> эндобдж 354 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 72 >> эндобдж 359 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 73 >> эндобдж 364 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 74 >> эндобдж 369 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 75 >> эндобдж 374 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 76 >> эндобдж 379 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 77 >> эндобдж 384 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 78 >> эндобдж 389 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 79 >> эндобдж 394 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 80 >> эндобдж 399 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 81 >> эндобдж 404 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 82 >> эндобдж 409 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 83 >> эндобдж 414 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 84 >> эндобдж 417 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 85 >> эндобдж 420 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 86 >> эндобдж 423 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 87 >> эндобдж 426 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 88 >> эндобдж 429 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 89 >> эндобдж 432 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 90 >> эндобдж 435 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 91 >> эндобдж 438 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 92 >> эндобдж 441 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 93 >> эндобдж 444 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 94 >> эндобдж 447 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 95 >> эндобдж 450 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 96 >> эндобдж 453 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 97 >> эндобдж 456 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 98 >> эндобдж 459 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 99 >> эндобдж 462 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 100 >> эндобдж 465 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 101 >> эндобдж 468 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 102 >> эндобдж 471 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 103 >> эндобдж 474 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 104 >> эндобдж 477 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 105 >> эндобдж 480 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 106 >> эндобдж 483 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 107 >> эндобдж 486 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 108 >> эндобдж 489 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 109 >> эндобдж 492 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 110 >> эндобдж 495 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 111 >> эндобдж 498 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 112 >> эндобдж 501 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 113 >> эндобдж 504 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 114 >> эндобдж 507 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 115 >> эндобдж 510 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 116 >> эндобдж 513 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 117 >> эндобдж 516 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 118 >> эндобдж 519 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 119 >> эндобдж 522 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 120 >> эндобдж 525 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 121 >> эндобдж 528 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 122 >> эндобдж 531 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 123 >> эндобдж 534 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 124 >> эндобдж 537 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 125 >> эндобдж 540 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 126 >> эндобдж 543 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 127 >> эндобдж 546 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 128 >> эндобдж 549 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 129 >> эндобдж 552 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 130 >> эндобдж 555 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 131 >> эндобдж 558 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 132 >> эндобдж 561 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 133 >> эндобдж 564 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 134 >> эндобдж 567 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 135 >> эндобдж 570 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 136 >> эндобдж 573 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 137 >> эндобдж 576 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 138 >> эндобдж 579 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 139 >> эндобдж 582 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 140 >> эндобдж 585 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 141 >> эндобдж 588 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 142 >> эндобдж 591 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 143 >> эндобдж 594 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 144 >> эндобдж 597 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 145 >> эндобдж 600 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 146 >> эндобдж 603 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 147 >> эндобдж 606 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 148 >> эндобдж 609 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 149 >> эндобдж 612 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 150 >> эндобдж 615 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 151 >> эндобдж 618 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 152 >> эндобдж 621 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 153 >> эндобдж 624 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 154 >> эндобдж 627 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 155 >> эндобдж 630 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / ExtGState >>> / StructParents 156 >> эндобдж 633 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 157 >> эндобдж 636 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 158 >> эндобдж 639 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 159 >> эндобдж 642 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 160 >> эндобдж 645 0 obj> / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / ExtGState >>> / StructParents 161 >> эндобдж 656 0 obj> / BaseFont / Times-Roman / FirstChar 0 / LastChar 255 / Subtype / Type1 / ToUnicode 17728 0 R / Ширина [333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 278 556 556 611 278 611 444 564 250 250250250250250250250250250250 333 408 500 500 833 778 180 333 333 500 564 250 333250 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 278 278 564 564 564 444 921 722 667 667 722 611 556722 722 333 389 722 611 889 722 722 556 722 667 556 611 722 722 944 722 722 611 333 278 333 469 500 333 444 500 444 500 444 333 500 500 278 278 500 278 778 500 500 500 500 500 333 389 278 500 500 722 500 500 444480200480541250250250 333500 444 1000 500 500 333 1000 556 33389250250250250 333 333 444 444 350500 1000 333980 389 333 722 250 250 722 250 333 500 500 500 500 200 500 333760 276 500 564 333760 333400 564 300 300 333 500 453250 333 300 310 500 750 750 750 44 47 22 722 722 722 722 722 889 667 611 611 611 611 333 333 333 333 722 722 722 722 722 722 722 564 722 722 722 722 722 722 556 500 444 444 444 444 444 444 667 444 444 444 444 444 278 278 278 278 500 500 500 500 500 500 500 564 500 500 500 500 500 500 500 500] >> эндобдж 657 0 obj> эндобдж 658 0 obj> эндобдж 659 0 obj> эндобдж 660 0 obj> эндобдж 661 0 объект> эндобдж 662 0 obj> / BaseFont / Times-Bold / FirstChar 0 / LastChar 255 / Subtype / Type1 / ToUnicode 17730 0 R / Ширина [333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 333 278 556 556 667 278 667 444 570 250 250250250250250250250250250250 333555500500 1000 833 278 333 333 500 570 250 333250 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 333 333570 570 570 500 930 722 667 722 722 667 611 778 778 389 500 778 667 944 722 778 611 778 722 556 667 722 722 1000 722 722 667 333 278 333 581 500 333 500 556 444 556 444 333 500 556 278 333 556 278 833 556 500 556 556 444 389 333 556 500 722 500 500 444 394 220 394520 250 250 250 333 500 500 1000 500 500 333 1000 556 333 1000 250 250 250 250 250 333 333 500 500 350 500 1000 333 1000 389 333 722 250 250 722 250 333 500 500 500 500 220 500 333747 300 500 570333747333400570300300333565402503333300330500750750500722722722722722722 1000722667667667667389389389389722722778778778778778570778722722722722722 611 556 500 500 500 500 500 500 722 444 444 444 444 444 278 278 278 278 500 556 500 500 500 500 500 570 500 556 556 556 556 500 556 500] >> эндобдж 663 0 obj> эндобдж 664 0 объект> эндобдж 665 0 объект> эндобдж 666 0 obj> эндобдж 667 0 obj> поток Hbd`ab`ddwwwq s () J4031
Световая волна – это электромагнитная волна, которая распространяется через космический вакуум.
Световые волны создаются вибрирующими электрическими зарядами. Природа таких электромагнитных волн выходит за рамки Учебника по физике. Для наших целей достаточно просто сказать, что электромагнитная волна – это поперечная волна, которая имеет как электрическую, так и магнитную составляющие.
Поперечная природа электромагнитной волны сильно отличается от любого другого типа волн, которые обсуждались в Учебном пособии по физике. Предположим, что мы используем привычный обтягивающий элемент для моделирования поведения электромагнитной волны.По мере того, как электромагнитная волна приближается к вам, вы наблюдаете колебания обтягивающего материала, возникающие более чем в одной плоскости вибрации. Это совсем не то, что вы могли бы заметить, если бы вы посмотрели на обтягивающую волну и наблюдали, как к вам приближается обтекаемая волна. В самом деле, спирали обтягивающего будут колебаться взад и вперед по мере приближения обтягивающего; тем не менее, эти колебания происходили бы в одной плоскости пространства.
То есть катушки обтекателя могут колебаться вверх и вниз или влево и вправо.Тем не менее, независимо от направления их вибрации, они будут двигаться в том же линейном направлении, что и вы, увидев на обтяжку. Если бы обтягивающая волна была электромагнитной волной, то колебания обтягивающей волны происходили бы в нескольких плоскостях. В отличие от обычной тонкой волны электрические и магнитные колебания электромагнитной волны происходят во многих плоскостях. Световая волна, которая колеблется более чем в одной плоскости, называется неполяризованным светом . Свет, излучаемый солнцем, лампой в классе или пламенем свечи, является неполяризованным светом.Такие световые волны создаются электрическими зарядами, которые колеблются в разных направлениях, создавая, таким образом, электромагнитную волну, которая колеблется в разных направлениях. Эту концепцию неполяризованного света довольно сложно представить. В общем, полезно представить неполяризованный свет как волну, которая имеет в среднем половину своих колебаний в горизонтальной плоскости и половину своих колебаний в вертикальной плоскости.
Можно преобразовать неполяризованный свет в поляризованный свет .Поляризованные световые волны – это световые волны, в которых колебания происходят в одной плоскости. Процесс преобразования неполяризованного света в поляризованный известен как поляризация . Есть множество методов поляризационного света. На этой странице обсуждаются четыре метода:
Поляризация с помощью поляроидного фильтра Наиболее распространенный метод поляризации включает использование поляроидного фильтра .Фильтры Polaroid изготовлены из специального материала, который способен блокировать одну из двух плоскостей вибрации электромагнитной волны. (Помните, понятие двух плоскостей или направлений вибрации – это просто упрощение, которое помогает нам визуализировать волнообразную природу электромагнитной волны.) В этом смысле поляроид служит устройством, которое отфильтровывает половину вибраций на пропускание света через фильтр.
Когда неполяризованный свет проходит через фильтр Polaroid, он выходит с половинной интенсивностью и с колебаниями в одной плоскости; он появляется как поляризованный свет.
Фильтр Polaroid способен поляризовать свет из-за химического состава фильтрующего материала. Фильтр можно представить как имеющий длинноцепочечные молекулы, которые выровнены внутри фильтра в одном направлении. Во время изготовления фильтра длинноцепочечные молекулы растягиваются поперек фильтра, так что каждая молекула (насколько это возможно) выровнена, скажем, в вертикальном направлении. Когда неполяризованный свет попадает на фильтр, часть волн, колеблющихся в вертикальном направлении, поглощается фильтром.Общее правило состоит в том, что электромагнитные колебания, идущие в направлении, параллельном расположению молекул, поглощаются.
Выравнивание этих молекул дает фильтру ось поляризации . Эта ось поляризации проходит по длине фильтра и позволяет проходить только колебаниям электромагнитной волны, параллельным оси.
Любые колебания, перпендикулярные оси поляризации, блокируются фильтром.Таким образом, фильтр Polaroid с его длинноцепочечными молекулами, выровненными по горизонтали, будет иметь ось поляризации, выровненную по вертикали. Такой фильтр блокирует все горизонтальные колебания и позволяет передавать вертикальные колебания (см. Диаграмму выше). С другой стороны, фильтр Polaroid с его длинноцепочечными молекулами, выровненными по вертикали, будет иметь ось поляризации, выровненную по горизонтали; этот фильтр блокирует все вертикальные колебания и позволяет передавать горизонтальные колебания.
Поляризация света с помощью фильтра Polaroid часто демонстрируется на уроках физики с помощью различных демонстраций.Фильтры используются для просмотра и просмотра объектов. Фильтр не искажает форму и размеры объекта; он просто служит для создания более тусклого изображения объекта, поскольку половина света блокируется при прохождении через фильтр. Пара фильтров часто ставится вплотную друг к другу, чтобы просматривать объекты через два фильтра.
Медленно вращая второй фильтр, можно найти ориентацию, при которой весь свет от объекта блокируется, и объект больше не виден при просмотре через два фильтра.Что произошло? В этой демонстрации свет был поляризован при прохождении через первый фильтр; возможно, могли пройти только вертикальные колебания. Затем эти вертикальные колебания блокировались вторым фильтром, поскольку его поляризационный фильтр ориентирован в горизонтальном направлении. Хотя вы не можете видеть оси на фильтре, вы будете знать, когда оси выровнены перпендикулярно друг другу, потому что при такой ориентации весь свет блокируется. Таким образом, используя два фильтра, можно полностью заблокировать весь свет, падающий на устройство; это произойдет только в том случае, если оси поляризации повернуты так, что они перпендикулярны друг другу.
Для объяснения того, как работает эта демонстрация с двумя фильтрами, часто используется аналогия с частоколом. Штакетник может действовать как поляризатор, преобразовывая неполяризованную волну в веревке в волну, которая колеблется в одной плоскости.
Пространства между планками ограждения позволят проходить вибрациям, параллельным промежуткам, и блокировать любые вибрации, перпендикулярные промежуткам. Очевидно, что вертикальной вибрации не хватит места, чтобы пройти через горизонтальный интервал.Если два штакетника ориентированы так, что оба штакетника выровнены по вертикали, то вертикальные колебания будут проходить через оба ограждения. С другой стороны, если пикеты второго ограждения выровнены по горизонтали, то вертикальные колебания, проходящие через первое ограждение, будут блокироваться вторым ограждением. Это показано на диаграмме ниже.
Таким же образом два фильтра Polaroid, ориентированные с их осями поляризации перпендикулярно друг другу, будут блокировать весь свет.Это довольно интересное наблюдение, которое невозможно объяснить с помощью частиц света.
Поляризация путем отражения Неполяризованный свет может также подвергаться поляризации за счет отражения от неметаллических поверхностей.
Степень поляризации зависит от угла, под которым свет приближается к поверхности, и от материала, из которого она сделана. Металлические поверхности отражают свет с различными направлениями колебаний; такой отраженный свет неполяризован.Однако неметаллические поверхности, такие как асфальтовые дороги, снежные поля и вода, отражают свет так, что существует большая концентрация вибраций в плоскости, параллельной отражающей поверхности. Человек, наблюдающий объекты посредством света, отраженного от неметаллических поверхностей, часто будет воспринимать блики, если степень поляризации велика. Рыбаки знакомы с этим ярким светом, поскольку он не позволяет им увидеть рыбу, лежащую под водой. Свет, отраженный от озера, частично поляризован в направлении, параллельном поверхности воды.Рыбаки знают, что использование солнцезащитных очков, уменьшающих блики, с правильной осью поляризации позволяет блокировать этот частично поляризованный свет. Блокируя плоско-поляризованный свет, блики уменьшаются, и рыбак может легче видеть рыбу, находящуюся под водой.
Поляризация также может происходить из-за преломления света. Преломление происходит, когда луч света переходит от одного материала к другому.На поверхности двух материалов путь луча меняет свое направление. Преломленный луч приобретает некоторую степень поляризации. Чаще всего поляризация происходит в плоскости, перпендикулярной поверхности. Поляризация преломленного света часто демонстрируется на уроках физики с использованием уникального кристалла, который служит кристаллом с двойным преломлением. Исландский шпат, довольно редкая форма минерального кальцита, преломляет падающий свет двумя разными путями. Свет разделяется на на два луча при входе в кристалл.Впоследствии, если объект рассматривается через кристалл исландского шпата, будут видны два изображения. Два изображения являются результатом двойного лучепреломления света. Оба преломленных световых луча поляризованы – один в направлении, параллельном поверхности, а другой – в направлении, перпендикулярном поверхности.
Поскольку эти два преломленных луча поляризованы с перпендикулярной ориентацией, можно использовать поляризационный фильтр, чтобы полностью заблокировать одно из изображений. Если ось поляризации фильтра направлена перпендикулярно плоскости поляризованного света, свет полностью блокируется фильтром; Между тем, второе изображение максимально яркое.И если затем фильтр повернуть на 90 градусов в любом направлении, второе изображение появится снова, а первое изображение исчезнет. Это довольно изящное наблюдение, которое невозможно было бы наблюдать, если бы свет не демонстрировал волнообразное поведение.
Примерно на отметке 8 секунд фильтр Polaroid помещается на кристалл и вращается. По мере вращения два изображения поочередно появляются и исчезают. Свет, проходящий через кристалл, становится поляризованным, и когда фильтр Polaroid вращается, он блокирует и пропускает два световых пути поочередно. В результате два изображения PHUN можно просматривать по одному.Довольно крутая штука!
Поляризация также возникает, когда свет рассеивается при прохождении через среду. Когда свет падает на атомы материала, он часто заставляет электроны этих атомов вибрировать. Затем колеблющиеся электроны создают свою собственную электромагнитную волну, которая излучается во всех направлениях.Эта вновь сгенерированная волна ударяет соседние атомы, заставляя их электроны колебаться с той же исходной частотой.
Эти колеблющиеся электроны производят другую электромагнитную волну, которая снова распространяется во всех направлениях. Это поглощение и переизлучение световых волн заставляет свет рассеиваться в среде. (Этот процесс рассеяния способствует тому, что наше небо становится голубым, эта тема будет обсуждаться позже.) Этот рассеянный свет частично поляризован. Поляризация за счет рассеяния наблюдается, когда свет проходит через нашу атмосферу.Рассеянный свет часто вызывает блики в небе. Фотографы знают, что эта частичная поляризация рассеянного света приводит к фотографиям с размытым небом года. Проблему легко исправить, применив фильтр Polaroid. При вращении фильтра частично поляризованный свет блокируется, а блики уменьшаются. Фотографический секрет запечатления яркого голубого неба на фоне красивого переднего плана заключается в физике поляризации и фильтрах Polaroid.
Polarization есть множество других применений, помимо использования в солнцезащитных очках, уменьшающих блики.
В промышленности фильтры Polaroid используются для проведения стресс-анализа прозрачных пластиков. Когда свет проходит через пластик, каждый цвет видимого света поляризуется со своей ориентацией. Если поместить такой пластик между двумя поляризационными пластинами, раскроется красочный узор. Когда верхняя пластина поворачивается, цветовой узор изменяется, поскольку новые цвета блокируются и передаются ранее заблокированные цвета.Обычная демонстрация физики включает в себя размещение пластикового транспортира между двумя пластинами Polaroid и размещение их поверх диапроектора. Известно, что структурное напряжение в пластике проявляется в местах с большой концентрацией цветных полос. Это место напряжения обычно является местом, где наиболее вероятно возникновение разрушения конструкции. Возможно, вы хотите, чтобы пластиковый корпус компакт-диска, который вы недавно купили, был проведен более тщательный анализ напряжений.
Поляризация также используется в индустрии развлечений для производства и демонстрации трехмерных фильмов.
Трехмерные фильмы – это на самом деле два фильма, которые одновременно демонстрируются через два проектора. Эти два фильма сняты двумя немного разными камерами. Затем каждый отдельный фильм проецируется с разных сторон на металлический экран. Фильмы проецируются через поляризационный фильтр. У поляризационного фильтра, используемого для проектора слева, ось поляризации может быть выровнена по горизонтали, а у поляризационного фильтра, используемого для проектора справа, ось поляризации может быть выровнена вертикально.Следовательно, на экран проецируются два немного разных фильма. Каждый фильм освещен светом, поляризованным с ориентацией, перпендикулярной другому фильму. Затем зрители надевают очки с двумя фильтрами Polaroid. У каждого фильтра своя ось поляризации – одна горизонтальная, а другая вертикальная. Результатом такого расположения проекторов и фильтров является то, что левый глаз видит фильм, который проецируется правым проектором, а правый глаз видит фильм, который проецируется левым проектором.
Это дает зрителю ощущение глубины.
Наша модель поляризации света существенно подтверждает волнообразную природу света. Было бы чрезвычайно трудно объяснить явление поляризации, используя представление о свете с помощью частиц. Поляризация могла бы происходить только с поперечной волной. По этой причине поляризация – еще одна причина, по которой ученые считают, что свет проявляет волнообразное поведение.
Смотри! Рисунок воздушного шара был нанесен на стеклянную пластину.Затем к рисунку добавляли целлофановую ленту, так что каждый «сектор» воздушного шара состоял из ленты, выровненной в направлении, явно отличном от направления соседних «секторов». Хобби-нож использовался для аккуратного удаления нахлеста ленты из одного сектора в прилегающие секторы. Целлофановая лента способна вращать ось поляризации длин волн (то есть цвета) поляризованного света на разную величину.
В демонстрации поляроидный фильтр помещен на стеклянную панель оверхед-проектора в классном стиле.
Свет, проходящий через фильтр, становится поляризованным. Различные секторы заклеенного стекла будут вращать оси поляризации разных длин волн света на разную величину. Затем поверх заклеенного стекла помещают второй фильтр. Этот второй фильтр обеспечивает прохождение длин волн (т. Е. Цветов) света, ось поляризации которого совпадает с осью передачи фильтра; другие длины волн заблокированы. Таким образом, при просмотре через оба фильтра разные секторы выглядят разными цветами.
Проверьте свое понимание
1.Предположим, что свет проходит через два фильтра Polaroid, оси поляризации которых параллельны друг другу. Что будет в результате?
2. Свет становится частично поляризованным, поскольку он отражается от неметаллических поверхностей, таких как стекло, вода или поверхность дороги.
Поляризованный свет состоит из волн, колеблющихся в плоскости, которая ____________ (параллельна, перпендикулярна) отражающей поверхности.
3. Рассмотрим три пары солнцезащитных очков ниже. Определить, способна ли пара очков устранить блики, возникающие в результате отражения солнечного света от спокойных вод озера? _________ Объяснять. (Оси поляризации показаны прямыми линиями.)
В существующей литературе, аналитическими методами или численными методами, формулировки для анализа свободных колебаний балок с круговой кривизной перпендикулярно его начальной плоскости представлены несколько сложнее, особенно если учесть влияние как деформации сдвига (SD), так и инерции вращения (RI).
Есть надежда, что простой подход, представленный в этой статье, может исправить вышеупомянутый недостаток существующих методов. Во-первых, были приняты три функции для осевого (или перпендикулярного плоскости) смещения и углов поворота вокруг радиальной и окружной (или тангенциальной) осей изогнутого элемента балки. Поскольку каждая функция состоит из шести констант интегрирования, у одной есть 18 неизвестных констант для трех предполагаемых функций смещения. Затем из последних трех функций смещения, трех дифференциальных уравнений силы-смещения и трех уравнений статического равновесия для элемента дуги было получено три полиномиальных выражения.Приравняв к нулю коэффициенты при членах в каждом из последних трех выражений, соответственно, мы получили 17 одновременных уравнений как функции 18 неизвестных констант. Исключая пять зависимых из последних 17 уравнений, получается 12 независимых одновременных уравнений. Решая последние 12 независимых уравнений, было получено единственное решение в терминах шести неизвестных констант.
Наконец, наложив шесть граничных условий на двух концах элемента дуги, один определил последние шесть неизвестных констант и полностью определил три функции смещения.Посредством последних функций смещения можно вычислить функции формы, матрицу жесткости, матрицу масс и вектор внешней нагрузки для каждого элемента дуги, а затем выполнить анализ свободных и вынужденных колебаний всей изогнутой балки. Хорошее согласие между результатами этой статьи и существующей литературой подтверждает надежность представленной теории. Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Ltd.
Отражение света (и других форм электромагнитного излучения) происходит, когда волны встречаются с поверхностью или другой границей, которая не поглощает энергию излучения и отталкивает волны от поверхности.Простейшим примером отражения видимого света является поверхность гладкого бассейна с водой, где падающий свет отражается упорядоченным образом, создавая четкое изображение пейзажа, окружающего бассейн.
Бросьте камень в бассейн (см. Рис. 1), и вода будет возмущена, чтобы сформировать волны, которые нарушают отражение, рассеивая отраженные световые лучи во всех направлениях.
Некоторые из самых ранних описаний отражения света исходят от древнегреческого математика Евклида, который провел серию экспериментов около 300 г. до н.э. и, похоже, хорошо понимал, как отражается свет.Однако только через полтора тысячелетия арабский ученый Альхазен предложил закон, точно описывающий, что происходит со световым лучом, когда он ударяется о гладкую поверхность, а затем отражается в космосе.
Входящая световая волна называется падающей волной, а волна, отраженная от поверхности, называется отраженной волной . Видимый белый свет, который направлен на поверхность зеркала под углом (падающий), отражается обратно в пространство поверхностью зеркала под другим углом (отражается), который равен углу падения, как это представлено для действия луча свет от фонарика на гладком плоском зеркале на рисунке 2.
Таким образом, угол падения равен углу отражения для видимого света, а также для всех других длин волн спектра электромагнитного излучения. Эту концепцию часто называют законом отражения . Важно отметить, что свет не разделяется на составляющие его цвета, потому что он не «изгибается» или не преломляется , и все длины волн отражаются под одинаковыми углами. Лучшие поверхности для отражения света – это очень гладкие, такие как стеклянное зеркало или полированный металл, хотя почти все поверхности в той или иной степени отражают свет.
Когда световые волны падают на гладкую плоскую поверхность, они отражаются от поверхности под тем же углом, что и приходят. В этом руководстве исследуется взаимосвязь между углами падения и отражения для виртуальной синусоидальной световой волны.
Поскольку свет в некоторых отношениях ведет себя как волна, а в других – как если бы он состоял из частиц, возникло несколько независимых теорий отражения света.
Согласно теории, основанной на волнах, световые волны распространяются от источника во всех направлениях и при попадании в зеркало отражаются под углом, определяемым углом, под которым падает свет.Процесс отражения инвертирует каждую волну назад и вперед, поэтому наблюдается обратное изображение. Форма световых волн зависит от размера источника света и от того, как далеко волны прошли, чтобы достичь зеркала. Волновые фронты, исходящие от источника около зеркала, будут сильно изогнутыми, а те, которые излучаются удаленными источниками света, будут почти линейными, что влияет на угол отражения.
Согласно теории частиц, которая в некоторых важных деталях отличается от волновой концепции, свет достигает зеркала в виде потока крошечных частиц, называемых фотонами, которые при ударе отскакивают от поверхности.Поскольку частицы такие маленькие, они движутся очень близко друг к другу (практически бок о бок) и отскакивают от разных точек, поэтому их порядок меняется на обратный в процессе отражения, создавая зеркальное изображение.
Однако независимо от того, действует ли свет как частицы или волны, результат отражения один и тот же. Отраженный свет создает зеркальное отображение.
Количество света, отраженного объектом, и то, как он отражается, сильно зависит от степени гладкости текстуры поверхности.Когда дефекты поверхности меньше длины волны падающего света (как в случае зеркала), практически весь свет отражается одинаково. Однако в реальном мире большинство объектов имеют извилистые поверхности, которые демонстрируют диффузное отражение, при этом падающий свет отражается во всех направлениях. Многие из объектов, которые мы случайно наблюдаем каждый день (люди, автомобили, дома, животные, деревья и т. Д.), Сами по себе не излучают видимый свет, а отражают падающий естественный солнечный свет и искусственный свет.Например, яблоко выглядит ярко-красного цвета, потому что оно имеет относительно гладкую поверхность, которая отражает красный свет и поглощает другие световые волны, отличные от красного (например, зеленый, синий и желтый).
Отражение света можно условно разделить на два типа отражения. Зеркальное отражение определяется как свет, отраженный от гладкой поверхности под определенным углом, тогда как диффузное отражение создается шероховатыми поверхностями, которые имеют тенденцию отражать свет во всех направлениях (как показано на рисунке 3).В повседневной жизни гораздо чаще встречается диффузное отражение, чем зеркальное.
Количество света, отраженного объектом, и то, как он отражается, очень зависит от гладкости или текстуры поверхности. В этом интерактивном руководстве исследуются вариации отражательной способности поверхностей при переходе от гладких, зеркальных текстур к очень грубым и неровным.
Чтобы визуализировать разницу между зеркальным и диффузным отражением, рассмотрите две очень разные поверхности: гладкое зеркало и шероховатую красноватую поверхность.Зеркало почти одинаково отражает все компоненты белого света (такие как красный, зеленый и синий волны), а отраженный зеркальный свет следует по траектории, имеющей тот же угол от нормали, что и падающий свет.
Однако шероховатая красноватая поверхность отражает не все длины волн, поскольку поглощает большую часть синего и зеленого компонентов и отражает красный свет. Кроме того, рассеянный свет, который отражается от шероховатой поверхности, рассеивается во всех направлениях.
Пожалуй, лучшим примером зеркального отражения, с которым мы сталкиваемся ежедневно, является зеркальное отображение , создаваемое домашним зеркалом, которое люди могут использовать много раз в день, чтобы рассмотреть свою внешность.Гладкая отражающая стеклянная поверхность зеркала визуализирует виртуальное изображение наблюдателя из света, который отражается прямо в глаза. Это изображение называется «виртуальным», потому что на самом деле оно не существует (свет не излучается) и кажется, что он находится за плоскостью зеркала из-за предположения, которое естественным образом делает мозг. То, как это происходит, легче всего визуализировать, глядя на отражение объекта, помещенного с одной стороны от наблюдателя, так что свет от объекта падает на зеркало под углом и отражается под равным углом к глазам зрителя.
.Когда глаза принимают отраженные лучи, мозг предполагает, что световые лучи достигли глаз по прямому прямому пути. Прослеживая лучи назад к зеркалу, мозг воспринимает изображение, расположенное за зеркалом. Интересной особенностью этого артефакта отражения является то, что изображение наблюдаемого объекта оказывается на том же расстоянии за плоскостью зеркала, что и реальный объект перед зеркалом.
Тип отражения в зеркале зависит от формы зеркала и, в некоторых случаях, от того, как далеко от зеркала расположен отражаемый объект.Зеркала не всегда бывают плоскими, и их можно производить в различных конфигурациях, которые обеспечивают интересные и полезные характеристики отражения. Вогнутые зеркала , обычно используемые в крупнейших оптических телескопах, используются для сбора слабого света, излучаемого очень далекими звездами. Изогнутая поверхность концентрирует параллельные лучи с большого расстояния в одну точку для повышения интенсивности. Эта конструкция зеркала также часто встречается в зеркалах для бритья или косметических зеркалах, где отраженный свет создает увеличенное изображение лица.
Внутренняя часть блестящей ложки является типичным примером вогнутой зеркальной поверхности и может использоваться для демонстрации некоторых свойств этого типа зеркала. Если поднести ложку внутрь близко к глазу, будет виден увеличенный вертикальный вид глаза (в этом случае глаз находится ближе, чем фокус зеркала). Если отодвинуть ложку дальше, будет видно все лицо в перевернутом увеличении. Здесь изображение перевернуто, потому что оно формируется после того, как отраженные лучи пересекли фокальную точку поверхности зеркала.
Другое распространенное зеркало с изогнутой поверхностью, выпуклое зеркало , часто используется в автомобильных отражателях заднего вида, где кривизна наружного зеркала обеспечивает меньший, более панорамный вид событий, происходящих позади транспортного средства. Когда параллельные лучи падают на поверхность выпуклого зеркала, световые волны отражаются наружу и расходятся. Когда мозг отслеживает лучи, кажется, что они исходят из-за зеркала, где они собираются сходиться, создавая меньшее вертикальное изображение (изображение вертикальное, поскольку виртуальное изображение формируется до того, как лучи пересекут фокусную точку).
Выпуклые зеркала также используются в качестве широкоугольных зеркал в коридорах и на предприятиях для обеспечения безопасности. Самым забавным применением изогнутых зеркал являются зеркала-новинки, которые можно найти на государственных ярмарках, карнавалах и домах развлечений. Эти зеркала часто включают смесь вогнутых и выпуклых поверхностей или поверхностей, которые плавно изменяют кривизну, чтобы создавать причудливые искаженные отражения, когда люди наблюдают за собой.
Ложки можно использовать для имитации выпуклых и вогнутых зеркал, как показано на рисунке 4 для отражения молодой женщины, стоящей у деревянного забора.Когда изображение женщины и забора отражается от внешней поверхности чаши (выпуклой) ложки, изображение оказывается вертикальным, но искажается по краям, где кривизна ложки изменяется. Напротив, когда обратная сторона ложки (внутренняя чаша или вогнутая поверхность) используется для отражения сцены, изображение женщины и забора переворачивается.
Объект за пределами центра кривизны вогнутого зеркала формирует реальное перевернутое изображение между точкой фокусировки и центром кривизны.
В этом интерактивном руководстве показано, как перемещение объекта дальше от центра кривизны влияет на размер реального изображения, сформированного зеркалом.
Картины отражения, полученные как от вогнутого, так и от выпуклого зеркала, представлены на рисунке 5. Вогнутое зеркало имеет отражающую поверхность, которая изгибается внутрь, напоминая часть внутренней части сферы. Когда световые лучи, параллельные главной или оптической оси, отражаются от поверхности вогнутого зеркала (в данном случае световые лучи от ног совы), они сходятся в фокусной точке (красной точке) перед зеркалом.Расстояние от отражающей поверхности до фокальной точки известно как фокусное расстояние зеркала . Размер изображения зависит от расстояния объекта от зеркала и его положения по отношению к зеркальной поверхности. В этом случае сова помещается подальше от центра кривизны, а отраженное изображение переворачивается вверх ногами и располагается между центром кривизны зеркала и его фокусной точкой.
Выпуклое зеркало имеет отражающую поверхность, которая изгибается наружу, напоминая часть внешней поверхности сферы.Лучи света, параллельные оптической оси, отражаются от поверхности в направлении, которое расходится от фокальной точки, которая находится за зеркалом (рис. 5). Изображения, сформированные с помощью выпуклых зеркал, всегда отображаются правой стороной вверх и уменьшаются в размере. Эти изображения также называются виртуальными изображениями, потому что они возникают там, где отраженные лучи расходятся от фокальной точки за зеркалом.
Способ огранки драгоценных камней является одним из наиболее эстетически важных и приятных применений принципов отражения света.В частности, в случае бриллиантов красота и экономическая ценность отдельного камня в значительной степени определяются геометрическими соотношениями внешних граней (или граней ) драгоценного камня. Грани, ограненные в алмаз, спланированы таким образом, чтобы большая часть света, падающего на переднюю поверхность камня, отражалась обратно к наблюдателю (рис.
6). Часть света отражается непосредственно от внешних верхних граней, но часть света попадает в алмаз и после внутреннего отражения отражается обратно от камня от внутренних поверхностей нижних граней.Эти внутренние траектории лучей и множественные отражения ответственны за блеск алмаза, который часто называют его «огнем». Интересным следствием идеально ограненного камня является то, что он будет показывать блестящее отражение, если смотреть спереди, но будет выглядеть темнее или тускло сзади, как показано на Рисунке 6.
Световые лучи отражаются от зеркал под всеми углами от которые они прибывают. Однако в некоторых других ситуациях свет может отражаться только под одними углами, а не под другими, что приводит к явлению, известному как полное внутреннее отражение .Это можно проиллюстрировать ситуацией, когда дайвер, работающий под поверхностью совершенно спокойной воды, светит ярким фонариком прямо вверх на поверхность. Если свет падает на поверхность под прямым углом, он выходит прямо из воды в виде вертикального луча, проецируемого в воздух.
Если луч света направлен под небольшим углом к поверхности, так что он падает на поверхность под косым углом, луч выйдет из воды, но из-за преломления будет отклонен к плоскости поверхности.Угол между выходящим лучом и поверхностью воды будет меньше, чем угол между лучом света и поверхностью под водой.
Если дайвер будет продолжать направлять свет под большим углом к поверхности, луч, выходящий из воды, будет приближаться к поверхности, пока в какой-то момент не станет параллельным поверхности. Из-за искривления света из-за преломления выходящий луч станет параллельным поверхности до того, как свет под водой достигнет того же угла.Точка, в которой выходящий луч становится параллельным поверхности, находится под критическим углом для воды. Если направить свет еще дальше, он не появится. Вместо того, чтобы преломляться, весь свет будет отражаться от поверхности воды обратно в воду, как это было бы от поверхности зеркала.
Независимо от положения объекта, отражаемого выпуклым зеркалом, формируемое изображение всегда виртуальное, прямое и уменьшенное в размере.
В этом интерактивном руководстве показано, как перемещение объекта дальше от поверхности зеркала влияет на размер виртуального изображения, формируемого за зеркалом.
Принцип полного внутреннего отражения является основой для оптоволоконной передачи света, который делает возможными медицинские процедуры, такие как эндоскопия, передача голоса по телефону, закодированная в виде световых импульсов, и такие устройства, как оптоволоконные осветители, которые широко используются в микроскопии и других задачах, требующих прецизионные световые эффекты.Призмы, используемые в биноклях и однообъективных зеркальных камерах, также используют полное внутреннее отражение для направления изображений под несколькими углами 90 градусов в глаз пользователя. В случае оптоволоконной передачи свет, попадающий на один конец волокна, многократно отражается внутрь от стенки волокна, зигзагообразно приближаясь к другому концу, при этом ни один свет не выходит через тонкие стенки волокна. Этот метод «прокладки» света может применяться на больших расстояниях и с многочисленными витками на пути волокна.
Полное внутреннее отражение возможно только при определенных условиях. Свет должен распространяться в среде с относительно высоким показателем преломления, и это значение должно быть выше, чем у окружающей среды. Поэтому вода, стекло и многие пластмассы подходят для использования в атмосфере воздуха. Если материалы выбраны надлежащим образом, отражения света внутри волокна или световода будут происходить под небольшим углом к внутренней поверхности (см. Рисунок 7), и весь свет будет полностью содержаться внутри трубы, пока не выйдет на дальний конец. .Однако на входе в оптическое волокно свет должен падать на конец под большим углом падения, чтобы пройти через границу в волокно.
Принципы отражения используются с большой пользой во многих оптических приборах и устройствах, и это часто включает применение различных механизмов для уменьшения отражений от поверхностей, которые участвуют в формировании изображения. Концепция, лежащая в основе технологии антиотражения , заключается в том, чтобы управлять светом, используемым в оптическом устройстве, таким образом, чтобы световые лучи отражались от поверхностей, где они предназначены и полезны, и не отражались от поверхностей, где это могло бы оказать вредное воздействие на наблюдаемое изображение.
Одним из наиболее значительных достижений, сделанных в современной конструкции линз, будь то для микроскопов, фотоаппаратов или других оптических устройств, является усовершенствование технологии антиотражающего покрытия.
Изучите, как различные комбинации антиотражающих покрытий влияют на процент света, проходящего через поверхность линзы или отраженного от нее. В учебном пособии также исследуется отражательная способность как функция угла падения.
Тонкие покрытия из определенных материалов при нанесении на поверхности линз могут помочь уменьшить нежелательные отражения от поверхностей, которые могут возникнуть при прохождении света через систему линз.Современные линзы с высокой степенью коррекции оптических аберраций обычно имеют несколько отдельных линз или линзовых элементов, которые механически удерживаются вместе в тубусе или тубусе объектива, и более правильно их называют линзой линзы или оптической системой линзы .
Каждая граница раздела воздух-стекло в такой системе, если не покрыта для уменьшения отражений, может отражать от четырех до пяти процентов падающего светового луча перпендикулярно поверхности, что дает значение пропускания от 95 до 96 процентов при нормальном падении.Нанесение просветляющего покрытия толщиной четверть длины волны, имеющего специально выбранный показатель преломления, может увеличить значение пропускания на три-четыре процента.
Современные линзы объективов для микроскопов, а также линзы, предназначенные для фотоаппаратов и других оптических устройств, становятся все более изощренными и сложными и могут иметь 15 или более отдельных линз с несколькими интерфейсами воздух-стекло. Если бы ни один из элементов не был покрыт, потери на отражение в линзе только от осевых лучей снизили бы значения коэффициента пропускания примерно до 50 процентов.В прошлом однослойные покрытия использовались для уменьшения бликов и улучшения светопропускания, но они были в значительной степени вытеснены многослойными покрытиями, которые могут обеспечивать значения пропускания, превышающие 99,9% для видимого света.
На рисунке 8 схематично показаны световые волны, отражающиеся от и / или проходящие через линзовый элемент, покрытый двумя просветляющими слоями. Падающая волна падает на первый слой (слой A, на фиг. 8) под углом, в результате чего часть света отражается ( R (0) ), а часть проходит через первый слой.При встрече со вторым просветляющим слоем ( Layer B ) другая часть света ( R (1) ) отражается под тем же углом и мешает свету, отраженному от первого слоя. Некоторые из оставшихся световых волн продолжаются до поверхности стекла, где они снова частично отражаются и частично проходят. Свет, который отражается от поверхности стекла ( R (2) ), мешает (как конструктивно, так и разрушительно) свету, отраженному от антиотражающих слоев.Показатели преломления антиотражающих слоев отличаются от показателей преломления стекла и окружающей среды (воздуха) и тщательно выбираются в соответствии с составом стекла, используемого в конкретном элементе линзы, для получения желаемых углов преломления.
Когда световые волны проходят через просветляющие покрытия и поверхность стеклянной линзы, почти весь свет (в зависимости от угла падения) в конечном итоге проходит через линзу и фокусируется для формирования изображения.
Фторид магния – один из многих материалов, используемых для тонкослойных оптических просветляющих покрытий, хотя большинство производителей микроскопов и линз в настоящее время производят свои собственные патентованные составы покрытий.Общим результатом этих антиотражающих мер является резкое улучшение качества изображения в оптических устройствах из-за увеличения пропускания видимых длин волн, уменьшения бликов от нежелательных отражений и устранения помех от нежелательных длин волн, лежащих за пределами спектрального диапазона видимого света.
Отражение видимого света – это свойство поведения света, которое является фундаментальным для функционирования всех современных микроскопов. Свет часто отражается одним или несколькими плоскими (или плоскими) зеркалами внутри микроскопа, чтобы направить световой путь через линзы, которые формируют виртуальные изображения, которые мы видим в окулярах (окулярах).
В микроскопах также используются светоделители, позволяющие отражать часть света, одновременно передавая часть света в разные части оптической системы. Другие оптические компоненты микроскопа, такие как специально разработанные призмы, фильтры и покрытия линз, также выполняют свои функции по формированию изображения с решающей опорой на явление отражения света.
Томас Дж. Феллерс и Майкл У.Дэвидсон – Национальная лаборатория сильных магнитных полей, 1800 г. Ист. Пол Дирак, доктор философии, Университет штата Флорида, Таллахасси, Флорида, 32310.
Мы исследуем, насколько мощным должен быть ваш лазер, чтобы его заметили на Марсе и за его пределами.
(Inside Science) – Вы когда-нибудь играли с карманным лазером, задаваясь вопросом, как далеко улетит его свет? Могли бы вы, непослушный ученик в классе на Земле, досадить бедному учителю на Марсе, помахав ему лазерной указкой?
Для всех расчетов, сделанных в этой статье, достаточно трех достаточно простых уравнений.
Во-первых, если мы предположим, что лазер оптимизирован так, что его угол распространения находится на теоретическом минимуме, то мы можем рассчитать расходимость его луча (в радианах) с помощью этого уравнения.
(Длина волны лазера) / (π × Апертура лазера)
Затем немного геометрии даст нам размер окончательного освещенного пятна в пункте назначения.
π × (Расходимость луча в радианах × расстояние) 2
Наконец, яркость в точке назначения определяется путем деления выходной мощности лазера на площадь пятна.
(Мощность лазера) / (Размер пятна)
Если вы не ошиблись в расчетах и сохранили все в радианах, ваттах и метрах, окончательное число должно быть в ваттах на квадратный метр.
Самый тусклый свет, видимый невооруженным глазом в полной темноте, составляет примерно одну десятимиллиардную ватт на квадратный метр. Однако при наличии городского светового загрязнения обычно не видно звезд, которые намного тусклее, чем Полярная звезда, интенсивность которой составляет около четырех миллиардных долей ватта на квадратный метр.
Для сравнения: полная луна почти в миллион раз ярче, составляя одну тысячную ватта на квадратный метр. Наконец, полуденное солнце имеет колоссальную мощность в 1000 ватт на квадратный метр, что примерно в полмиллиона раз ярче, чем луна.
В этой статье мы будем использовать эти числа как ссылки.
Краткий ответ: нет. К тому времени, когда свет наконец достигнет Марса, отблеск будет в миллион раз тусклее, чем самый слабый свет, видимый человеческим глазом.
Но вам не нужно верить нам на слово.Математика, необходимая для вычисления ответа, на удивление проста.
Частично вдохновленный докладом на недавнем астрономическом собрании, в котором выяснялось, можем ли мы обнаруживать фотоны от потенциальных инопланетян, обитающих на экзопланетах, Inside Science выполнила некоторые из наших собственных расчетов, чтобы выяснить, может ли гипотетический инопланетянин Галилей наблюдать фотоны, исходящие с Земли.
Все, что нам нужно, – это уравнение для расчета скорости распространения лазерного луча в пространстве.
Исходя из этого, мы можем использовать простую геометрию для определения диаметра луча, когда он попадает в цель.Наконец, мы делим выходную мощность лазера на площадь последнего освещенного пятна и вуаля! – вот насколько интенсивен лазер в пункте назначения. Хотя то, как люди или инопланетяне воспринимают яркость этого света, гораздо менее прямолинейно, для целей этого упражнения мы рассматриваем яркость и интенсивность света как одно и то же.
Средняя мощность лазерной указки составляет жалкие 0,005 Вт. Однако из-за узкого пути лазерного луча, если вы направите его прямо в глаз с расстояния вытянутой руки, маленькая освещенная точка на вашем глазном яблоке будет в 30 раз ярче, чем полуденное солнце.Так что не делайте этого дома или где-нибудь еще.
Тем не менее, узкий луч будет распространяться на большие расстояния. На расстоянии около 100 метров от красной лазерной указки его луч примерно в 100 раз шире и выглядит ярким, как 100-ваттная лампочка с расстояния 3 фута.
Если смотреть с самолета на высоте 40 000 футов (при условии отсутствия облаков или смога), указатель будет ярким, как четверть луны. С Международной космической станции он исчезнет примерно до такой же яркости, как самая яркая звезда в ночном небе – Сириус.
Для Стармена, манекена, управляющего автомобилем Тесла, который компания Илона Маска Space X недавно запустила в космос, ваша маленькая красная лазерная указка будет слишком тусклой, чтобы ее можно было заметить. Если вы хотите привлечь его внимание, вам понадобится что-то более яркое.
Ракетоносец ВМФ У ВМС США есть то, что нам нужно. Согласно недавним сообщениям, их текущая цель – разработать лазер, который был бы достаточно мощным с точки зрения логистики и мог бы уничтожить приближающиеся крылатые ракеты.Такой лазер должен выдавать около 500 000 ватт мощности – в 100 миллионов раз мощнее, чем ваша карманная лазерная указка. Эти лазеры обычно работают в инфракрасном спектре, невидимом для человека.
Но ради этого упражнения мы предположим, что и Звездный человек, и марсиане могут видеть в инфракрасном диапазоне.
Лазеры оружейного качества также имеют гораздо большее отверстие или апертуру, что, как ни странно, приводит к меньшему распространению лазерного луча, тем самым повышая способность луча сохранять свою интенсивность на больших расстояниях.
Из-за большей апертуры, если луч лазера-истребителя ракет направлен на Луну, инфракрасное пятно, которое он оставит на поверхности, будет всего около 1,5 мили в поперечнике. Для сравнения: невероятно тусклая красная точка от вашей карманной лазерной указки будет иметь ширину 8 миль, когда достигнет Луны.
Если бы вы могли видеть в инфракрасном диапазоне и стоять на Луне под лучом военного лазера, она выглядела бы примерно в 30 раз ярче, чем вся Земля. Это довольно ярко, но не ослепляюще.Его яркость по-прежнему составляет всего одну тысячную яркости полуденного солнца на Земле.
К тому времени, когда луч достигнет марсиан – если мы предположим кратчайшее возможное расстояние между Землей и красной планетой, которое составляет около 34 миллионов миль, – прожектор будет около 200 миль в поперечнике. Его свет должен быть заметен – примерно вдвое ярче, чем самая яркая звезда в небе без солнца, – но не совсем привлекает внимание.
Похоже, нам нужно больше энергии.
Самый мощный лазер из когда-либо созданныхВ нескольких научных центрах по всему миру есть огромные лазеры мощностью более тысячи триллионов ватт.Другими словами, мощность этих лазеров равна мощности миллиона триллионов карманных лазерных указок – это почти миллиард лазерных указок на каждого человека на планете!
При непрерывной работе эти лазеры израсходовали бы всю мировую электроэнергию за секунды. К счастью, единственная причина, по которой эти лазеры могут излучать такую интенсивную мощность, заключается в том, что они концентрируют излучение в течение чрезвычайно короткого периода времени – обычно менее одной триллионной секунды. Затем чрезвычайно короткий лазерный импульс фокусируется до точки в несколько тысячных миллиметра в поперечнике и может быть в 10 триллионов триллионов раз ярче, чем поверхность нашего Солнца.Это настолько мощно, что ученые используют их, чтобы разорвать само пустое пространство в стремлении узнать больше о фундаментальных законах нашей Вселенной.
Что, если мы просто хотим использовать это для развлечения и стрелять в космических захватчиков? Одним из основных недостатков является то, что эти лазеры обычно излучают ультрафиолетовый свет, который в основном поглощается атмосферой Земли. Если мы не хотим превращать воздух в плазму, нам придется вместо этого построить в космосе нашу суперлазерную пушку размером с здание.
В течение чрезвычайно короткого времени, которое мы могли позволить себе запустить лазер на Марс, он излучал ультрафиолетовый свет в тысячу раз интенсивнее, чем полуденное солнце на Земле, на площадь в 150 миль в поперечнике.Будем надеяться, что у марсиан есть под рукой солнцезащитный крем с солнцезащитным фактором SPF-1000.
К сожалению, как мы уже знаем, на Марсе или, скорее всего, где-либо еще в нашей солнечной системе нет маленьких зеленых человечков. Однако есть тысячи обнаруженных экзопланет – планет, вращающихся вокруг звезд за пределами нашей солнечной системы, – многие из которых могут содержать жизнь. Что, если мы попытаемся привлечь их внимание?
Проксима Центавра, расположенная примерно в четырех световых годах от нас, является ближайшей к нам звездой и вращается вокруг нескольких экзопланет.Если бы мы направили туда наш самый мощный лазер, к тому времени, как свет достигнет его, он будет казаться ярче, чем самая яркая звезда выглядит для нас на чистом ночном небе. Итак, через четыре года после того, как мы запустили наш лазер, если какой-нибудь инопланетный астроном смотрит в нужное место на своем ночном небе, он может заметить наносекундную вспышку ультрафиолетового света и спросить: «Что это было?»
Юэнь хотел бы поблагодарить Эрика Корпела, астронома из исследовательского центра SETI в Беркли, за содержательный разговор, который привел к этому упражнению.Эта статья частично навеяна презентацией Барри Уэлша, астронома из Калифорнийского университета в Беркли, во время 231-го заседания Американского астрономического общества, а также этой записью в блоге журнала «Что если?» пользователя Randall Munroe.
Примечание редактора: эта статья была обновлена, чтобы исправить предыдущую неточность в отношении расстояния между Проксимой Центавра и Землей. Мы сожалеем об ошибке.
% PDF-1.5 % 1 0 объект > эндобдж 4 0 obj (Вступление) эндобдж 5 0 obj > эндобдж 8 0 объект (Основные понятия механики) эндобдж 9 0 объект > эндобдж 12 0 объект (Что такое сила?) эндобдж 13 0 объект > эндобдж 16 0 объект (Что такое стресс?) эндобдж 17 0 объект > эндобдж 20 0 объект (Что такое смещение?) эндобдж 21 0 объект > эндобдж 24 0 объект (Что такое напряжение?) эндобдж 25 0 объект > эндобдж 28 0 объект (Основные уравнения механики) эндобдж 29 0 объект > эндобдж 32 0 объект (Уравнения равновесия) эндобдж 33 0 объект > эндобдж 36 0 объект (Соотношение деформация-смещение) эндобдж 37 0 объект > эндобдж 40 0 объект (Уравнение совместимости) эндобдж 41 0 объект > эндобдж 44 0 объект (Учредительное отношение) эндобдж 45 0 объект > эндобдж 48 0 объект (Классификация отклика материалов) эндобдж 49 0 объект > эндобдж 52 0 объект (Недиссипативный ответ) эндобдж 53 0 объект > эндобдж 56 0 объект (Диссипативный ответ) эндобдж 57 0 объект > эндобдж 60 0 объект (Решение краевых задач) эндобдж 61 0 объект > эндобдж 64 0 объект (Метод смещения) эндобдж 65 0 объект > эндобдж 68 0 объект (Стресс-метод) эндобдж 69 0 объект > эндобдж 72 0 объект (Полуобратный метод) эндобдж 73 0 объект > эндобдж 76 0 объект (Резюме) эндобдж 77 0 объект > эндобдж 80 0 объект (Предварительные математические задания) эндобдж 81 0 объект > эндобдж 84 0 объект (Обзор) эндобдж 85 0 объект > эндобдж 88 0 объект (Алгебра векторов) эндобдж 89 0 объект > эндобдж 92 0 объект (Алгебра тензоров второго порядка) эндобдж 93 0 объект > эндобдж 96 0 объект (Ортогональный тензор) эндобдж 97 0 объект > эндобдж 100 0 объект (Симметричные и косые тензоры) эндобдж 101 0 объект > эндобдж 104 0 объект (Тензор проекции) эндобдж 105 0 объект > эндобдж 108 0 объект (Сферические и девиаторные тензоры) эндобдж 109 0 объект > эндобдж 112 0 объект (Теорема полярного разложения) эндобдж 113 0 объект > эндобдж 116 0 объект (Алгебра тензоров четвертого порядка) эндобдж 117 0 объект > эндобдж 120 0 объект (Альтернативное представление для тензоров) эндобдж 121 0 объект > эндобдж 124 0 объект (Собственные значения, собственные векторы тензоров) эндобдж 125 0 объект > эндобдж 128 0 объект (Теорема о квадратном корне) эндобдж 129 0 объект > эндобдж 132 0 объект (Законы преобразования) эндобдж 133 0 объект > эндобдж 136 0 объект (Закон векторного преобразования) эндобдж 137 0 объект > эндобдж 140 0 объект (Закон тензорного преобразования) эндобдж 141 0 объект > эндобдж 144 0 объект (Изотропные тензоры) эндобдж 145 0 объект > эндобдж 148 0 объект (Скалярные, векторные, тензорные функции) эндобдж 149 0 объект > эндобдж 152 0 объект (Градиенты и связанные операторы) эндобдж 153 0 объект > эндобдж 156 0 объект (Интегральные теоремы) эндобдж 157 0 объект > эндобдж 160 0 объект (Теорема о расходимости) эндобдж 161 0 объект > эндобдж 164 0 объект (Теорема Стокса) эндобдж 165 0 объект > эндобдж 168 0 объект (Теорема Грина) эндобдж 169 0 объект > эндобдж 172 0 объект (Резюме) эндобдж 173 0 объект > эндобдж 176 0 объект (Самооценка) эндобдж 177 0 объект > эндобдж 180 0 объект (Кинематика) эндобдж 181 0 объект > эндобдж 184 0 объект (Обзор) эндобдж 185 0 объект > эндобдж 188 0 объект (Тело) эндобдж 189 0 объект > эндобдж 192 0 объект (Градиент деформации) эндобдж 193 0 объект > эндобдж 196 0 объект (Лагранжево и эйлерово описание) эндобдж 197 0 объект > эндобдж 200 0 объект (Смещение, скорость и ускорение) эндобдж 201 0 объект > эндобдж 204 0 объект (Градиент смещения) эндобдж 205 0 объект > эндобдж 208 0 объект (Пример) эндобдж 209 0 объект > эндобдж 212 0 объект (Преобразование кривых, поверхностей и объема) эндобдж 213 0 объект > эндобдж 216 0 объект (Преобразование кривых) эндобдж 217 0 объект > эндобдж 220 0 объект (Преобразование площадей) эндобдж 221 0 объект > эндобдж 224 0 объект (Преобразование объемов) эндобдж 225 0 объект > эндобдж 228 0 объект (Свойства тензоров деформации) эндобдж 229 0 объект > эндобдж 232 0 объект (Тензоры деформации) эндобдж 233 0 объект > эндобдж 236 0 объект (Нормальная деформация и деформация сдвига) эндобдж 237 0 объект > эндобдж 240 0 объект (Нормальное напряжение) эндобдж 241 0 объект > эндобдж 244 0 объект (Основной штамм) эндобдж 245 0 объект > эндобдж 248 0 объект (Деформация сдвига) эндобдж 249 0 объект > эндобдж 252 0 объект (Преобразование линеаризованного тензора деформации) эндобдж 253 0 объект > эндобдж 256 0 объект (Однородные движения) эндобдж 257 0 объект > эндобдж 260 0 объект (Движение твердого тела) эндобдж 261 0 объект > эндобдж 264 0 объект (Одноосное или равно-двухосное движение) эндобдж 265 0 объект > эндобдж 268 0 объект (Изохорические движения) эндобдж 269 0 объект > эндобдж 272 0 объект (Условие совместимости) эндобдж 273 0 объект > эндобдж 276 0 объект (Резюме) эндобдж 277 0 объект > эндобдж 280 0 объект (Самооценка) эндобдж 281 0 объект > эндобдж 284 0 объект (Тяга и стресс) эндобдж 285 0 объект > эндобдж 288 0 объект (Обзор) эндобдж 289 0 объект > эндобдж 292 0 объект (Векторы тяги и тензоры напряжений) эндобдж 293 0 объект > эндобдж 296 0 объект (Теорема Коши о напряжениях) эндобдж 297 0 объект > эндобдж 300 0 объект (Компоненты напряжения Коши) эндобдж 301 0 объект > эндобдж 304 0 объект (Нормальные и касательные напряжения) эндобдж 305 0 объект > эндобдж 308 0 объект (Основные напряжения и направления) эндобдж 309 0 объект > эндобдж 312 0 объект (Максимальное и минимальное нормальное тяговое усилие) эндобдж 313 0 объект > эндобдж 316 0 объект (Максимальное и минимальное тяговое усилие на сдвиг) эндобдж 317 0 объект > эндобдж 320 0 объект (Напряжения на октаэдрической плоскости) эндобдж 321 0 объект > эндобдж 324 0 объект (Примеры стрессового состояния) эндобдж 325 0 объект > эндобдж 328 0 объект (Другие меры стресса) эндобдж 329 0 объект > эндобдж 332 0 объект (Тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа) эндобдж 333 0 объект > эндобдж 336 0 объект (Меры стресса Кирхгофа, Био и Манделя) эндобдж 337 0 объект > эндобдж 340 0 объект (Резюме) эндобдж 341 0 объект > эндобдж 344 0 объект (Самооценка) эндобдж 345 0 объект > эндобдж 348 0 объект (Законы баланса) эндобдж 349 0 объект > эндобдж 352 0 объект (Обзор) эндобдж 353 0 объект > эндобдж 356 0 объект (Система) эндобдж 357 0 объект > эндобдж 360 0 объект (Сохранение массы) эндобдж 361 0 объект > эндобдж 364 0 объект (Сохранение импульса) эндобдж 365 0 объект > эндобдж 368 0 объект (Сохранение количества движения) эндобдж 369 0 объект > эндобдж 372 0 объект (Сохранение момента количества движения) эндобдж 373 0 объект > эндобдж 376 0 объект (Резюме) эндобдж 377 0 объект > эндобдж 380 0 объект (Самооценка) эндобдж 381 0 объект > эндобдж 384 0 объект (Учредительные отношения) эндобдж 385 0 объект > эндобдж 388 0 объект (Обзор) эндобдж 389 0 объект > эндобдж 392 0 объект (Определение упругого процесса) эндобдж 393 0 объект > эндобдж 396 0 объект (Ограничения на определяющее отношение) эндобдж 397 0 объект > эндобдж 400 0 объект (Ограничения из-за объективности) эндобдж 401 0 объект > эндобдж 404 0 объект (Ограничения из-за симметрии материала) эндобдж 405 0 объект > эндобдж 408 0 объект (Изотропный закон Гука) эндобдж 409 0 объект > эндобдж 412 0 объект (Параметры материала) эндобдж 413 0 объект > эндобдж 416 0 объект (Модуль Юнга и коэффициент Пуассона) эндобдж 417 0 объект > эндобдж 420 0 объект (Модуль сдвига) эндобдж 421 0 объект > эндобдж 424 0 объект (Объемный модуль) эндобдж 425 0 объект > эндобдж 428 0 объект (Ограничение по параметрам материала) эндобдж 429 0 объект > эндобдж 432 0 объект (Материалы с внутренними ограничениями) эндобдж 433 0 объект > эндобдж 436 0 объект (Несжимаемые материалы) эндобдж 437 0 объект > эндобдж 440 0 объект (Ортотропный закон Гука) эндобдж 441 0 объект > эндобдж 444 0 объект (Резюме) эндобдж 445 0 объект > эндобдж 448 0 объект (Самооценка) эндобдж 449 0 объект > эндобдж 452 0 объект (Краевая задача: формулировка) эндобдж 453 0 объект > эндобдж 456 0 объект (Обзор) эндобдж 457 0 объект > эндобдж 460 0 объект (Постановка краевой задачи) эндобдж 461 0 объект > эндобдж 464 0 объект (Методы решения краевых задач) эндобдж 465 0 объект > эндобдж 468 0 объект (Метод смещения) эндобдж 469 0 объект > эндобдж 472 0 объект (Стресс-метод) эндобдж 473 0 объект > эндобдж 476 0 объект (Наглядный пример) эндобдж 477 0 объект > эндобдж 480 0 объект (Надувание кольцевого цилиндра) эндобдж 481 0 объект > эндобдж 484 0 объект (Одноосное растягивающее нагружение пластины с отверстием) эндобдж 485 0 объект > эндобдж 488 0 объект (Общие результаты) эндобдж 489 0 объект > эндобдж 492 0 объект (Уникальность решения) эндобдж 493 0 объект > эндобдж 496 0 объект (Принцип суперпозиции) эндобдж 497 0 объект > эндобдж 500 0 объект (Резюме) эндобдж 501 0 объект > эндобдж 504 0 объект (Самооценка) эндобдж 505 0 объект > эндобдж 508 0 объект (Изгиб призматических прямых лучей) эндобдж 509 0 объект > эндобдж 512 0 объект (Обзор) эндобдж 513 0 объект > эндобдж 516 0 объект (Симметричный изгиб) эндобдж 517 0 объект > эндобдж 520 0 объект (Решение прочности материалов) эндобдж 521 0 объект > эндобдж 524 0 объект (2D решение эластичности) эндобдж 525 0 объект > эндобдж 528 0 объект (Асимметричный изгиб) эндобдж 529 0 объект > эндобдж 532 0 объект (Центр сдвига) эндобдж 533 0 объект > эндобдж 536 0 объект (Наглядные примеры) эндобдж 537 0 объект > эндобдж 540 0 объект (Резюме) эндобдж 541 0 объект > эндобдж 544 0 объект (Самооценка) эндобдж 545 0 объект > эндобдж 548 0 объект (Конец кручения призматических стержней) эндобдж 549 0 объект > эндобдж 552 0 объект (Обзор) эндобдж 553 0 объект > эндобдж 556 0 объект (Скрутка толстостенного закрытого профиля) эндобдж 557 0 объект > эндобдж 560 0 объект (Круглая полоса) эндобдж 561 0 объект > эндобдж 564 0 объект (Скручивание сплошного открытого участка) эндобдж 565 0 объект > эндобдж 568 0 объект (Сплошное эллиптическое сечение) эндобдж 569 0 объект > эндобдж 572 0 объект (Сплошное прямоугольное сечение) эндобдж 573 0 объект > эндобдж 576 0 объект (Тонкий прокат) эндобдж 577 0 объект > эндобдж 580 0 объект (Треугольное сечение) эндобдж 581 0 объект > эндобдж 584 0 объект (Скручивание полого профиля) эндобдж 585 0 объект > эндобдж 588 0 объект (Полое эллиптическое сечение) эндобдж 589 0 объект > эндобдж 592 0 объект (Тонкостенные трубы) эндобдж 593 0 объект > эндобдж 596 0 объект (Резюме) эндобдж 597 0 объект > эндобдж 600 0 объект (Самооценка) эндобдж 601 0 объект > эндобдж 604 0 объект (Гибка криволинейных балок) эндобдж 605 0 объект > эндобдж 608 0 объект (Обзор) эндобдж 609 0 объект > эндобдж 612 0 объект (Формула Винклера-Баха для изогнутых балок) эндобдж 613 0 объект > эндобдж 616 0 объект (2D решение для упругости изогнутых балок) эндобдж 617 0 объект > эндобдж 620 0 объект (Чистый изгиб) эндобдж 621 0 объект > эндобдж 624 0 объект (Изогнутая консольная балка при торцевой нагрузке) эндобдж 625 0 объект > эндобдж 628 0 объект (Резюме) эндобдж 629 0 объект > эндобдж 632 0 объект (Самооценка) эндобдж 633 0 объект > эндобдж 636 0 объект (Балка на упругом основании) эндобдж 637 0 объект > эндобдж 640 0 объект (Обзор) эндобдж 641 0 объект > эндобдж 644 0 объект (Общая формулировка) эндобдж 645 0 объект > эндобдж 648 0 объект (Пример 1: Точечная нагрузка) эндобдж 649 0 объект > эндобдж 652 0 объект (Пример 2: сосредоточенный момент) эндобдж 653 0 объект > эндобдж 656 0 объект (Пример 3: равномерно распределенная нагрузка) эндобдж 657 0 объект > эндобдж 660 0 объект (Резюме) эндобдж 661 0 объект > эндобдж 664 0 объект (Самооценка) эндобдж 665 0 объект > эндобдж 668 0 объект> ручей Икс- 0E ~! $ MFNIBZiA * TP; s) 6i4zOm @! & = Q [‘n (Y2) -sglWZScn ޱ- IR + 6lHK!; VOk { W90 конечный поток эндобдж 666 0 obj> endobj 669 0 obj> endobj 670 0 obj> endobj 667 0 объект> / ProcSet [/ PDF / Text] >> endobj 676 0 obj> ручей хз w3P04 Գ 455 RIS04637P03 (DkdfjƆxqp
A A 260 Термодинамика (4) NW
Введение в основные принципы термодинамики с макроскопической точки зрения.Упор на Первый и Второй законы и принцип государства, методология решения проблем. Предпосылка: минимальная оценка 2,0 по CHEM 140, CHEM 142, CHEM 144 или CHEM 145; минимальная оценка 2.0 по MATH 126, MATH 129 или MATH 136; минимальная оценка 2,0 по PHYS 121. Предлагается: SpS.
См. Подробности курса в MyPlan: A A 260
A A 311 Атмосферная механика полета (4)
Прикладная аэродинамика, “конверт” полета самолета, минимальные и максимальные скорости, набор высоты и характеристики планирования.Дальность и выносливость, взлетно-посадочные характеристики при использовании как реактивных, так и винтовых силовых установок. Продольная и динамическая устойчивость и управляемость, обратный поток крыла, эффективность стабилизатора и руля высоты, силовые эффекты. Поперечная и путевая устойчивость и управляемость. Предпосылка: M E 230; и A A 260. Предлагаются: A.
См. подробности курса в MyPlan: A A 311
A A 320 Aerospace Instrumentation (3)
Практический лабораторный опыт для понимания конструкции и функций электронных схем и приборов, используемых в аэрокосмической технике.Темы включают закон Ома, законы Кирхгофа, цепи постоянного и переменного тока, пассивные и активные компоненты, операционные усилители и компараторы, датчики, преобразование сигналов, электромеханические системы и исполнительные механизмы, цифровые системы и сбор данных. Предварительное условие: PHYS 123. Предлагается: A.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 320
A A 321 Аэрокосмическая лаборатория I (3)
Разработка и проведение экспериментальных исследований в области аэронавтики и космонавтики. Лабораторные эксперименты по сверхзвуковому потоку, структурам, колебаниям, свойствам материалов и другим темам.Теория, калибровка и использование приборов, методы измерения, анализ данных, написание отчетов. Предпосылка: CEE 220; A A 310; A A 311; и A A 320 Предлагается: W.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 321
A A 322 Aerospace Laboratory II (3)
Разработка и проведение экспериментальных исследований в области аэронавтики и космонавтики. Студенческие группы предлагают, проектируют, строят и проводят лабораторные эксперименты в одной из следующих обширных тематических областей: аэродинамика, конструкции, двигательная установка или энергетика.Результаты представлены в письменном и устном отчетах. Предпосылка: минимальная оценка 1,7 по шкале A A 321. Предлагается: Sp.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 322
AA 402 Механика вязкой жидкости (3)
Введение в механику жидкости, анализ размеров, влияние силы тяжести на давление, кинематику, сохранение массы и импульса, метод контрольного объема, сохранение энергии, завихренности и вязкости, вязких эффектов, решений Навье-Стокса и пограничных слоев. Предпосылка: MATH 324; А А 301.Предлагается: A.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 402
A A 420 Проектирование космических аппаратов и космических систем I (4-)
Проектирование космических систем и космических аппаратов для сложных околоземных и межпланетных миссий. Астродинамика, космическая среда, космическая системотехника. Проектирование и анализ миссии, двигательная установка космического корабля, механика полета, вход в атмосферу, аэродинамическое торможение, конфигурация, структурный дизайн, энергетические системы. тепловое управление, системная интеграция. Устные презентации и написание отчетов.Темы дизайна различаются. Предпосылка: A A 322; A A 332; A A 447; и A A 460 Предлагается: W.
См. подробности курса в MyPlan: A A 420
A A 448 Датчики и приводы систем управления (3)
Обзор управления с обратной связью. Исследование компонентов систем управления и формулировка их математических моделей. Обсуждение и анализ усилителей, серводвигателей постоянного тока, магнитных приводов, акселерометров, потенциометров, датчиков положения вала и резольверов, датчиков приближения и датчиков силы.Экспериментальное определение компонентных моделей и параметров моделей. Включает в себя практический лабораторный компонент. Предварительное условие: A A 447. Предлагается: A.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 448
A A 461 Пневматический движитель (3)
Изучение методологии проектирования газотурбинных двигателей. Охватывает аэродинамику или газовую динамику компонентов двигателя, дышащих воздухом: воздухозаборников, компрессоров, турбин и сопел. Изучение проектных и внепроектных характеристик газотурбинных двигателей. Включает в себя сгорание, выбросы, шум и усовершенствованные двигательные установки для дыхания воздухом.Предварительное условие: A A 460. Предлагается: W.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 461
A A 462 Ракетная силовая установка (3)
Охватывает физические и рабочие характеристики химических ракетных двигательных систем. Включает уравнения ракет, соотношения масс, ступени, летные характеристики, теорию и конструкцию сопел, термохимию сгорания, категории ракетного топлива, топлива, окислители, монотопливо, компоненты и материалы ракетной системы, а также принципы конструкции ракет. Предпосылка: A A 260.Предлагается: W.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 462
AA 470 Системное проектирование (4)
Концепции системного подхода, системных иерархий, функционального анализа, требований, торговых исследований и других концепций, используемых для определения и интеграции комплекса инженерные системы. Введение в анализ рисков и надежность, анализ видов отказов и последствий, написание спецификаций и бережливое производство. Предлагается: совместно с IND E 470; Sp.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 470
A A 490 Космическое право и политика (5) I&S Saadia M.Пекканен
Правовые и политические основы космической деятельности. Основные истоки, источники и роль космического права, а также ключевые институты, форумы и силы, формирующие современное управление космической деятельностью. Обеспечивает тщательное ознакомление с договорами, принципами, резолюциями, постановлениями ООН, а также международными и национальными частными законами и политикой в области космоса. Предлагается: совместно с ESS 488 / JSIS B 444.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 490
AA 506 Вихревые потоки (3)
Исследует уравнение завихренности, бароклинный момент, соленоидальность, формулу Био-Савара, диффузию завихренности, вихря Бургера, системы вихрей, неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, влияния плотности, сдвига и поверхностного натяжения на неустойчивость, закрученные потоки и другие специальные темы.Предлагаю: зр, даже лет.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 506
AA 524 Aeroacoustics (3)
Обзор фундаментальных концепций акустики, которые включают измерения звука, отражение, резонанс, пропускание, излучение, рассеяние, дифракцию, лучевую акустику, волновод, турбо – машинный шум, шумоподавление, реактивный шум, шум планера и акустические проблемы в ракетах и других силовых установках. Предлагаются: A, нечетные годы.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 524
AA 525 Advanced Airbreathing Propulsion (3)
Обзор фундаментальных концепций усовершенствованных дыхательных двигателей, включая усовершенствованные газовые турбины, прямоточные воздушно-воздушные двигатели и их варианты, детонационные двигатели, поток с выделением химической энергии, динамика ударной волны, модель Чепмена-Жуге, модель ZND, многоклеточная и вращающаяся детонация.Предлагаю: А, даже лет.
Просмотр подробностей курса в MyPlan: A A 525
A A 528 Динамика и управление космическим аппаратом (3)
Исследует динамику и управление космическим аппаратом. Включает в себя базовую орбитальную механику – ограниченную задачу трех тел, теорию Хилла, теорию возмущений, определение орбиты, кинематику и динамику твердого тела, управление ориентацией и построение космического корабля. Предпосылка: MATH 307; МАТЕМАТИКА 308. Предлагается: W, нечетные годы.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 528
AA 538 Введение в структурную оптимизацию (3)
Включает формулировку проблем инженерного проектирования в виде задач оптимизации, методы численной оптимизации на основе градиента, структурный анализ, ориентированный на проектирование, анализ чувствительности конструкции, аппроксимацию концепции и введение в междисциплинарную оптимизацию дизайна.Пререквизиты: курсовая работа по структурному анализу; конечные элементы; и компьютерное программирование; или разрешение инструктора. Предлагаются: A, нечетные годы.
Просмотреть подробности курса в MyPlan: A A 538
A A 543 Вычислительная гидродинамика сжимаемых потоков (3)
Исследует численную дискретизацию невязких сжимаемых уравнений гидродинамики; конечно-разностные методы и методы конечных объемов; интеграция по времени, итерационные методы, а также явные и неявные алгоритмы; согласованность, устойчивость, анализ ошибок и свойства численных схем, построение сеток; и приложения к численному решению модельных уравнений и двумерных уравнений Эйлера.Предлагается: W.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 543
AA 547 Теория линейных систем (4)
Линейность, линеаризация, конечная размерность, изменяющиеся во времени и неизменные во времени линейные системы, взаимосвязь линейных систем, функциональная / структурные описания линейных систем, нули и обратимость системы, устойчивость линейных систем, нормы системы, переход между состояниями, матричные экспоненты, управляемость и наблюдаемость, теория реализаций. Не может быть использован в качестве кредита, если кредит получен на сумму EE P 547.Предварительное условие: EE 510 / AA 510 / CHEM E 510 / ME 510. Предлагается: совместно с EE 547.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 547
AA 548 Linear Multivariable Control (3)
Введение в системы MIMO, последовательно сравнение дизайна с одним контуром, теорема Ляпунова об устойчивости, дизайн контроллера с полной обратной связью, дизайн наблюдателя, постановка задачи LQR, проектирование, анализ устойчивости и проектирование слежения. Конструкция LQG, принцип разделения, устойчивость и надежность. Предпосылка: A A 547 / E E 547 / M E 547.Предлагается: совместно с EE 548 / ME 548.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 548
AA 550 Нелинейное оптимальное управление (3)
Вариационное исчисление для динамических систем, определение задачи динамической оптимизации, ограничения и множители Лагранжа , принцип максимума Понтрягина, необходимые условия оптимальности, уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, особые дуговые задачи, вычислительная техника для решения необходимых условий. Предлагается: совместно с E E 550 / M E 550.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 550
A A 556 Физика космической и лабораторной плазмы (3)
Обсуждение волн, равновесия и стабильности, диффузии и удельного сопротивления, базовой кинетической теории плазмы и взаимодействия волн и частиц. Предварительное условие: ESS 415 или эквивалент или разрешение инструктора. Предлагается: совместно с ESS 576; Сп, нечетные годы.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: A A 556
A A 558 Теория плазмы (3)
Равновесие, стабильность и удержание.Классический транспорт, бесстолкновительная и резистивная глубина кожи. Изучаются формально выведенные идеальные МГД-уравнения и свойства плазмы в идеальном пределе. Прямое и тороидальное равновесие. Анализ линейной устойчивости с примерами. Принцип минимума энергии Тейлора. Предпосылка: A A 405, A A 556, A A 557, ESS 576 или GPHYS 537. Предлагается: Sp, даже годы.
Подробная информация о курсе в MyPlan: A A 558
A A 560 Диагностика плазмы (3)
Обсуждаются методы измерения плазмы, включая датчики материалов и оптические методы.Охватывает методы проведения измерений в среде с высоким электрическим шумом. Представлены методы измерения электронной и ионной температуры, плотности, примесей, магнитных полей, флуктуаций и нейтралов. Предпосылка: A 405 или эквивалент. Предлагается: W, нечетные годы.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: A A 560
A A 578 Convex Optimization (4)
Основы выпуклого анализа: выпуклые множества, функции и задачи оптимизации. Теория оптимизации: метод наименьших квадратов, линейное, квадратичное, геометрическое и полуопределенное программирование.Выпуклое моделирование. Теория двойственности. Условия оптимальности и ККТ. Приложения в обработке сигналов, статистике, машинном обучении, управляющих коммуникациях и проектировании инженерных систем. Предварительные требования: AA 510, CHEM E 510, EE 510 или ME 510. Предлагается: совместно с CSE 578 / EE 578 / ME 578.
Подробная информация о курсе в MyPlan: AA 578
AA 590 Космическое право и политика (5) Саадия М. Пекканен
Правовые и политические основы космической деятельности. Основные истоки, источники и роль космического права, а также ключевые институты, форумы и силы, формирующие современное управление космической деятельностью.Обеспечивает тщательное ознакомление с договорами, принципами, резолюциями, постановлениями ООН, а также международными и национальными частными законами и политикой в области космоса. Предлагается: совместно с ESS 584 / JSIS B 544; Sp.
Подробности курса в MyPlan: AA 590
AA 594 Robust Control (3)
Основные основы линейного анализа и теории управления, реализация и редукция модели, сбалансированная реализация и усечение, проблема стабилизации, взаимно простые факторизации, параметризация Юлы, матрица неравенства, H-бесконечность и управление h3, лемма KYP, неопределенные системы, робастный h3, интегральные квадратичные ограничения, линейный синтез с изменяющимся параметром, приложения робастного управления.Предпосылка: A A 547 / E E 547 / M E 547.
Вычислить:
Раскрыть скобки:
Вычислить:
Раскрыть скобки:
Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С.Якир /М.: Вентана-Граф, 2012
Арифметические действия»
Прямая. Луч»
Первичное закрепление изученного материала
Домашнее задание, 
но многое не понятно.
Запишите результаты измерений.