Дети прощаются с куклой Олей.

Конспект занятия по математике во 2 младшей группе «Путешествие в страну Математики»

Конспект занятия по математике во 2 младшей группе «Путешествие в страну Математики»

Подготовила: Мелконян Нелли Генриковна

Цель: формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста в совместной игровой деятельности.

Задачи:

• закреплять умение ориентироваться в пространстве
• продолжать закреплять счет до 5 и обратно
• различать и называть геометрические фигуры
• развивать воображение, речь, память, логическое мышление, мелкую моторику рук
• воспитывать эмоциональную отзывчивость, желание помогать своим сверстникам.

Оборудование:

• 3 корзины с фигурами (круг, квадрат, треугольник);
• морковки из картона 5 штук;
• фигуры для домика (квадрат, треугольник, круг) на каждого ребенка;
• игрушка зайчика;
• раскраска на каждого ребенка.

Ход занятия

Раздается стук в дверь, воспитатель подходит к двери, возвращается с зайцем и прячет за спиной.

Ребята я вам сейчас загадаю загадку, а вы отгадайте, кто к нам в гости пришел.

Кто любит морковку

И прыгает ловко,

Портит в огороде грядки,

Убегает без оглядки?

Воспитатель: Молодцы, конечно это зайка. Показывает игрушку. Давайте поздороваемся с нашим гостем (дети здороваются).

Воспитатель: Ребятки у зайчика случилась беда, он играл со своими друзьями и рассыпал все фигуры, а они перемешались. У него не получается собрать фигуры, просит нас помочь, поможем?

Дети: Да

Воспитатель кладет 3 корзины перед детьми и фигуры, обращает внимание детей на то, что у каждой фигуры своя корзинка.

Дети складывают фигуры в корзины

Воспитатель: зайчик благодарит вас ребята за помощь и спрашивает, а вы умеете считать? (дети отвечают). А давайте покажем ребята, как мы считаем.

Дети считают морковки, воспитатель показывает морковки, помогает при необходимости. Счет проводит до 5 и обратно.

Воспитатель: сейчас мы с вами отдохнем, и поиграем с зайчиком (проводится физкультминутка).

Физкультминутка «Зайка серенький».

Зайка серенький сидит и ушами шевелит (сидят на корточках)

Вот так, вот так он ушами шевелит (делают «ушки на макушке» и шевелят «ушками»)

Зайке холодно сидеть, надо лапочки погреть,

Вот так, вот так, надо лапочки погреть (трут ручку об ручку, хлопают себя по бокам).

Зайке холодно стоять, надо зайке поскакать

Вот так, вот так, надо зайке поскакать (скачут, поворачиваясь вокруг себя).

Зайку волк испугал, серый зайка ускакал (разбегаются по группе).

Воспитатель: зайка, не слышу, что ты говоришь (подносит игрушку к уху), а поняла, сейчас спрошу у ребят. Ребята, зайчик хочет, чтобы вы построили домики для его друзей из геометрических фигур, поможем?

Дети: да!

Воспитатель: Какие фигуры лежат перед вами? дети называют фигуры и стоят домики. Какие вы молодцы, зайчику очень нравятся ваши домики, он говорит вам спасибо. Ему пора возвращаться в лес, но он хочет вас отблагодарить за помощь и подарить вам свои фотографии (раскраска зайчик).

Дети прощаются с зайчиком, говорят спасибо. Если остается время можно предложить раскрасить портрет зайки или предложить раскрасить в свободной деятельности.

Конспект занятия в младшей группе по формированию элементарных математических представлений

Конспект занятия в младшей группе по формированию элементарных математических представлений

Подготовила

воспитатель МБДОУ д/с № 15

Дюлай А. К.

Тема: «Занятие , посвященное развитию математических способностей ребенка, которое учит ориентироваться в пространстве и на листе бумаги».

Цель: потренировать и закрепит знания ребенка о таких понятиях как “слева”, “справа”, “вверху”, “внизу”; умеет ли определять положение одних предметов относительно других .

Если при выполнении какого-либо задания ваш ребенок испытывает трудности, сделайте задание вместе с ним.

Материал и оборудование: геометрические фигуры(треугольники, квадраты, круги, полоски разного цвета, игрушки, образ ёжика, шишки и грибочка)

1. Дидактическая игра “Слева-справа” (подготовьте геометрические фигуры и героев, можете использовать своих)

Взрослый рассказывает:

– Мишка и зайчик играли в игрушки. Мишка играл кубиками, а зайчик играл с мячиками. Помогите мишке и зайке навести порядок на своих полочках, никак они не могут понять, куда правильно нужно положить игрушки. У мишки полочки слева, а у зайки справа.

Молодец, теперь у наших зверей полный порядок, а у тебя все игрушки на своих местах?

2.Дидактическая игра “В лесу” (итоговая картинка в конце текста)

Взрослый выставляет на столе или доске елочку – на середину.

– Посмотри, елочка выросла. Скажи, где выросла елочка?(спросите, с каких фигур она состоит, сколько их, посчитайте вместе)

Ответ ребенка. Если ребенок затрудняется, взрослый задает наводящие вопросы: справа, слева, вверху, на середине и т. д.

– Однажды вышел на прогулку… (выставляет ёжика, ребенок называет) и увидел елочку и решил там жить. (Взрослый выставляет ёжика под елочку).

– Где поселился ёжик?

Ответ ребенка. Если ребенок затрудняется, взрослый задает наводящие вопросы: справа, слева, вверху, на середине, пока ребенок не ответит правильно (под елочкой).

– Живет себе ёжик под елочкой и забот не знает.  Проснулся утром ёжик, умылся и решил сделать зарядку. А давай вместе с ёжиком

Проводится маленькая физкультминутка(ребенок немного отдохнет )

Грибы. (рассказывает и показывает взрослый)

Утром дети в лес пошли – (шаги с высоким подниманием ног)

И в лесу грибы нашли – (приседание)

Наклонялись, собирали – (наклоны вперед)

По дороге растеряли – (руки в стороны).

– Молодец, продолжим дальше. Сделал ёжик зарядку, и решил прогуляться вокруг елочки. А возле елочки вырос (грибок). Где вырос грибок?

Ответ ребенка.

– Поднял голову ежик и увидел (над ёлкой солнышко, где ёжик увидел солнышко?

Ответ ребенка.

– Вдруг на ёжика, что-то упало (шишка). Как ты думаешь, где могла быть шишка?

Ответ ребенка.

– Правильно, на ёлке.

Взрослый выставляет шишку на ёлку.

– Давай теперь вспомним всю историю с ёжиком.

Взрослый задает вопросы, а ребенок отвечает на них.

• Где поселился ежик?

• На каком месте вырос гриб?

• Где ежик увидел солнце?

• Где росла шишка?

3. Дидактическая игра “Вправо или влево”

– Жил на свете трактор (постройте трактор из геометрических фигур, проговаривая их с ребенком и закрепляя название цветов, можете придумать свой вариант).

– И вот трактор заблудился и не знал, где право, а где лево. Помоги трактору направляться в правильном направлении, сначала вправо, а затем направь его влево и он узнает дорогу домой.

Похвалите ребенка за его старания, если были какие то трудности в заданиях, повторите их через какое-то время для закрепления и ваш малыш будет справляться на отлично.

Описание курсов | Кафедра математики

Роль математики в общем учебном плане

Математика является фундаментальной частью человеческого мышления и логики и неотъемлемой частью попыток понять мир и самих себя. Математика обеспечивает эффективный способ построения умственной дисциплины и поощряет логическое мышление и строгость ума. Кроме того, математические знания играют решающую роль в понимании содержания других школьных предметов, таких как естествознание, обществознание и даже музыка и искусство.

Целью данного TSG является изучение роли математики в общем учебном плане. Из-за широкого круга возможных вопросов, которые могут быть рассмотрены в этой TSG, мы планируем организовать документы и сопутствующие обсуждения по трем ключевым направлениям.

Во-первых, зададимся вопросом: почему математика занимает такое важное и уникальное место среди других предметов? То есть, каково значение математики в общей школьной программе? В качестве отправной точки мы предлагаем несколько соображений о том, почему математику следует рассматривать как важный предмет в общей учебной программе.

– Математика имеет сквозную природу. Если задуматься об истории школьной программы в целом, то математика (геометрия и алгебра) была двумя из семи гуманитарных наук как в греческом, так и в средние века. Эта историческая роль поддерживает представление о том, что математика обеспечила умственную дисциплину, необходимую для других дисциплин.

– Математическая грамотность является важнейшим атрибутом людей, ведущих более эффективную жизнь как конструктивные, заинтересованные и мыслящие граждане. Под математической грамотностью понимаются базовые вычислительные навыки, количественные рассуждения, пространственные способности и т. д.

– Математика применяется в различных областях и дисциплинах, т. е. математические понятия и процедуры используются для решения задач в науке, технике, экономике.(Например, понимание комплексных чисел является необходимым условием для изучения многих концепций электроники.) Сложность этих задач часто требует относительно сложных математических концепций и процедур по сравнению с вышеупомянутой математической грамотностью.

– Математика является частью нашего культурного наследия, и мы обязаны развивать это наследие.

Во-вторых, поскольку математика дает базовые знания и навыки для других школьных предметов, таких как естествознание, искусство, экономика и т. д., вопрос о том, как математика переплетается с другими школьными предметами, заслуживает внимания. В некоторых учебных планах математика предлагается отдельно для поддержки изучения других школьных предметов в качестве «инструментального предмета», а в других учебных планах предлагаются интегрированные курсы, сочетающие математику и другие области.

В-третьих, мы можем рассмотреть количество часов (доля часов) и/или курсов, отведенных на математику, по сравнению с другими школьными предметами в учебной программе каждой страны.В дополнение к этому количественному анализу необходимо также собрать информацию о качественном описании школьной математики по отношению к другим предметам. Хотя это сравнение не покажет нам всей картины того, почему разные страны придают такое значение математике, оно, тем не менее, может спровоцировать дальнейшее обсуждение.

Курсы бакалавриата — UCLA Mathematics

Описание курса

(То же, что и C&S Bio M32. ) Лекция, три часа; обсуждение, один час. Реквизит: Науки о жизни 30A, Науки о жизни 30B. Недоступно для студентов с баллами 31A, 31B, 32A или 32B. Предназначен для студентов, изучающих науки о жизни, которые прошли курс Life Science 30B. Методы и результаты одно- и многомерного исчисления необходимы для количественного обучения биологии. Пределы, дифференцирование (с одной и несколькими переменными), оптимизация, интегрирование и методы интегрирования, полиномы Тейлора и приложения к аппроксимации, ряды Тейлора и другие степенные ряды, вектор-функции, градиенты и множители Лагранжа.P/NP или буквенная градация.

Цели курса

Этот курс развивает принципы и расчеты исчисления, чтобы студенты, изучающие науки о жизни, которые завершили две четверти курса «Математика для ученых-биологов» (Науки о жизни 30A и Науки о жизни 30B), могли продолжить, по мере необходимости, с математикой 33A (линейная алгебра, математика 33B (дифференциальные уравнения) или более поздними курсами старшего уровня. Помимо охвата основных тем одномерного и многомерного исчисления, он направлен на развитие традиционных навыков работы с бумагой и карандашом.Конкретные цели включают: вычисление пределов функций, вычисление производных, использование производных в одной и нескольких переменных для решения (условных) задач оптимизации, а также вычисление и использование определенных и неопределенных интегралов.

Учебник

Нойхаузер, Клаудия и Роупер, Маркус. Расчет для биологии и медицины . 4 ^Th Ed., Pearson, 2018.

Обновление наброски: W. Conley 10/20

Общий курс Наброски / График Лекции

Оценки:

Схема 1:

Обсуждение: 5%

Домашнее задание: 15%

Midterm 1: 20%

Midterm 2: 20%

Финальный экзамен на 40%

Схема 2:

Обсуждение:                              5 %

Домашнее задание:                             15 %

Макс.промежуточных семестров 1 и 2:          30 %

Выпускной экзамен                                50 %

Основные компетенции

Учащиеся овладеют многовариантными письменными и карандашными вычислениями, способными решать задачи с одним типом с соблюдением традиционных задач. Они смогут распознавать, формулировать и использовать ключевые теоремы исчисления с одной и несколькими переменными.

Результаты обучения:

Тестируемые результаты включают:

• вычисление явных пределов и производных функций в одной и нескольких переменных для решения задач (с ограничениями) оптимизации
• вычисление и использование определенных и неопределенных интегралов
• вычисление ряда Тейлора и решение задач аппроксимации с использованием полиномов Тейлора
• , вычисление касательных линий и касательных плоскостей

(Поставленные задачи могут включать рациональные, тригонометрические, экспоненциальные и логарифмические функции в любом из вышеперечисленных. )

В.И. Арнольд, Об обучении математике

В.И. Арнольд

Математика является частью физики. Физика — экспериментальная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, где эксперименты обходятся дешево.

Тождество Якоби (которое заставляет высоты треугольника пересекаться на одной точка) является экспериментальным фактом, таким же, как то, что Земля круглая. (то есть гомеоморфны шару).Но его можно обнаружить с меньшими затратами. расход.

В середине ХХ века была предпринята попытка разделить физику и математика. Последствия оказались катастрофическими. Целые поколения математиков выросли, не зная и половины своей науки и, конечно же, при полном незнании каких-либо других наук. Сначала они начали преподавать свою уродливую схоластическую псевдоматематику своим ученикам, школьников (забывая предупреждение Харди о том, что у уродливой математики нет постоянное место под солнцем).

Поскольку схоластическая математика, оторванная от физики, не годится ни ни для обучения, ни для применения в какой-либо другой науке, в результате всеобщая ненависть к математикам – как со стороны бедняков школьники (некоторые из которых тем временем стали министрами) и пользователей.

Уродливое здание, построенное малообразованными математиками которые были измучены их комплекса неполноценности и не сумевших свыкнуться с физике, напоминает строгую аксиоматическую теорию нечетных чисел.Очевидно, что создать такую ​​теорию и заставить школьников восхищаться можно. совершенство и внутреннюю согласованность получаемой структуры (в которой, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа факторов определены). С этой сектантской точки зрения даже цифры могли быть либо объявлены ересью, либо со временем введено в теорию дополнены несколькими «идеальными» объектами (чтобы соблюсти потребности физики и реального мира).

К сожалению, это была уродливая извращенная конструкция математики, подобная тот, который преобладал в преподавании математики на протяжении десятилетий. Возникнув во Франции, это извращение быстро распространилось на преподавание основ математика, сначала студентам университетов, затем школьникам всех линий (сначала во Франции, затем в других странах, в том числе и в России).

На вопрос “что такое 2+3″ француз ученик начальных классов ответил: «3+2, так как сложение коммутативно”.Он не знал, что такое сумма была равна и даже не мог понять о чем его спрашивают!

Другой французский ученик (вполне рациональный, на мой взгляд) определял математику как следует: «есть квадрат, но это еще нужно доказать».

Судя по моему преподавательскому опыту во Франции, представление студентов университета о математике (даже из тех, кто преподавал математику в École Normale Supérieure – мне больше всего жалко этих явно интеллигентных но уродливые дети) так же беден, как и у этого ученика.

Например, эти студенты никогда не видели параболоид и вопрос о форма поверхности, заданная уравнением xy = z ² , ставит математиков, обучающихся в ENS, в ступор. Рисование кривой, заданной параметрические уравнения (типа x = t ³ – 3t, y = t ⁴ – 2т ² ) на самолете есть совершенно неразрешимая задача для студентов (а, может быть, и для большинство французских профессоров математики).

Начиная с первого учебника л’Опиталя по математическому анализу («Исчисление для понимание кривых линий») и примерно до учебника Гурса, способность решать такие задачи считалась (наряду с знание таблицы умножения) необходимая часть ремесла каждого математик.

Умственно отсталые ревнители «абстрактной математики» бросили все геометрия (через которую связь с физикой и реальностью чаще всего имеет место в математике) вне преподавания. Учебники по математическому анализу Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выброшены на свалку. студенческая библиотека университетов Париж 6 и 7 (Жюссье) как устаревшая и, следовательно, вредные (их спасло только мое вмешательство).

Студенты ENS, прошедшие курсы по дифференциальным и алгебраическим геометрия (читается уважаемыми математиками) оказалась незнакомой ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y ² = x ³ + ax + b ни, собственно, с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об эллиптических интегралах первого рода и группе свойство эллиптической кривой, состоящее в том, что есть теорема сложения Эйлера-Абеля). Их учили только Ходжа структуры и многообразия Якоби!

Как такое могло случиться во Франции, подарившей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре, Лерэ и Том? Мне кажется разумным объяснение дал И.Г. Петровский, который учил меня в 1966 году: настоящие математики не группируются, но слабым нужны банды, чтобы выжить. Они могут объединиться на различных мотивах (это может быть сверхабстрактность, антисемитизм или “прикладные и производственные” проблемы), но суть всегда в решении социальной проблемы – выживание в условиях более грамотного окрестности.

Кстати, напомню предупреждение Л. Пастера: никогда не никаких “прикладных наук” не было и не будет, есть только приложений наук (весьма полезных!).

Я тогда с некоторым сомнением относился к словам Петровского, а теперь Я все больше и больше убеждаюсь в том, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактная деятельность сводится просто к индустриализации бессовестных захват открытий у первооткрывателей, а затем систематическое присвоение их эпигонам-генерализаторам. Аналогично тому, что Америка не носят имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются имена их первооткрывателей.

Во избежание неправильного цитирования, я должен отметить, что мои собственные достижения по какой-то неизвестной причине никогда не были экспроприированы таким образом, хотя это всегда случилось с обоими моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и мои ученики. Профессор М. Берри однажды сформулировал следующие два принципа:

Принцип Арнольда. Если понятие носит личное имя, тогда это имя не имя первооткрывателя.

Принцип Берри. Принцип Арнольда применим сам к себе.

Вернемся, однако, к преподаванию математики во Франции.

Когда я был студентом первого курса механико-математического факультета МГУ лекции по математическому анализу читал теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно пересказавший старые курс классического исчисления французского типа в версии Гурса. Он сказал нам, что интегралы рациональных функций по алгебраической кривой можно взять, если соответствующее риманово поверхность есть сфера и, вообще говоря, не может быть взята, если ее род выше, а для сферичности достаточно иметь достаточно большое количество двойных точек на кривой заданной степени (что заставляет кривую быть уникурсальным: его реальные точки можно нарисовать на проективной плоскости одним росчерком пера).

Эти факты настолько захватывают воображение, что (даже приведенные без всякого доказательства) они дают лучшее и более правильное представление о современной математике, чем целые тома трактата Бурбаки.Действительно, здесь мы узнаем о существование чудесной связи между вещами, которые кажутся полностью отличается: с одной стороны, существованием явного выражения для интегралы и топология соответствующей римановой поверхности и, с другой стороны, между число двойных точек и род соответствующей римановой поверхности, которые также проявляет себя в реальной области как универсальность.

Якоби отметил, как наиболее увлекательное свойство математики, что в ней и одна и та же функция контролирует оба представления целого число как сумму четырех квадратов и реальное движение маятника.

Эти открытия связей между разнородными математических объектов можно сравнить с открытием связи между электричество и магнетизм в физике или с открытием сходства между восточным побережьем Америки и западным побережьем Африки в геологии.

Эмоциональное значение таких открытий для обучения трудно оценить. переоценивать. Именно они учат нас искать и находить такие чудесные явления гармонии Вселенной.

Дегеометризация математического образования и отрыв от физики разорвать эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебро-геометры в целом не знают о факте Якоби упоминается здесь: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения по эллиптическая фазовая кривая в соответствующей гамильтоновой системе.

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но преподавать идеалы студентам, которые никогда не видели гипоциклоиды, нелепый как обучение сложению дробей детей, которые никогда не сокращали (по крайней мере, мысленно) торт или яблоко на равные части. Неудивительно, что дети предпочтут чтобы добавить числитель к числителю и знаменатель к знаменателю.

От моих французских друзей я слышал, что тенденция к сверхабстрактному обобщения — их традиционная национальная черта. я не совсем не согласен, что это может быть, речь идет о наследственном заболевании, но я хотел бы подчеркнуть тот факт, что я позаимствовал пример с пирогом и яблоком у Пуанкаре.

Схема построения математической теории и есть то же самое в любой другой естественной науке. Сначала мы рассматриваем некоторые объекты и делаем некоторые наблюдения в особых случаях. Затем мы пытаемся найти пределы заявление наших наблюдений, искать контрпримеры, которые помешали бы неоправданный расширение наших наблюдений на слишком широкий круг событий (пример: количество разделов последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых дает последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но затем идет 29).

В результате мы формулируем сделанное нами эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре) как можно яснее. После этого наступает трудный период проверки надежности являются выводы.

К этому моменту в математике была разработана специальная техника. Этот прием в применении к реальному миру иногда бывает полезен, но может иногда также приводят к самообману. Эта техника называется моделированием. При построении модели делается следующая идеализация: определенные факты, которые известны только с определенной долей вероятности или с определенной степени точности, считаются «абсолютно» правильны и принимаются как «аксиомы».Смысл этой «абсолютности» именно в том, что мы позволяем себе пользоваться этими «фактами» по правилам формальной логики, при этом объявляя «теоремами» все, что мы можем вывести из них.

Очевидно, что ни в какой реальной деятельности невозможно полностью полагаться на такие выводы. Причина хотя бы в том, что параметры изученных явления никогда не известны абсолютно точно и небольшое изменение параметров (например, начальные условия процесса) могут полностью изменить результат. Скажем, по этой причине надежный долгосрочный прогноз погоды невозможно и останется невозможным, сколько бы мы ни развивали компьютеры и устройства, регистрирующие начальные условия.

Точно так же небольшое изменение в аксиомах (о которых мы не можем совершенно уверен) способен, вообще говоря, привести к совершенно выводы, отличные от тех, которые получаются из теорем, выводится из принятых аксиом. Чем длиннее и изящнее цепочка выводов («доказательств»), тем менее надежен конечный результат.

Сложные модели редко бывают полезны (если только те, кто пишет свои диссертации).

Математическая техника моделирования состоит в игнорировании этой проблемы и говоря о своей дедуктивной модели так, как будто она совпала с реальностью. Тот факт, что этот путь, заведомо неверный с точки зрения естествознания, часто приводит к полезным результатам в физике. назвал «невообразимой эффективностью математики в естественных науках». (или «принцип Вигнера»).

Здесь можно добавить замечание И. М. Гельфанда: существует еще другое явление, сравнимое по своей немыслимости с невероятная эффективность математики в физике, отмеченной Вигнером, – это в равной степени немыслимая неэффективность математики в биологии.

«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для физики состоит именно в том, что абсолютизированная модель отделяется от реальность и уже не сравнивается с ней.Вот простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно определяется начальными условиями (т. е. соответствующим интегралом кривые в (t,x)-плоскости не пересекаются). Этот вывод математическая модель имеет мало отношения к реальности. Компьютер Эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательная полуось t. Действительно, скажем, кривые с начальным условия x(0) = 0 и x(0) = 1 практически пересекаются при t = -10 и при t = -100 вы не можете вместить атом между ними.Свойства пространства при таких малых расстояния вообще не описываются евклидовой геометрией. Применение теорема единственности в этой ситуации явно превосходит точность модель. Это необходимо учитывать при практическом применении модели. иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.

Замечу, однако, что та же теорема единственности объясняет, почему завершающий этап швартовки судна к причалу осуществляется вручную: на рулевом управлении, если бы скорость подхода была определена как гладкая (линейная) функция расстояния, процесс швартовки будет потребовалось бесконечно много времени.Альтернатива – воздействие с причалом (демпфируемым подходящими неидеально упругими телами). Посредством Кстати, с этой проблемой пришлось серьезно столкнуться при посадке первого спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также на стыковку с космосом станции – тут против нас работает теорема единственности.

К сожалению, ни такие примеры, ни обсуждение опасности Теоремы фетишизации можно встретить в современных математических учебниках, даже в лучшие. У меня даже сложилось впечатление, что схоластические математики (кто мало знаком с физикой) верят в принципиальную разницу принадлежащий аксиоматическая математика из моделирования, которое распространено в естествознании и что всегда требует последующего контроля выводов экспериментом.

Не говоря уже об относительности исходных аксиом, нельзя забыть о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в форма поломки компьютера, вызванная космическими лучами или квантовыми колебания). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего на примерах), то через каких-нибудь десять страниц половина всего знаки в формулах будут неверными и двойки найдут дорогу из знаменателей в числители.

Технология борьбы с такими ошибками – это тот же внешний контроль путем эксперименты или наблюдения, как и в любой экспериментальной науке, и это должно быть учат с самого начала всех младших школьников.

Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказ от схемы, используемой в физике (наблюдение – модель – исследование модели – выводы – проверка наблюдениями) и его подстановка по схеме: определение – теорема – доказательство. Немотивированного понять невозможно. определения, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они без труда определили бы произведение натуральных чисел с помощью правила длинного умножения.При этом коммутативность умножения становится трудно проверить. доказать, но все еще возможно вывести его как теорему из аксиом. Тогда можно заставить бедных студентов выучить эту теорему и ее доказательство. (с целью повышения авторитета как науки, так и лица, обучающие этому). Очевидно, что такие определения и такие доказательства могут только навредить обучению и практической работе.

Понять коммутативность умножения можно только на подсчет и пересчет солдат по чинам и шеренгам или путем подсчета площадь прямоугольника двумя способами.Любая попытка обойтись без этого вмешательства физикой и действительностью в математику есть сектантство и изоляционизм, которые разрушить образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах все здравомыслящие люди.

Открою еще несколько таких секретов (в интересах бедных студентов).

Определитель матрицы представляет собой (ориентированный) объем матрицы. параллелепипед, ребра которого являются его столбцами. Если учащимся сказать об этом секрет (который тщательно спрятан в очищенном алгебраическом образовании), тогда вся теория детерминантов становится ясной главой теория полилинейных форм.Если определители определены иначе, то любой здравомыслящий человек будет вечно ненавидеть все детерминанты, якобианцев и теорема о неявной функции.

Что такое группа ? Алгебраисты учат, что это якобы множество с две операции, которые удовлетворяют множеству легко забываемых аксиом. Этот определение вызывает закономерный протест: зачем здравомыслящему человеку такие пары операций? “О, будь проклята эта математика” – заключает студент (который, возможно, станет министром науки в будущее).

Мы получим совершенно другую ситуацию, если начнем не с группы. но с понятием преобразования (однозначное отображение множества на себя) как это было исторически. Совокупность преобразований множества называется группой, если наряду с любыми двумя преобразованиями она содержит результат их последовательного применения и обратного преобразования вместе с каждым преобразованием.

Вот и все определения. Так называемые «аксиомы» на самом деле всего (очевидных) свойств групп преобразований.Какие аксиоматизаторы называть «абстрактными группами» — это всего лишь группы преобразований различных множеств рассматриваются с точностью до изоморфизмов (которые являются взаимно однозначными отображениями сохранение операций). Как доказал Кейли, нет «более абстрактных» группы в мире. Так почему же алгебраисты продолжают мучить студентов с абстрактным определением?

Кстати, в 1960-е годы я преподавал в Москве теорию групп. школьников . Избегая всей аксиоматики и оставаясь как можно ближе возможной физике, за полгода я добрался до теоремы Абеля о неразрешимость общего уравнения пятой степени в радикалах (имеющего попутно учили школьников комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группы и группы монодромии алгебраических функций).Этот курс был позже издано одним из слушателей, В. Алексеевым, как книга Теорема Абеля в задачах .

Что такое гладкий коллектор ? В недавней американской книге я прочитал, что Пуанкаре не был знаком с этим (представлено им самим) понятие и что «современное» определение было дано Вебленом только в конце 1920-х годов: многообразие — это топологическое пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.

За какие грехи студенты должны пытаться найти выход из всех этих поворотов и повороты? На самом деле, в анализе Пуанкаре «местоположение » есть абсолютно четкое определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее, чем «абстрактный».

Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R ^N это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки является графом гладкой отображение R ^k в R ^{(N – k)} (где R ^k и R ^{(N – k)} координаты подпространства). Это прямое обобщение большинства обыкновенный гладкий кривые на плоскости (скажем, круга x ² + y ² = 1) или кривые и поверхности в трехмерном пространстве.

Между гладкими многообразиями естественным образом определяются гладкие отображения. Диффеоморфизмы — это отображения, которые являются гладкими вместе со своими обратными.

«Абстрактное» гладкое многообразие — это гладкое подмногообразие евклидова пространства. рассматривается с точностью до диффеоморфизма. Нет “более абстрактных” конечномерные гладкие многообразия в мире (теорема Уитни). Почему мы продолжаем мучать студентов абстрактным определением? Не лучше ли было бы доказать их теорема о явной классификации замкнутых двумерных многообразия (поверхности)?

Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что любое компактное связная ориентированная поверхность представляет собой сферу с множеством ручек), что дает правильное представление о том, что такое современная математика, а не сверхабстрактный обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, которые на самом деле не дают ничего нового и преподносятся как достижения аксиоматизаторы.

Теорема классификации поверхностей — первоклассная математическая достижение, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это подлинное открытие математического естествознания и является даже сложно сказать относится ли сам факт больше к физике или к математике. В его значение как для приложений, так и для разработки правильных Weltanschauung намного превосходит такие «достижения» математика как доказательство последней теоремы Ферма или доказательство факта что любое достаточно большое целое число можно представить в виде суммы трех простые числа.

Ради рекламы современные математики иногда представлять такие спортивные достижения как последнее слово в своей науке. Понятно, что это не только не способствует пониманию обществом математики но на напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости тратить энергию на (скалолазные) упражнения с этими экзотическими вопросами никому не нужен и не нужен.

Теорема о классификации поверхностей должна была быть включена в высокий школьные курсы математики (наверное, без пруфов), но почему-то не входит даже в университетские курсы математики (из которых во Франции, кстати, вся геометрия была изгнана за последние несколько десятилетий).

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к представлению важной области естествознание – особенно горячая проблема для Франции. Я был поражен тем, что все лучшее и самое важное в методический подход математические книги здесь почти неизвестны студентам (и, как мне кажется, не переведены на французский язык). Среди них Числа и цифры Радемахера и Тёпица, Геометрия и воображение Гильберта и Кон-Фоссена, Что такое математика? Курант и Роббинс, Как решить и Математика и правдоподобные рассуждения Поля, Разработка математика в 19 веке Ф.Клейн.

Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел курс исчисления Эрмита. (который есть в русском переводе!) сделанный на меня в школьные годы.

В ней появились римановы поверхности, кажется, в одной из первых лекций (все анализ был, конечно, комплексный, как и должно быть). Асимптотика интегралы исследовались с помощью траекторных деформаций на римановых поверхности при движении точек ветвления (сегодня мы назвали бы это теория Пикара-Лефшеца; Пикард, между прочим, принадлежал Эрмиту. зять – математические способности часто передаются зятья: династия Адамара — П.Леви – Л. Шварц – У. Фриш еще один известный пример в Парижской академии наук).

«Устаревший» курс Эрмита столетней давности (вероятно, сейчас выброшены из студенческих библиотек французских университетов) был намного современнее тех самых занудных исчислений учебники, с которыми нынче мучают школьников.

Если математики не одумаются, затем потребители, которые сохранили потребность в современном, в лучшем смысле этого слова, математическая теория, а также как иммунитет (свойственный любому здравомыслящий человек) к бесполезной аксиоматической болтовне в конце концов откажется от услуг малообразованных схоластов как в школах, так и в университетах.

Учитель математики, не разобравшийся хотя бы с некоторыми томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда реликт, как тот, что в наши дни, кто не знает разницы между открытым и закрытым множеством.

В.И. Арнольд

Перевод А. В. ГОРЮНОВ

Бакалавр математики » Академические науки

Математика и статистика играют решающую роль в наших усилиях по пониманию природы физической вселенной и в продолжающемся развитии нашего технологического общества. Студенты, изучающие математику и статистику, приобретают навыки, связанные с абстрактным мышлением и критическим мышлением, на курсах по различным математическим дисциплинам.Математики и статистики востребованы во всех секторах общества, от правительства до бизнеса и промышленности, университетов и исследовательских лабораторий. Обучение в бакалавриате по математике и статистике также обеспечивает прекрасную основу для обучения в аспирантуре в этих и смежных вычислительных областях.

Результаты обучения

Студенты, получившие высшее образование по специальности «Математика, точные и прикладные науки», будут:

• Продемонстрировать зрелое понимание исчисления с одной и несколькими переменными, включая дифференциальные уравнения и линейную алгебру.
• Продемонстрировать четкое понимание концепции математического доказательства и быть в состоянии представить строгое доказательство основных теорем.
• Продемонстрировать глубину понимания одной из основных областей чистой или прикладной математики.

Студенты, получившие высшее образование по специальности “Математика” в области статистики, получат:

• Понимание фундаментальных понятий и развитие аналитических навыков, связанных с классическими статистическими методами.
• Продемонстрировать зрелое понимание теоретических основ статистики, включая теорию вероятностей, и по крайней мере одну из областей математической статистики и случайных процессов.
• Продемонстрировать широту знаний по темам, связанным с продвинутой статистической теорией и практикой.

Требования

Все первокурсники, впервые поступившие на первый курс, будут проходить курсовую работу в BU Hub, общеобразовательной программе, которая интегрирована во всю программу бакалавриата. Требования BU Hub являются гибкими и могут быть удовлетворены разными способами, посредством курсовой работы по специальности и за ее пределами, а в некоторых случаях и посредством дополнительных занятий. Студенты, изучающие математику, обычно в ходе курсовой работы по специальности удовлетворяют требованиям Центра BU по количественному мышлению.Остальные требования BU Hub будут удовлетворены за счет выбора из широкого спектра доступных курсов вне основных или, в некоторых случаях, дополнительных занятий.

Классификация начальных курсов

В целях определения предварительных требований начальные курсы сгруппированы по названиям, перечисленным ниже. Любой один курс в группе удовлетворяет требованию, и только один курс в каждой группе может быть принят для зачета.

• Элементарная статистика I: CAS MA 113, 115, 213
• Элементарная статистика II: CAS MA 116, 214, 614
• Расчет I: CAS MA 121, 123
• Исчисление II: CAS MA 122, 124, 127, 129 (MA 129 может быть принято за кредит студентами с кредитом AP для CAS MA 124)
• Многомерное исчисление: CAS MA 225, 230
• Дифференциальные уравнения: CAS MA 226, 231
• Линейная алгебра: CAS MA 142, 242, 442
• Дискретная математика: CAS MA 193, 293
• Современная алгебра: CAS MA 294 (нельзя принимать после MA 541 или 542)

Обязательные курсы

Студенты, изучающие математику, должны соответствовать набору требований либо для получения специальности “чистая и прикладная математика”, либо для специальности “статистика”.Курсы могут быть зачислены в основную специальность только в том случае, если получена оценка C или выше. Если не указано иное, все курсы рассчитаны на 4 кредитных часа.

Специальность по теоретической и прикладной математике

Курсы нижнего дивизиона

• Расчет: CAS MA 123 и 124, или 127, или 129, или эквивалент
• Многомерное исчисление: CAS MA 225 или 230
• Элементарные дифференциальные уравнения: CAS MA 226 или 231
• Линейная алгебра: CAS MA 242 или 442
• Введение в информатику: CAS CS 111
• Один дополнительный курс математики или информатики, выбранный по согласованию с консультантом факультета математики.

Высшие курсы

Хотя бы одна из двух следующих последовательностей:

• CAS MA 411, 412 Расширенное исчисление и комплексные переменные
• CAS MA 511, 512 Введение в анализ I и II

Хотя бы одна из следующих последовательностей:

• CAS MA 531, 532 Математическая логика и основы математики
• CAS MA 539, 555 Методы научных вычислений и численного анализа I
• CAS MA 541, 542 Современная алгебра I и II
• CAS MA 555, 556 Численный анализ I и II
• CAS MA 561, 562 Методы прикладной математики I и II
• CAS MA 563, 564 Введение в дифференциальную геометрию/Введение в топологию
• CAS MA 565, 579 Математические модели в науках о жизни и численные методы в биологических науках
• CAS MA 569, 570 Оптимизационные методы исследования операций и стохастические методы исследования операций
• CAS MA 573, 579 Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы для биологических наук
• CAS MA 581, 582, 583 Вероятность, математическая статистика и введение в стохастические процессы (любые два)

Требуются четыре дополнительных курса математики CAS под номером 200 или выше. Два из этих четырех могут быть связаны курсы. Для получения конкретной информации о связанных курсах, свяжитесь с отделом.

Специальность по статистике

Курсы нижнего дивизиона

• Расчет: CAS MA 123 и 124, или 127, или 129, или эквивалент
• Многомерное исчисление: CAS MA 225 или 230
• Линейная алгебра: CAS MA 242 или 442
• Введение в вероятность и статистику: CAS MA 213, 214
• Введение в информатику: CAS CS 111.

Высшие курсы

• CAS MA 416 Дисперсионный анализ
• CAS MA 575 Линейные модели

Два из следующих трех курсов:

• CAS MA 581 Вероятность
• CAS MA 582 Математическая статистика
• CAS MA 583 Введение в стохастические процессы

Требуются четыре дополнительных курса математики CAS: два на уровне 200 или выше и два на выбор среди MA 500–599 и GRS MA 684.

Совместные программы с другими факультетами/школами

Отличия майора

Студенты могут получить отличие факультета по специальности, получив средний балл 3,3 или выше на своих основных курсах и успешно завершив исследовательский проект с отличием под руководством преподавателя. Этот проект завершается письменной диссертацией и устной защитой перед комитетом из трех преподавателей (включая руководителя проекта). Студенты могут завершить свой дипломный проект в рамках последовательности дипломных работ CAS MA 401–402.Квалифицированные студенты, заинтересованные в выполнении проекта с отличием, должны связаться с директором бакалавриата не позднее, чем во втором семестре их первого года обучения.

Многомерный анализ JSTOR

Изменения в самооценивании учащихся и выполнении заданий, субъективной оценке и поведении в отношении достижений по математике и английскому языку в течение 1-го года средней школы составляют основу этого исследования. Было обнаружено, что переход в неполную среднюю школу негативно влияет на самооценку учащихся и их субъективную оценку по математике и английскому языку, но предыдущие исследования не касались изменений в оценках заданий и поведении в отношении достижений. Влияние пола и уровня академической успеваемости также имеет отношение к характеру изменений в отношении учащихся. Участники (N = 400) были из 3 австралийских государственных школ с совместным обучением в столичном Сиднее с сопоставимым социально-экономическим статусом. Когда происходили изменения в восприятии, они были отрицательными, а гендерные различия благоприятствовали мальчикам в математике и девочкам в английском. Однако характер и степень изменений зависели от школы и уровня успеваемости.

Журнал экспериментального образования публикует фундаментальные и прикладные исследования, в которых используется ряд количественных и качественных методологий, применяемых в поведенческих, когнитивных и социальных науках.В журнале публикуются статьи, направленные на улучшение знаний о том, как обучение, учебные, мотивационные и социальные процессы влияют на результаты обучения в любом возрасте и на всех уровнях образования, включая государственное и частное образование в США и за рубежом. Журнал экспериментального образования также сообщает о методологических или статистических выводах, которые улучшают интерпретацию образовательных данных. Журнал — обязательное чтение для исследователей и практиков, заинтересованных в продвижении исследований в области образования и их использовании для улучшения преподавания, обучения и обучения — разделен на три отдельных раздела: обучение и обучение; Мотивация и социальные процессы; и измерение, статистика и дизайн исследований.

Основываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis быстро выросла за последние два десятилетия и стала ведущим международным академическим издателем. отпечатки Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz и Taylor & Francis. Taylor & Francis полностью привержены публикации и распространению научной информации самого высокого качества, и сегодня это остается основной целью.

Использование игры для обучения математике

Концепция игры часто ограничивается младшими учениками и менее академическими усилиями, но игра может быть полезной стратегией в маловероятной дисциплине: математике.

Математика известна как холодная, логичная и строгая, но предмет не получает должного внимания за ее истинный озорной дух, хорошо скрытый от мира. Учебные программы по математике для K–12 могут занять время и пространство, чтобы поиграть с концепциями и идеями, даже в спешке по обязательным темам.

В своем исследовании для выступления на TEDxKitchenerEd в 2017 году под названием «Математика — это игра» я нашел несколько материалов о радости от математики в старших классах. Большая часть литературы об игре как подходе к обучению основана на ранних годах, особенно в детском саду, где она является общепринятым педагогическим методом.

Маленькие дети во время игры часто достигают состояния, которое психолог Михай Чиксентмихайи называет «потоком», неуловимого состояния ума, когда кажется, что время исчезает, когда они глубоко сосредотачиваются на том, что делают.Чтобы достичь этого идеального состояния в классе, требуется нечто большее, чем свобода играть — учителя также должны реагировать на идеи учащихся и направлять их через такие понятия, как счет и числа. Этот тип управляемой игры требует принятия решения о том, как и когда давать прямые инструкции. Создавая свободу и в то же время предлагая направление, можно продуктивно играть, открывая учащимся умы для лучшего понимания сложных математических концепций.

Количество игр на «серьезные» академические темы, такие как математика, похоже, обратно пропорционально возрасту учащихся, но это не обязательно так.Игровую педагогику математики можно систематизировать и сделать реальной, строгой и аутентичной.

Игра с объятиями и объединением

В моей книге Преподавание математики путем решения задач в классах K–12 я написал о необходимости признать, что люди рождены для игр. Игра неудержимо человечна, и мы можем играть, чтобы учиться. Игра и мышление не противоречат друг другу. Хотя игра обычно связана с отключением мышления и отдачей себя приятной деятельности, работа над интересными задачами может стать триггером потока.Есть благоприятный момент, часто около 30 минут работы над интересной проблемой, когда идеи начинают становиться решениями.

Создайте культуру, в которой математические идеи — это не просто формулы на странице, а концепции, которые нужно обсуждать и обдумывать. Игра продвигает обучение математике от механического заучивания к более широкому пониманию математики. Поощряйте студентов говорить, думать, рассуждать и задаваться вопросом, когда они решают проблемы. Создание чувства любопытства, даже для простых понятий, вовлекает учащихся в игровой форме.

Простые стратегии, такие как «покажи и поговори», могут создать возможности для совместного обучения в игровой форме. Использование подсказок в повседневной работе в классе может сделать математические концепции увлекательными. Такие сайты, как Visual Patterns, Fraction Talks или Estimation180, предлагают простые и быстрые способы сделать математические концепции интересными.

Наклонись к неизвестному

Математика полна сюрпризов, которые могут быть интересными и веселыми. Для решения многих проблем нет единого пути или стратегии. Будьте восприимчивы к сюрпризам в том, как ваши ученики думают о проблемах и решают их. Открытость к неожиданностям может способствовать формированию культуры игривого любопытства в классе. Игривый ученик математики полон надежд и оптимистичен — элементы мышления, которые помогают учащимся лучше понимать сложные понятия.

Примите беспорядок процесса решения проблем. Мышление беспорядочно. У нас не всегда все получается с первого раза. Нужны корректировки курса, исправления и даже полная трансформация работы.

Наблюдайте за своими учениками во время работы. Где блокпосты? Как они адаптируются к конкретным вызовам? Прислушивайтесь к своему собственному разговору с самим собой во время работы и используйте свои проблемы, чтобы продумать, как ваши ученики могут столкнуться с трудностями. Решения важны, но не менее важен и процесс. Слушая и разговаривая со своими учениками во время их работы, вы можете давать хорошие отзывы и получать данные об оценках.

Игра создает открытые пространства для размышлений, где учителя могут направлять учащихся к интересным математическим идеям.

Использование бетонных методов

Физические или цифровые манипулятивные средства, такие как снэп-кубы, блоки шаблонов и реляционные стержни, — все это инструменты, которые могут помочь учащимся воплотить математику в жизнь — процесс, называемый представлением. Учителя могут использовать колоды карт, игральные кости или предметы для счета, чтобы помочь учащимся отработать свои основные навыки.

Например, младшие школьники могут практиковаться в умножении фактов до 6 раз 6, бросая два кубика и умножая результаты. Учащиеся старшего возраста могут использовать колоды карт, чтобы практиковать операции с целыми числами, где красные масти являются отрицательными, а черные — положительными.Для младших школьников, изучающих базовые навыки работы с числами, выделите один день в неделю для целенаправленной практики с использованием игр.

Визуальное представление математических идей может быть игривым. Например, дайте учащимся крышку от консервной банки или другой круглый предмет, веревку и рулетку, чтобы попытаться найти соотношение между окружностью и диаметром.