На создание вакцины уходит около десяти лет, поскольку вакцины требуется тщательно проверять, чтобы убедиться в их безопасности и эффективности. Во всяком случае, именно так дело обычно обстояло в прошлом.
Полгода назад ученые заявляли, что до практического применения вакцины им понадобится как минимум несколько лет.
Поскольку распространение коронавируса приняло форму пандемии, по всей планете одновременно стартовала гонка по созданию вакцины против этого нового вируса. По данным ВОЗ, по состоянию на 9 сентября по всему миру сообщалось о разработке не менее 180 вакцин-кандидатов, причем темпы этого состязания на скорость возрастают.
К настоящему времени клинические тесты с участием людей для подтверждения безопасности и эффективности уже ведутся с использованием 35 из этих кандидатов.
Почему же разработка вакцин против коронавируса ведется столь высокими темпами?
Внимание сосредоточено на вакцине нового типа. Сейчас ученые пытаются совершенствовать иммунную систему человеческого организма, внося в него гены коронавируса, чтобы выработать в организме белки вируса, которые будут работать как антигены.
Россия формально одобрила вакцину под названием «Спутник-V» в августе. В ней для введения генов коронавируса в человеческий организм используется другой вирус, безопасность которого уже подтверждена. Российское правительство одобрило вакцину еще до того, как завершился финальный этап ее клинических испытаний.
Крупная американская фармацевтическая компания Phizer разрабатывает вакцину, используя ген, известный как mRNA.
Эта фирма проводит завершающий этап клинических испытаний. Как сообщается, она планирует подать правительству заявку на одобрение вакцины уже к концу октября.
Компания AstraZeneca, которая базируется в Великобритании, совместно с Оксфордским университетом также разрабатывают вакцину, используя генетический материал коронавируса.
Ожидается, что данный вид вакцин, в котором использованы гены, будет разработан быстрее обычных.
Между тем разработка такого рода вакцин требует особой осторожности. Их практически никогда не использовали на людях, поэтому риск неожиданных побочных эффектов следует рассматривать с особой тщательностью.
Уже имеются сообщения о случаях, когда от обычного процесса подтверждения отказались, поскольку приоритет отдается скорости разработки.
Профессор Исии Кэн из Токийского института медицинских наук является экспертом по разработке вакцин. По его словам, усилия, которые сейчас предпринимаются по всему миру для создания вакцин от коронавируса, являются результатом последних достижений науки.
Он говорит, что нет никаких сомнений в том, что происходящие в данный момент технологические инновации неожиданно усилили исследовательский лабораторный уровень до промышленного. Вместе с тем он предупреждает, что поспешность при разработке может привести к неожиданным проблемам.
По словам профессора, ученым следует помнить о том, что подтверждение безопасности новой вакцины требует времени.
Правительство Японии ведет переговоры с рядом зарубежных фармацевтических компаний, рассчитывая обеспечить поставки их вакцин. Оно также занимается подготовкой основополагающих правил для определения приоритетности получения вакцин.
Приведенные сведения можно проверить на вебсайте NHK World Japan, а также на страницах NHK в социальных сетях
Совет Европы (СЕ) зафиксировал в России самые населенные по сравнению с европейскими странами места лишения свободы и наиболее высокий уровень смертности и самоубийств заключенных. Лидирует РФ и по числу отбывающих срок за наркопреступления, их доля приближается к показателю приговоренных за убийство, по которому РФ опережает только Албания. По мнению правозащитников, число приговоров к реальным срокам необходимо сокращать, а сэкономленные на содержании колоний средства направлять на улучшение условий.
Согласно опубликованному СЕ ежегодному докладу ученых Университета Лозанны, уровень лишения свободы в РФ остается самым высоким среди 42 стран Европы: в учреждениях ФСИН сидели в 2015 году 642,5 тыс. человек (на 4% меньше, чем в 2014 году, и на 20% меньше, чем в 2005 году), в том числе около 35 тыс. женщин и 1,7 тыс. несовершеннолетних. Всего на 100 тыс. жителей РФ приходилось 439,2 заключенных — это почти в четыре раза выше среднего показателя по Европе. По доле женщин-заключенных (8,1% при среднеевропейском показателе 5,2%) РФ занимает третье место после Андорры и Лихтенштейна. Средняя плотность тюремного населения в РФ составляла в 2015 году 79 заключенных на 100 мест (на каждого по 4 кв. м), что ниже показателя 2014 года и значительно ниже, чем в среднем по Европе (91,4 на 100 мест). Статистика Украины, Польши, Исландии, Мальты, Монако и частично Боснии и Герцеговины не представлена и не учтена: на вопросы экспертов там не ответили.
25% приговоров в РФ вынесено за наркопреступления (в 2014 году — 22,6%).
По доле осужденных за убийство (27,8% заключенных) РФ занимала второе место, уступая только Албании (39,4%). Почти две трети умерших в заключении в европейских странах приходится на Россию (4,1 тыс. из 6,4 тыс.). На одного заключенного в РФ в день в 2014 году тратили €22,5, а в Европе — €52.
Генеральный секретарь СЕ Турбьорн Ягланд вчера отметил позитивную тенденцию снижения числа заключенных в Европе. “Рост применения альтернативных приговоров может помочь реинтегрировать правонарушителей и устранить переполненность”. Российские эксперты отмечают “печальное лидерство” России по числу заключенных, в том числе несовершеннолетних и женщин, а также смертей и самоубийств. По мнению юриста правозащитной организации “Сутяжник” Антона Буркова, число заключенных необходимо сокращать, чтобы уменьшить необходимость строительства новых исправительных колоний и закрыть старые отдаленные, дорогие для бюджета колонии,— например, заполярную ИК-18 “Полярная сова”. “Освободившиеся средства нужны для лечения заключенных”,— отмечает эксперт.
ЕСПЧ неоднократно рассматривал жалобы о непредоставлении медпомощи российским заключенным и находил в этих делах нарушения ст. 2 (право на жизнь) и ст. 3 (право не подвергаться жестокому обращению) Европейской конвенции, напомнила юрист правозащитного центра “Мемориал” Татьяна Глушкова. По ее словам, низкое качество российской тюремной медицины связано с недостатком квалифицированного медперсонала, отсутствием лекарств, в том числе против распространенных в колониях ВИЧ и туберкулеза, кроме того, добиться формально предусмотренного освобождения тяжелобольных заключенных очень трудно. “Известны случаи, когда утром суд признавал, что заболевание заключенного не является достаточно тяжелым для освобождения, а к вечеру он умирал”,— говорит госпожа Глушкова. А столь значительное число осужденных за наркопреступления в РФ эксперт называет прямым следствием российской политики: запрет заместительной терапии метадоном (официально поддерживаемый ВОЗ способ лечения опиоидной зависимости), тюремное заключение за любые действия, в том числе хранение и перевозку наркотиков без цели сбыта, а также приготовление к нему, за что часто сажают (на срок от 2 до 4 лет) тех, кто купил незначительную дозу для себя.
Минюст в связи с отчетом СЕ сообщил “Ъ”, что, по данным ФСИН, число заключенных в России продолжает сокращаться. По данным на 1 декабря 2016 и 2015 годов, в учреждениях уголовно-исполнительной системы показатель упал с 644,2 тыс. до 633,8 тыс. человек, в СИЗО — c 111,1 тыс. до 102,9 тыс. В женских колониях — c 34,8 тыс. до 33,6 тыс. отбывавших наказание, в воспитательных колониях — с 1676 до 1638 человек.
Анна Пушкарская, Санкт-Петербург
07.05.2021 Область бережет память
Несмотря на «нелетную» погоду, Губернатор Ленинградской области Александр Дрозденко, депутат Государственной думы Светлана Журова, глава районной администрации Андрей Низовский, глава муниципального образования Вячеслав Кондратьев, и.о. главы Свердловского поселения Андрей Шорников, лесники и волонтеры приняли участие в акции «Сад памяти».
06.05.2021 Квест для молодежи прошёл в Дубровке
03.05.2021 Всеволожский район опять в лидерах.
Область объявила «Учителя года»
Мария Тимченко, учитель информатики и математики Агалатовского центра образования стала победителем регионального этапа конкурса профессионального педагогического мастерства.
01.05.2021 Мир, труд, май!
Первого мая мы традиционно отмечаем Праздник весны и труда – день, наполненный особым смыслом и настроением.
29.04.2021 На Румболовской горе стартовал традиционный автопробег, посвященный 76-летию Победы
28.04.2021 28 апреля – День работника скорой медицинской помощи
Само название этой службы говорит за себя: скорая помощь.
Именно от скорости прибытия на место происшествия порой зависит жизнь человека. Каждый сотрудник скорой помощи знает цену минутам, секундам…
28.04.2021 Ответы на вопросы жителей Всеволожского района, поступившие губернатору Ленинградской области в ходе прямой телефонной линии
В двух многоквартирных домах в поселке ст. Ладожское озеро Всеволожского района начались проблемы с канализационными стоками, жители попросили срочно отреагировать. Пострадала придомовая территория.
27.04.2021 Во Всеволожском районе определяли лучших гимнастов
В Первенстве района по спортивной аэробике приняли участие около 100 человек. Мальчики и девочки от 8 до 15 лет в группах, дуэтом и сольно боролись за призовые места на соревновании.
26.04.2021 Уважаемые жители Всеволожского района!
26 апреля трагичный и знаковый день для всех нас – День участников ликвидации последствий радиационных аварий и катастроф и памяти жертв этих аварий и катастроф.
Новости 1 – 10 из 4261
Начало | Пред. | 1 2
3
4
5
| След. |
Конец | Все
Откройте для себя все четыре ответа на проблему шести кругов и убедитесь, что других нет. Попытка показать, что это так. Что вы можете сказать о найденных вами ответах?
Предпосылки
Сначала мы начнем с проблемы, на которой основан весь этот блок.
Основная задача (проблема шести кругов): можно ли поместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в круги так, чтобы суммы трех чисел по обе стороны треугольника были одинаковыми?
Перед тем, как передать задачу классу, стоит немного подумать.Следует учесть несколько моментов.
На самом деле это означает, что они побуждают их пробовать все, что приходит им в голову. Так что поощряйте их гадать, экспериментировать и не беспокоиться о том, какой метод они используют, даже если он кажется совершенно нематематическим!
Во-вторых, в дальнейшем сумма окажется фундаментальной.Что мы можем сказать об ответах? Есть ли между ними какая-то связь? Есть ли какие-то закономерности, которые мы должны увидеть? Вот список того, что могут найти ваши ученики.
Мы не утверждаем, что это исчерпывающий список. Если ваши ученики обнаружат некоторые другие свойства четырех ответов, мы будем рады услышать о них и добавить их в список.
Это может означать, что вам нужно будет предложить некоторые угловые числа или, если у них есть некоторые числа в правильных позициях, вам может потребоваться сказать им, что с ними все в порядке, но они могут подумать о перемещении других в другое место.
Обратите внимание, что вы можете подумать об идеях, которые мы здесь не рассмотрели. Важно, чтобы вы следовали им, чтобы увидеть, к чему они ведут. Если вы получите хорошие результаты, дайте нам знать, чтобы мы могли рассказать об этом другим. Мы обязательно признаем все ваши публикации в Интернете.
Покажите, что есть только четыре ответа на проблему шести кругов.
Фон
Итак, как и почему на исходный вопрос всего 4 ответа? И как мы можем установить это вне всяких разумных сомнений? На самом деле есть несколько способов сделать это. Мы перечислим их здесь для использования в следующих двух сессиях. Частично это делается для того, чтобы показать, что есть много способов доказать или оправдать что-то.
В некотором смысле все они одинаково действительны. Однако есть некоторые доказательства, которые «лучше», «эффективнее» или «сложнее», чем другие.Ниже мы приведем некоторые доказательства и прокомментируем их качество.
Это не доказательство. Мы не можем быть уверены, что не сможем найти другого ответа, если уделим больше времени проблеме. Или, может быть, кто-то умнее нас найдет другой ответ. Или, может быть, кто-то из другой страны мог бы. Здесь слишком много места для сомнений. Это не основание для математического доказательства.
Однако это может быть лучшее, что мы можем сделать. Например, когда-то мы думали, что планет всего 7. Мы смотрели на небеса тысячи лет и увидели только 7. Но затем появился Джон Адамс и сказал, что если уравнения движения Ньютона верны, то там происходит что-то забавное. Было некоторое “покачивание” планет, которое подсказало ему, что существует еще одна планета, которую мы не видели к 1845 году.
Он рассчитал, где должна быть планета, а затем кто-то пошел искать и в конце концов нашел ее в сентябре 1846 года.
Если у нас нет инструментов для решения чего-либо, нам, возможно, придется полагаться на подход «Я больше не могу найти». Хотя в какой-то момент это может составлять наилучшее состояние наших знаний, в математике это в лучшем случае предположение – предположение о том, какой на самом деле ответ. Математика требует доказательства, оправдания, которое нельзя винить. Проблема в том, что если вы поработаете еще 10 минут, вы можете просто найти другой ответ.
Это достаточно хорошее доказательство, если можно показать, что рассмотрены все возможные случаи. Что нужно сделать здесь, так это перечислить все возможные способы поместить числа от 1 до 6 в 6 кругов, а затем взять из этого списка те, которые дают равные суммы со всех трех сторон.
Один из способов сделать это – написать компьютерную программу.
Подумайте, где поставить цифру 1. Из-за симметрии треугольной формы есть только два места для размещения цифры 1: в угловом круге или в круге в середине стороны. Мы покажем эти две ситуации ниже.
На следующем этапе мы хотим поставить 2 во всех возможных местах.Это можно сделать тремя способами для каждого из способов поставить 1. Поскольку это утомительно, мы сделаем это только для одного случая. Если вы хотите, вы можете заставить свой класс завершить аргумент.
Теперь в первой из этих трех ситуаций мы можем поставить 3 на четыре места.
Если мы поместим 3 в кружок «b», то получим сумму a + 3 в левой части и a + 3 + c в нижней части. Им никогда не может быть равных.
Если мы поместим 3 в кружок «c», то аналогичный аргумент покажет, что левая сторона имеет сумму a + 3, а нижняя часть имеет сумму a + b + 3. Они тоже никогда не могут быть равны.
Если мы поместим 3 в круг «d», мы должны поставить 4, 5, 6 внизу в определенном порядке. Это дает сумму, которая больше, чем может быть получена с двух других сторон.
Мы оставляем вас и ваш класс для рассмотрения всех остальных случаев. Вы можете разделить вещи так, чтобы разные группы студентов выполняли разные кейсы. Это ускорит процесс. Возможно, единственное утешение в том, что делать это таким образом, – это то, что это намного проще, чем выполнять 720 различных кейсов.
В большей степени, вышесказанное является упражнением в систематичности. Важно делать все осторожно и в определенном порядке, чтобы учесть все возможности.
Аргумент здесь основан на том факте, что сумма двух четных чисел четна; сумма двух нечетных чисел четная, а сумма четного и нечетного числа нечетная.
Теперь есть только три нечетных числа, и у нас может быть нечетное количество нечетных чисел на одной стороне треугольника, или у нас может быть четное число. При внимательном рассмотрении мы видим, что существует всего четыре возможных варианта расстановки шансов и эвенов.Мы покажем это ниже. Четные числа находятся в пустых кружках, а нечетные – в кружках, отмеченных знаком «о».
Итак, теперь мы знаем, куда идут 1, 3, 5.
В этом методе доказательства мы прежде всего показываем, что суммы, которые мы можем получить на каждой стороне треугольника в ответе, довольно ограничены. В конце концов, может ли у вас быть побочная сумма 24, 18, 13, 12?
Для этого сначала подумайте о 1. Какая самая большая сумма, в которую может входить 1? Самая большая сумма будет с 5 и 6, что даст сумму 12.Так что это самая большая сумма, которую мы можем получить. Теперь переверни это. В какой наименьшей сумме может быть 6? Конечно, это с 1 и 2, чтобы дать наименьшую сумму 9.
Хорошо, как мы можем получить 9? Делайте это систематически. Если бы мы использовали 6, нам пришлось бы составить 3 из двух чисел. Это можно сделать только с 1 и 2. Если бы мы использовали 5, нам пришлось бы составить 4, используя два числа. Это можно сделать только с 1 и 3. (2 и 2 недопустимы.) Если бы мы использовали 4, нам пришлось бы составить 5, используя два числа.Это можно сделать только с 2 и 3. (1 и 4 недопустимы.) Итак, есть только три возможности:
6 + 2 + 1; 5 + 3 + 1; 4 + 3 + 2.
У треугольника всего три стороны, так что теперь они у нас есть. Вопрос только в том, какие числа идут по углам? Но это просто. Это числа, которые встречаются дважды в трех суммах. Таким образом, мы быстро получили четыре ответа, которые получили путем проб и ошибок в первом сеансе.
Этот метод доказательства того, что существует ровно четыре ответа, может быть самым лучшим из всех.У него, безусловно, есть хороший аргумент, который показывает, что суммы ограничены от 9 до 12 включительно.
Здесь мы пытаемся использовать алгебру, чтобы увидеть, какого прогресса можно добиться. Начнем с того, что поместим буквы a, b, c, d, e, f в кружочки. Как показано на схеме ниже.
Предположим, что сумма по каждой стороне равна s. Тогда у нас есть следующее уравнение:
3s = (a + b + c) + (c + d + e) + (e + f + a)
= (a + b + c + d + e + f) + (a + c + e) Но сумма в первой скобке равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 в некотором порядке, так что сумма равна 21.Сумма во второй скобке – это просто сумма трех углов. Итак, теперь у нас
3с = 21 + уголки.
Но наименьшее значение углов составляет 1 + 2 + 3 = 6, а наибольшее значение углов составляет 4 + 5 + 6 = 15. Итак, у нас есть
.27 = 21 + 6 <3s <21 + 15 = 36.
Таким образом, сумма должна находиться в диапазоне от 9 до 12, как мы обнаружили в методе 4 выше. Но теперь у нас есть бонус, потому что уравнение здесь говорит нам, к чему складываются углы.
Для s = 9 и 12 ответы теперь просто выпадают. Для s = 10 и 11 необходимо проделать небольшую работу, но ясно, что, например, с 1, 5 и 6 в углах невозможно получить сумму 11. Так что работа не такая. Это слишком сложно и, может быть, проще, чем найти все способы получить 10. Как бы то ни было, мы все равно получаем четыре ответа, которые продолжаем получать.
Итак, в чем же заключается суть этого метода в ставках «вежливости»? Он действительно полагается на знание алгебры, но, преодолев это препятствие, он довольно быстро дает угловые числа в круге, а остальные числа становятся на свои места. Единственная небольшая задержка – это тот факт, что мы должны учитывать некоторые угловые числа, которые не работают; но, может быть, это небольшая цена.
Попросите остальную часть класса проверить, что утверждает этот ученик. «Есть ли что-то непонятное?» «Есть ли часть, которой вы не следуете?» «Есть ли какая-то часть, которая не так?»Рассмотрим расширение задачи шести кругов – задачу восьми кругов. Найдите все ответы и покажите, что других нет.
Предпосылки
Здесь мы рассмотрим проблему, аналогичную задаче шести кругов.Учитывая опыт, который мы получили с проблемой шести кругов, мы должны быть в состоянии добиться некоторого прогресса в решении этой новой проблемы.
Эта проблема является продолжением проблемы шести кругов.
Задача восьми кругов: можно ли поместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в круги так, чтобы суммы трех чисел по обе стороны квадрата были одинаковыми?
Приемы, которые мы использовали с задачей шести кругов, могут быть снова использованы здесь.Здесь будет работать любой из методов, которые мы отметили при доказательстве гипотезы о четырех ответах (см. Предпосылки для занятия 2). Ясно, однако, что некоторые из них более эффективны. Например, если ваши ученики обладают достаточными алгебраическими способностями, мы предлагаем им попробовать метод 5, чтобы получить дополнительные суммы. Этот метод сокращает количество вариантов более эффективно, чем просмотр самой большой суммы, в которой может быть 1. Итак, ваш класс должен обнаружить, что единственными возможными суммами являются 12, 13, 14 и 15.
Эта задача требует немного больше работы, чем задача шести кругов, но в конце, поскольку ваши ученики будут подходить к ней систематически, они будут знать, что нашли все возможные ответы.
Из-за дополнительной работы мы предлагаем, чтобы ваш класс работал в группах не менее 4 человек и распределял работу между ними.
В итоге они должны найти в общей сложности шесть ответов. Перечислим их ниже.
Обобщите задачу шести кругов, определив, какие наборы из шести чисел могут заменить 1, 2, 3, 4, 5, 6, и уравновесив суммы по обе стороны треугольника.
Общие сведения
Пришло время обобщить.
Задача: Какие еще наборы из 6 чисел можно поместить в шесть кругов ниже, чтобы суммы чисел на каждой из сторон были одинаковыми?
Это обобщение исходной задачи шести кругов, поскольку, когда мы находим ответ, она также дает нам ответ на исходную проблему. В этом смысле проблема восьми кругов не является обобщением, потому что, когда она решена, она не сразу дает нам решение проблемы шести кругов.
И снова поэкспериментировать – это хорошо. Что можно придумать? Вероятно, нетрудно увидеть тот факт, что любые шесть последовательных чисел будут работать. Тогда, возможно, подойдут любые шесть чисел, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга, например 5, 8, 11, 14, 17 и 20. Их можно представить как любую линейную комбинацию 1, 2, 3, 4, 5, 6. Это потому, что они могут быть записаны в форме {m + in: где i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, а m и n – любые целые числа}.
Но разве это единственные возможности? А как насчет {1, 2, 3, 4, 5, 100} или {1, 2, 3, 4, 5, 6, 50} или {1, 2, 3, 4, 5, 7}? Удивительно, но последняя из этих работ дает два ответа.
Итак, если бы у нас был набор вроде {a, b, c, d, e, f}, как бы мы знали, что он даст нам ответ или нет? Хитрость здесь в том, чтобы поэкспериментировать и посмотреть, какие предположения вы можете придумать.
И когда вы это сделаете, вы начнете видеть, сколько ответов вы получите для каждого набора. Тогда вы можете задать еще несколько вопросов.
Можете ли вы найти наборы чисел, для которых существует ровно один способ уравнять все суммы? Что можно сказать о таких наборах?
Можете ли вы найти наборы чисел, для которых есть ровно два способа уравнять все суммы? Что можно сказать о таких наборах?
Можете ли вы найти наборы чисел, для которых есть ровно три способа уравнять суммы? Что можно сказать о таких наборах?
Можете ли вы найти наборы чисел, для которых существует ровно четыре способа уравнять все суммы? Что можно сказать о таких наборах?
Но сначала давайте посмотрим на общую проблему.Из четырех ответов, полученных на Сессии 1, мы уже знаем, что
Посмотрите на A. 4 противоположно 1 и 4 – 1 = 3. 5 противоположно 2 и 5 – 2 = 3. 6 противоположно 3 и 6 – 3 = 3.Вы должны обнаружить, что это верно для всех возможных правильных способов заполнения шести кругов. Разница между противоположным угловым и средним числами такая же. Так что возьмите это, поработайте немного и превратите это в гипотезу.
Гипотеза: набор из шести чисел правильно заполнит шесть кругов тогда и только тогда, когда набор состоит из трех различных пар, имеющих общее различие.
Просто чтобы проверить, что это означает, набор из шести чисел должен иметь форму a, a + d; б, б + г; c, c + d.
Но как это доказать? Что ж, если мы поместим a, b и c в углы, а их пары в противоположном среднем круге, мы получим конфигурацию ниже.
Тогда сумма трех чисел на каждой стороне равна a + b + c + d.Итак, получаем законный набор.
А что, если у нас есть законный набор? Можем ли мы показать, что должно быть возможно разделить их на три пары с общим различием?
Итак, предположим, что у нас есть ответ, подобный тому, который показан на диаграмме выше, где шесть чисел – j, k, m, n, p, r.
Так как у нас три равные суммы, то
j + k + m = m + n + p = p + r + j.
Теперь j + k + m = m + n + p влечет, что j + k = n + p или что j – n = p – k.
И m + n + p = p + r + j означает, что m + n = r + j или j – n = m – r.
Это дает j – n = m – r = p – k. Таким образом, набор состоит из трех различных пар, имеющих общее различие.
Итак, теперь всякий раз, когда мы видим шесть чисел, мы можем сказать, сможем ли мы поместить их в шесть кругов так, чтобы суммы на каждой стороне треугольника были одинаковыми.
Обнаружили ли они какие-либо наборы, кроме линейных комбинаций исходных чисел? Если нет, попросите их попробовать {1, 2, 3, 4, 5, 100} или {1, 2, 3, 4, 5, 6, 50} или {1, 2, 3, 4, 5, 7}.«Вы можете что-нибудь еще придумать?»Откройте для себя и докажите, что в задаче о шести кругах есть только ноль, два или четыре ответа на любой набор из шести чисел.
Предпосылки
Здесь мы рассмотрим вопросы о том, какие наборы дают 1, 2, 3 или 4 ответа.Опять же, для начала следует провести эксперименты, но ключ к разгадке проблемы можно найти в списке свойств ответов из Сессии 1. Помните, что цифра 3 в списке говорит:
Изменение угловых чисел на середину и наоборот превращает один ответ в другой.
В результате нетрудно увидеть, что ответы приходят попарно. Немного сложнее увидеть, какие наборы дают четыре ответа, но оказывается, что четыре ответа можно получить, только если набор представляет собой линейную комбинацию чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Теорема 1. Ответы из набора из шести различных чисел приходят парами.
Доказательство. Предположим, что шесть чисел – это a, a + d, b, b + d, c c + d, и они расположены, как мы делали выше, с a, b, c по углам. Тогда нетрудно увидеть, что мы можем сформировать другой ответ, используя a, b, c в средних кругах и a + d, b + d, c + d, соответственно, напротив них в углах.
Теорема 2. Набор из шести чисел дает четыре ответа тогда и только тогда, когда набор представляет собой линейную комбинацию чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Конечно, если у нас есть такая линейная комбинация, мы можем дать четыре ответа, заменив i в исходных четырех ответах на m + in. Вы можете проверить, что боковые суммы все еще равны. (Обратите внимание, что мы не можем дать здесь более четырех ответов, потому что в противном случае замена m + in на i дала бы нам больше ответов на исходную проблему.
)
Предположим, что шесть чисел – это a, a + d, b, b + d, c, c + d и что a
a + e = c + d: Но поскольку a – наименьшее число, любое другое число в наборе плюс e будет больше, чем c + d. Это невозможно.
a + e = b + d: Очевидно, что d не равно e, иначе a было бы равно b. Теперь есть три возможности: c + d = c + e; c + d = b + e; и c + d = a + d + e. Единственный, который ведет куда-либо, – это c + d = b + e, когда e = 3d, и мы получаем линейную комбинацию a, a + d, a + 2d = b, a + 3d = b + d, a + 4d = c и а + 5д = с + д.
a + e = a + d: Здесь e = d, поэтому c + d = c + e; c + d = b + e; и c + d = b + d + e. Все это ведет к противоречиям или к отсутствию прогресса.
a + e = c: Следовательно, c + d = b + e; c + d = b + d + e; и c + d = a + d + e.
Все это ведет к противоречиям.
a + e = b: Следовательно, c + d = c + e; c + d = b + d + e; и c + d = a + d + e. Единственный, который ведет куда-либо, – это c + d = b + d + e, что дает d = 3e и линейную прогрессию a, a + e = b, a + 2e = c, a + 3e = a + d, a + 4e. = b + d и a + 5e = c + d.
Итак, единственная возможность получить четыре ответа – это когда у нас есть линейная прогрессия.
Прежде всего стоит отметить, что в этом агрегате много работы, и вы можете захотеть отказаться от некоторых вещей. Мы предполагаем, что доказательство случая с четырьмя вариантами ответов может быть тем, что могло бы пройти, поскольку это концептуально сложно. Тем не менее, они могут дойти как минимум до гипотезы о том, что для любого набора из шести чисел существует не более четырех ответов.
Начните урок с того, что попросите их подумать о том, сколько ответов может дать любой набор. Это может быть сделано в рамках всего класса или в их группах.
Как обычно, они должны сначала выдвинуть гипотезу, а затем попытаться найти ее доказательство.
Обсудите их гипотезы всем классом и обсудите, какие методы доказательства можно использовать.
Когда доказательство будет найдено, попросите ученика представить его остальному классу.Пусть критикуют. Если никто не может найти доказательство, даже с вашей помощью, дайте доказательство самостоятельно. Пусть критикуют это. (Это может быть полезно, если вы делаете это из-за странной ошибки, чтобы держать их в напряжении.) Пусть они все напишут доказательство.
Просмотрите и обсудите результаты работы устройства в целом. Что им понравилось? Что было сложно?
К концу этого раздела вы сможете сделать следующее:
Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:
Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:Кроме того, Руководство лаборатории по физике для старших классов рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Круговое и вращательное движение», а также следующие стандарты:
1 Commonly Used Angles in Terms of Degrees and Radians ” data-label=””>[BL] [OL] Проверьте равномерное круговое движение.Попросите учащихся привести примеры кругового движения. Просмотрите линейное ускорение.
В предыдущем разделе мы определили круговое движение. Простейшим случаем кругового движения является равномерное круговое движение, когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью . Обратите внимание, что, в отличие от скорости, линейная скорость объекта при круговом движении постоянно меняется, потому что он всегда меняет направление. Из кинематики мы знаем, что ускорение – это изменение скорости либо по величине, либо по направлению, либо по обоим направлениям. Следовательно, объект, совершающий равномерное круговое движение, всегда ускоряется, даже если величина его скорости постоянна.
Вы сами испытываете это ускорение каждый раз, когда едете в машине на повороте. Если во время поворота удерживать рулевое колесо неподвижно и двигаться с постоянной скоростью, вы совершаете равномерное круговое движение. Вы замечаете ощущение скольжения (или отбрасывания, в зависимости от скорости) от центра поворота. На вас действует не настоящая сила – это происходит только потому, что ваше тело хочет продолжать движение по прямой (согласно первому закону Ньютона), в то время как машина сворачивает с этого прямолинейного пути.Внутри машины создается впечатление, что вас оттесняют от центра поворота. Эта фиктивная сила известна как центробежная сила. Чем резче кривая и чем выше ваша скорость, тем заметнее становится этот эффект.
[BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте круговое движение, привязывая груз к веревке и вращая ее.
Спросите студентов, что произойдет, если вы внезапно перережете веревку? В каком направлении движется объект? Почему? Что это говорит о направлении ускорения? Попросите учащихся привести примеры, когда они столкнулись с центростремительным ускорением.
На рис. 6.7 показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной тангенциальной скорости показано в двух точках на пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости; в этом случае он указывает примерно на центр вращения. (Центр вращения находится в центре круговой траектории). Если мы представим, что ΔsΔs становится все меньше и меньше, тогда ускорение будет направлять точно на к центру вращения, но этот случай трудно изобразить.Мы называем ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, центростремительным ускорением a c , потому что центростремительное означает поиск центра .
Обратите внимание на рисунок 6.7. На рисунке показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью, и направление мгновенной скорости двух точек на траектории. Ускорение происходит в направлении изменения скорости и указывает на центр вращения. Это строго верно только при стремлении ΔsΔs к нулю.
Теперь, когда мы знаем, что центростремительное ускорение направлено к центру вращения, давайте обсудим величину центростремительного ускорения.
Для объекта, движущегося со скоростью v по круговой траектории с радиусом r , величина центростремительного ускорения составляет
Центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (меньший радиус), как вы могли заметить при вождении автомобиля, потому что автомобиль фактически толкает вас к центру поворота.Но немного удивительно, что a c пропорционально квадрату скорости. Это означает, например, что при повороте на 100 км / ч ускорение в четыре раза больше, чем при 50 км / ч.
Мы также можем выразить a c через величину угловой скорости. Подставляя v = rωv = rω в уравнение выше, мы получаем ac = (rω) 2r = rω2ac = (rω) 2r = rω2. Следовательно, величина центростремительного ускорения с точки зрения величины угловой скорости равна
Уравнение, выраженное в форме a c = rω 2 , полезно для решения задач, где вам известна угловая скорость, а не тангенциальная скорость.
В этом моделировании вы экспериментируете с положением, скоростью и ускорением божьей коровки при круговом и эллиптическом движении. Переключите тип движения с линейного на круговое и наблюдайте за векторами скорости и ускорения. Затем попробуйте эллиптическое движение и обратите внимание, как векторы скорости и ускорения отличаются от векторов кругового движения.
Какой угол между ускорением и скоростью при равномерном круговом движении? Какое ускорение испытывает тело при равномерном круговом движении?
[BL] [OL] [AL] Используя ту же демонстрацию, что и раньше, попросите учащихся предсказать отношения между величинами угловой скорости, центростремительного ускорения, массы, центростремительной силы.Предложите студентам поэкспериментировать, используя веревки разной длины и веса.
Поскольку объект при равномерном круговом движении испытывает постоянное ускорение (за счет изменения направления), мы знаем из второго закона движения Ньютона, что на объект должна действовать постоянная чистая внешняя сила.
Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросовом шаре, сила притяжения Земли на Луне, трение между дорогой и шинами автомобиля при движении по кривой или нормальная сила американских горок.
следите за тележкой во время петли.
Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой. Направление центростремительной силы – к центру вращения, такое же, как и для центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила вызывает ускорение массы согласно F net = м a . Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным: a = a c . Следовательно, величина центростремительной силы F c равна Fc = macFc = mac.
Используя две разные формы уравнения для величины центростремительного ускорения, ac = v2 / rac = v2 / r и ac = rω2ac = rω2, мы получаем два выражения, включающих величину центростремительной силы F c . Первое выражение относится к тангенциальной скорости, второе – к угловой скорости: Fc = mv2rFc = mv2r и Fc = mrω2Fc = mrω2.
Обе формы уравнения зависят от массы, скорости и радиуса круговой траектории. Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Второй закон Ньютона также гласит, что объект будет ускоряться в том же направлении, что и чистая сила. По определению центростремительная сила направлена к центру вращения, поэтому объект также будет ускоряться к центру. Прямая линия, проведенная от круговой траектории к центру круга, всегда будет перпендикулярна тангенциальной скорости. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите
Из этого выражения мы видим, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.
Рисунок 6.8 На этом рисунке сила трения f служит центростремительной силой F c . Центростремительная сила перпендикулярна тангенциальной скорости и вызывает равномерное круговое движение.
Чем больше центростремительная сила F c , тем меньше радиус кривизны r и тем острее кривизна. Нижняя кривая имеет ту же скорость v , но большая центростремительная сила F c дает меньший радиус r’r ‘.В этом видео объясняется, почему центростремительная сила создает центростремительное ускорение и равномерное круговое движение. Он также охватывает разницу между скоростью и скоростью и показывает примеры равномерного кругового движения.
Некоторые студенты могут запутаться между центростремительной силой и центробежной силой. Центробежная сила – это не реальная сила, а результат ускоряющейся системы отсчета, такой как вращающийся автомобиль или вращающаяся Земля. Центробежная сила относится к вымышленному центру , убегающему от силы .
Представьте, что вы качаете йойо по вертикальному кругу по часовой стрелке перед собой, перпендикулярно направлению, в которое вы смотрите. Если веревка порвется, когда йо-йо достигнет самого нижнего положения, ближайшего к полу. Что будет с йо-йо после разрыва струны?
Чтобы получить представление о типичных величинах центростремительного ускорения, мы проведем лабораторию по оценке центростремительного ускорения теннисной ракетки, а затем, в нашем первом рабочем примере, сравним центростремительное ускорение автомобиля, огибающего кривую, с ускорением свободного падения.
Для второго рабочего примера мы вычислим силу, необходимую для того, чтобы автомобиль проехал по кривой.
В этом упражнении вы будете измерять качание клюшки для гольфа или теннисной ракетки, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме. Напомним, что уравнение центростремительного ускорения: ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2.
Порядок действий
Какие корректировки пришлось внести вашему партнеру? Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки – это радиус кривизны.Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека. Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению.
Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки – это радиус кривизны. Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека.
Было ли более полезным использовать в этом упражнении уравнение ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2? Почему?
Автомобиль следует кривой радиусом 500 м со скоростью 25,0 м / с (около 90 км / ч). Какова величина центростремительного ускорения автомобиля? Сравните центростремительное ускорение для этой довольно пологой кривой, снятой на скорости по шоссе, с ускорением свободного падения ( g ).
Поскольку дана линейная, а не угловая скорость, наиболее удобно использовать выражение ac = v2rac = v2r, чтобы найти величину центростремительного ускорения.
Решение
Ввод данных значений v = 25,0 м / с и r = 500 м в выражение для a c дает
ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с 2. ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с2.
Обсуждение
Для сравнения с ускорением свободного падения ( g = 9.80 м / с 2 ), берем соотношение ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128 ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128. Следовательно, ac = 0,128gac = 0,128g, что означает, что центростремительное ускорение составляет примерно одну десятую ускорения свободного падения.
Мы знаем, что Fc = mv2rFc = mv2r. Следовательно,
Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н. Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н.На изображении выше показаны силы, действующие на автомобиль при повороте кривой. На этой диаграмме автомобиль движется по странице, как показано, и поворачивает налево.Трение действует влево, ускоряя автомобиль к центру поворота. Поскольку трение является единственной горизонтальной силой, действующей на автомобиль, в этом случае оно обеспечивает всю центростремительную силу. Следовательно, сила трения является центростремительной силой в этой ситуации и направлена к центру кривой.
Обсуждение
Поскольку мы нашли силу трения в части (b), мы также можем найти коэффициент трения, поскольку f = μsN = μsmgf = μsN = μsmg.
Какое центростремительное ускорение ощущают пассажиры автомобиля, движущегося со скоростью 12 м / с по кривой радиусом 2,0 м?
Вычислить центростремительное ускорение объекта, движущегося по траектории с радиусом кривизны 0,2 м и угловой скоростью 5 рад / с.
Что такое равномерное круговое движение?
Что такое центростремительное ускорение?
Существует ли чистая сила, действующая на объект при равномерном круговом движении?
Укажите два примера сил, которые могут вызвать центростремительное ускорение.
Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.
К концу этого раздела вы сможете:
Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное или радиальное ускорение.Вот лишь несколько примеров: натяжение троса на тросовом шаре, сила притяжения Земли на Луне, трение между роликовыми коньками и полом катка, сила наклона проезжей части, действующая на автомобиль, и силы, действующие на трубу вращающейся центрифуги. .
Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой . Направление центростремительной силы – к центру кривизны, то же самое, что и направление центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила равна массе, умноженной на ускорение: чистая F = м a.2} {\ text {F} _c} \\ [/ latex].
Это означает, что при данной массе и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.
Рис. 1. Сила трения обеспечивает центростремительную силу и численно равна ей.
2} {r} \\ [/ latex].2} {\ left (500 \ text {m} \ right)} = 1125 \ text {N} \\ [/ latex].
На рис. 2 показаны силы, действующие на автомобиль на кривой без наклона (ровной поверхности). Трение направлено влево, предотвращая скольжение автомобиля, и поскольку это единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, трение в данном случае является центростремительной силой. Мы знаем, что максимальное статическое трение (при котором шины катятся, но не скользят) составляет μ s N , где μ s – статический коэффициент трения, а N – нормальная сила.Нормальная сила равна весу автомобиля на ровной поверхности, поэтому Н = мг . Таким образом, центростремительная сила в этой ситуации равна
.F c = f = μ s N = μ s мг.
Теперь у нас есть связь между центростремительной силой и коэффициентом трения.
2} {rg} \\ [/ latex].2 \ end {case} \\ [/ latex], потому что даны m, v, и r . Коэффициент трения, указанный в Части 2, намного меньше, чем обычно между шинами и дорогами. Автомобиль по-прежнему будет двигаться по кривой, если коэффициент больше 0,13, потому что трение покоя является реактивной силой, которая может принимать значение меньше, но не больше μ s N . Более высокий коэффициент также позволит автомобилю преодолевать поворот на более высокой скорости, но если коэффициент трения меньше, безопасная скорость будет меньше 25 м / с.Обратите внимание, что масса отменяется, подразумевая, что в этом примере не имеет значения, насколько сильно загружена машина для прохождения поворота. Масса сокращается, потому что трение считается пропорциональным нормальной силе, которая, в свою очередь, пропорциональна массе. Если бы поверхность дороги была наклонной, нормальная сила была бы меньше, как будет описано ниже.
Рис. 2. Этот автомобиль на ровной поверхности движется в сторону и поворачивает налево. Центростремительная сила, заставляющая автомобиль вращаться по круговой траектории, возникает из-за трения между шинами и дорогой.Требуется минимальный коэффициент трения, иначе автомобиль будет двигаться по кривой с большим радиусом и съезжать с проезжей части.
Давайте теперь рассмотрим кривых с наклоном , где наклон дороги помогает вам преодолевать кривую. См. Рис. 3. Чем больше угол θ , тем быстрее вы сможете повернуть кривую. Например, гоночные трассы для велосипедов и автомобилей часто имеют крутые повороты. На «кривой с идеальным наклоном» угол θ таков, что вы можете преодолевать поворот на определенной скорости без помощи трения между шинами и дорогой.Мы получим выражение для θ для кривой с идеальным наклоном и рассмотрим пример, связанный с ним.
Для с идеальным креном чистая внешняя сила равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения.
Составляющие нормальной силы N в горизонтальном и вертикальном направлениях должны равняться центростремительной силе и массе автомобиля соответственно. В случаях, когда силы не параллельны, удобнее всего рассматривать компоненты вдоль перпендикулярных осей – в данном случае – в вертикальном и горизонтальном направлениях.
На рис. 3 показана диаграмма свободного кузова автомобиля на кривой без трения с креном. Если угол θ идеально подходит для скорости и радиуса, тогда чистая внешняя сила будет равна необходимой центростремительной силе. Единственные две внешние силы, действующие на автомобиль, – это его вес w и нормальная сила дороги N . (Поверхность без трения может оказывать только силу, перпендикулярную поверхности, то есть нормальную силу.) Эти две силы должны складываться, чтобы получить чистую внешнюю силу, горизонтальную по направлению к центру кривизны и имеющую величину mv 2 / r .2} {r} \\ [/ латекс].
Поскольку автомобиль не выезжает за пределы дороги, чистая вертикальная сила должна быть равна нулю, что означает, что вертикальные составляющие двух внешних сил должны быть равны по величине и противоположны по направлению.
Из рисунка видно, что вертикальная составляющая нормальной силы составляет Н cos θ , а единственная другая вертикальная сила – это вес автомобиля. Они должны быть равными по величине; таким образом, N cos θ = мг.
Теперь мы можем объединить последние два уравнения, чтобы исключить N и получить выражение для θ , если хотите.2} {rg} \ right) \\ [/ latex] (кривая с идеальным наклоном, без трения).
Это выражение можно понять, рассмотрев, как θ зависит от v и r . Большой θ будет получен для большого v и маленького r . То есть дороги должны быть крутыми для высоких скоростей и крутых поворотов. Трение помогает, потому что оно позволяет вам двигаться по кривой с большей или меньшей скоростью, чем если бы по кривой не было трения. Обратите внимание, что θ не зависит от массы автомобиля.
Рис. 3. Автомобиль на этой кривой с наклоном удаляется и поворачивает налево.
Кривые на некоторых испытательных треках и гоночных трассах, таких как Международная гоночная трасса Дейтона во Флориде, имеют очень крутой уклон. Этот крен с помощью трения шин и очень стабильной конфигурации автомобиля позволяет преодолевать повороты на очень высокой скорости. Чтобы проиллюстрировать это, вычислите скорость, с которой кривая радиусом 100 м переходит в угол 65.{1/2} \\\ text {} = 45.8 \ end {array} \\ [/ latex]
Это примерно 165 км / ч, что соответствует очень крутому и довольно крутому повороту. Трение в шинах позволяет автомобилю преодолевать поворот на значительно более высоких скоростях.
Расчеты, аналогичные приведенным в предыдущих примерах, могут быть выполнены для множества интересных ситуаций, в которых задействована центростремительная сила – некоторые из них представлены в разделе «Задачи и упражнения» этой главы.
Попросите друга или родственника раскачать клюшку для гольфа или теннисную ракетку.
Выполните соответствующие измерения, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме.
Переместите солнце, землю, луну и космическую станцию, чтобы увидеть, как они влияют на их гравитационные силы и орбитальные пути. Визуализируйте размеры и расстояния между разными небесными телами и выключите гравитацию, чтобы увидеть, что бы произошло без нее!
Щелкните изображение, чтобы загрузить моделирование.2 \ end {case} \\ [/ latex]
Рис. 7. Показаны два пути вокруг кривой гоночной трассы. Водители гоночных автомобилей будут выбирать внутренний путь (называемый срезанием угла), когда это возможно, потому что это позволяет им двигаться по повороту на максимальной скорости.
Рис. 8. Аттракционы с вертикальной петлей являются примером формы движения по кривой.
Рис. 9. Ребенок, едущий на карусели, выпускает свой ланч-бокс в точке P.
Это вид сверху на вращение по часовой стрелке. Если предположить, что он скользит с незначительным трением, будет ли он следовать по пути A, B или C, если смотреть из системы координат Земли? Какой формы будет дорожка, которую она оставит в пыли на карусели?
Рис. 10. Масса, прикрепленная к гвоздю на столе без трения, движется по круговой траектории.
Сила, натягивающая струну, реальна, а не выдумана. Каково физическое происхождение силы, действующей на струну?
2} {rg} \\ [/ latex]; (b) Вычислите θ для 12.0 м / с разворот радиусом 30,0 м (как в гонке).Рис. 6. 4. Велосипедист, преодолевая поворот на ровной поверхности, должен наклоняться под правильным углом – способность сделать это становится инстинктивной. Сила земли на колесе должна быть на линии, проходящей через центр тяжести. Чистая внешняя сила, действующая на систему, – это центростремительная сила. Вертикальная составляющая силы на колесе компенсирует вес системы, в то время как ее горизонтальная составляющая должна обеспечивать центростремительную силу. Этот процесс обеспечивает взаимосвязь между углом θ , скоростью v и радиусом кривизны r поворота, аналогичную зависимости для идеального наклона проезжей части.
Под каким углом θ ниже горизонтали будет висеть клетка при центростремительном ускорении 10 g? (Подсказка: рычаг обеспечивает центростремительную силу и поддерживает вес клетки.Нарисуйте диаграмму сил свободного тела, чтобы увидеть, каким должен быть угол θ .)Рис. 5. (a) Центрифуга НАСА, используемая для того, чтобы подвергать обучаемых ускорениям, аналогичным тем, которые испытывали при запуске и возвращении ракет. (кредит: НАСА) (б) Всадник в клетке показывает, как клетка поворачивается наружу во время вращения. Это позволяет всей силе, действующей на всадника со стороны клетки, всегда находиться вдоль его оси.
Радиус кривизны вверху меньше, чем по бокам, поэтому центростремительное ускорение вниз вверху будет больше, чем ускорение свободного падения, удерживая пассажиров плотно прижат к своим местам.Какова скорость американских горок в верхней части петли, если радиус кривизны там 15,0 м, а ускорение машины вниз составляет 1,50 g?Рис. 6. Петли в форме капли используются в последних американских горках, так что радиус кривизны постепенно уменьшается до минимума наверху. Это означает, что центростремительное ускорение увеличивается от нуля до максимума наверху и снова постепенно уменьшается. Круговая петля может вызвать резкое изменение ускорения при въезде – недостаток, обнаруженный давно при проектировании кривых железных дорог.Благодаря небольшому радиусу кривизны в верхней части, центростремительное ускорение легче поддерживать на уровне более g , так что пассажиры не теряют контакт со своими сиденьями и не нуждаются в ремнях безопасности, чтобы удерживать их на месте.
(a) Вычислите минимальный коэффициент трения, необходимый для автомобиля, чтобы преодолеть кривую радиуса 50,0 м без кренов со скоростью 30,0 м / с. б) Что неразумного в результате? (c) Какие посылки необоснованны или противоречивы?центростремительная сила: любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение
идеальный крен: наклон кривой дороги, где угол наклона позволяет транспортному средству преодолевать поворот с определенной скоростью без помощи трения между шинами и дорогой; чистая внешняя сила на транспортном средстве равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения
идеальная скорость: максимальная безопасная скорость, при которой транспортное средство может повернуть на повороте без трения между шиной и дорогой
идеальный угол: угол, под которым автомобиль может безопасно повернуть на крутой кривой, который пропорционален идеальной скорости
кривая с наклоном: кривая дороги с уклоном, помогающим автомобилю преодолевать кривую
1.
а) 483 Н; (b) 17,4 Н; (c) в 2,24 раза больше ее веса, в 0,0807 раза больше ее веса
3. 4.14º
5. (а) 24,6 м; (б) 36,6 м / с 2 ; (c) a c = 3,73 г. Это не кажется слишком большим, но очевидно, что бобслеисты ощущают на себе большую силу на крутых поворотах.
7. (а) 2,56 рад / с; (б) 5,71º
8. (а) 16,2 м / с; (б) 0,234
10. (а) 1,84; b) коэффициент трения, намного превышающий единицу, является необоснованным; (c) Предполагаемая скорость слишком велика для крутого поворота.
К концу раздела вы сможете:
В «Движении в двух и трех измерениях» мы рассмотрели основные концепции кругового движения.
{2}. [/ латекс]
Угловая скорость – это скорость, с которой объект поворачивает по кривой, в рад / с. Это ускорение действует по радиусу криволинейной траектории и поэтому также называется радиальным ускорением.
Ускорение должно производиться силой. Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное или радиальное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение троса на тросовом шаре, сила притяжения Земли на Луне, трение между роликовыми коньками и полом катка, сила наклона проезжей части, действующая на автомобиль, и силы, действующие на трубу вращающейся центрифуги. .Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой . Направление центростремительной силы – к центру кривизны, то же самое, что и направление центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила равна массе, умноженной на ускорение: [latex] {F} _ {\ text {net}} = ma. [/ latex] Для равномерного кругового движения ускорение центростремительное: .
[латекс] a = {a} _ {\ text {c}}. [/ latex] Таким образом, величина центростремительной силы [latex] {F} _ {\ text {c}} [/ latex] равна
[латекс] {F} _ {\ text {c}} = m {a} _ {\ text {c}}.{2}} {{F} _ {\ text {c}}}. [/ латекс]
Это означает, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть крутой изгиб, как на (Рисунок).
Рисунок 6.20 Сила трения обеспечивает центростремительную силу и численно равна ей. Центростремительная сила перпендикулярна скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше [латекс] {F} _ {\ text {c}}, [/ latex], тем меньше радиус кривизны r и тем острее кривизна.Вторая кривая имеет то же v, но больший [латекс] {F} _ {\ text {c}} [/ latex] дает меньшее r ‘.
(a) Рассчитайте центростремительную силу, действующую на автомобиль массой 900,0 кг, который преодолевает кривую радиусом 500,0 м со скоростью 25,00 м / с.
(b) Предполагая, что кривая без кренована, найдите минимальный статический коэффициент трения между шинами и дорогой, при этом статическое трение является причиной, препятствующей скольжению автомобиля ((Рисунок)).{2}} {(500.0 \, \ text {m})} = 1125 \, \ text {N} \ text {.} [/ Latex]
(Поскольку коэффициенты трения являются приблизительными, ответ дается только двумя цифрами.)
Коэффициент трения, указанный на (Рисунок) (b), намного меньше, чем обычно наблюдается между шинами и дорогой.
Автомобиль по-прежнему движется по кривой, если коэффициент больше 0,13, потому что статическое трение является реактивной силой, способной принимать значение меньше, но не больше [latex] {\ mu} _ {\ text {s}} N. [/ latex] Более высокий коэффициент также позволит автомобилю преодолевать поворот на более высокой скорости, но если коэффициент трения меньше, безопасная скорость будет меньше 25 м / с.Обратите внимание, что масса отменяется, подразумевая, что в этом примере не имеет значения, насколько сильно загружена машина для прохождения поворота. Масса сокращается, потому что трение считается пропорциональным нормальной силе, которая, в свою очередь, пропорциональна массе. Если бы поверхность дороги была наклонной, нормальная сила была бы меньше, как обсуждается далее.
Автомобиль, движущийся со скоростью 96,8 км / ч, движется по круговой кривой радиусом 182,9 м по ровной проселочной дороге. Какой должен быть минимальный коэффициент статического трения, чтобы автомобиль не скользил?
Давайте теперь рассмотрим кривых с наклоном , где уклон дороги помогает вам преодолевать кривую ((Рисунок)).
Чем больше угол [латекс] \ тета [/ латекс], тем быстрее вы сможете пройти кривую. Например, гоночные трассы для велосипедов и автомобилей часто имеют крутые повороты. В «идеально наклонной кривой» угол [латекс] \ тета [/ латекс] таков, что вы можете преодолевать кривую на определенной скорости без помощи трения между шинами и дорогой. Мы выведем выражение для [latex] \ theta [/ latex] для кривой с идеальным наклоном и рассмотрим пример, связанный с этим.
Рисунок 6.22 Автомобиль на этом крутом повороте уезжает и поворачивает налево.
Для perfect bank чистая внешняя сила равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения. Составляющие нормальной силы N в горизонтальном и вертикальном направлениях должны равняться центростремительной силе и массе автомобиля соответственно. В случаях, когда силы не параллельны, удобнее всего рассматривать компоненты вдоль перпендикулярных осей – в данном случае – в вертикальном и горизонтальном направлениях.
(рисунок) показывает диаграмму свободного тела для автомобиля на кривой без трения с наклоном. Если угол [латекс] \ тета [/ латекс] идеален для скорости и радиуса, то чистая внешняя сила равна необходимой центростремительной силе. Единственными двумя внешними силами, действующими на автомобиль, являются его вес [латекс] \ overset {\ to} {w} [/ latex] и нормальная сила дороги [латекс] \ overset {\ to} {N}. [/ latex] (Поверхность без трения может проявлять только силу, перпендикулярную поверхности, то есть нормальную силу.{2}} {r}. [/ латекс]
Поскольку автомобиль не выезжает за пределы дороги, чистая вертикальная сила должна быть равна нулю, что означает, что вертикальные составляющие двух внешних сил должны быть равны по величине и противоположны по направлению. Из (Рисунок) мы видим, что вертикальная составляющая нормальной силы равна [latex] N \, \ text {cos} \, \ theta, [/ latex], а единственная другая вертикальная сила – это вес автомобиля. Они должны быть равными по величине; таким образом,
[латекс] N \, \ text {cos} \, \ theta = мг.
{2}} {rg}). [/ латекс]
Это выражение можно понять, рассмотрев, как [латекс] \ theta [/ latex] зависит от v и r . Большой [латекс] \ theta [/ latex] получается для большого v и маленького r. То есть дороги должны иметь крутой уклон для высоких скоростей и крутых поворотов. Трение помогает, потому что оно позволяет вам двигаться по кривой с большей или меньшей скоростью, чем если бы по кривой не было трения. Обратите внимание, что [latex] \ theta [/ latex] не зависит от массы автомобиля.
Кривые на некоторых испытательных треках и гоночных трассах, таких как Международная гоночная трасса Дейтона во Флориде, имеют очень крутой наклон. Этот крен с помощью трения шин и очень стабильной конфигурации автомобиля позволяет преодолевать повороты на очень высокой скорости. Чтобы проиллюстрировать это, вычислите скорость, с которой следует двигаться по кривой радиусом 100,0 м с наклоном [латекс] 31,0 \ text {°} [/ latex], если дорога не имеет трения.{2}) (0.609)} = 24,4 \, \ text {m / s} \ text {.} [/ Latex]
Это примерно 165 км / ч, что соответствует очень крутому и довольно крутому повороту. Трение в шинах позволяет автомобилю преодолевать поворот на значительно более высоких скоростях.
Самолеты также совершают развороты по крену. Подъемная сила, создаваемая силой воздуха, воздействующего на крыло, действует под прямым углом к крылу. Когда самолет кренится, пилот получает большую подъемную силу, чем необходимо для горизонтального полета. Вертикальная составляющая подъемной силы уравновешивает вес самолета, а горизонтальная составляющая ускоряет самолет.Угол крена, показанный на (Рисунок), определяется соотношением [латекс] \ тета [/ латекс]. Мы анализируем силы так же, как и в случае поворота автомобиля по кривой.
Рис. 6.23 При повороте крена горизонтальная составляющая подъемной силы неуравновешивается и ускоряет самолет. Обычный компонент подъемной силы уравновешивает вес самолета. Угол крена определяется [латексом] \ тета [/ латексом]. Сравните векторную диаграмму с диаграммой, показанной на (Рисунок).
Что общего у взлета на реактивном самолете, поворота на автомобиле, езды на карусели и кругового движения тропического циклона? Каждый из них проявляет силы инерции – силы, которые кажутся просто возникающими в результате движения, потому что система отсчета наблюдателя ускоряется или вращается.При взлете на реактивном самолете большинство людей согласятся, что создается ощущение, будто вас толкают обратно в кресло, когда самолет ускоряется по взлетно-посадочной полосе. Однако физик сказал бы, что вы, , склонны оставаться неподвижными, в то время как сиденье толкает вас вперед. Еще более распространенный опыт происходит, когда вы делаете крутой поворот на своей машине, скажем, вправо ((рисунок)). Вы чувствуете, как будто вас отбрасывает (то есть принудительно ) влево относительно машины. Опять же, физик сказал бы, что вы, , едете по прямой (вспомните первый закон Ньютона), но вагон движется вправо, а не то, что вы испытываете силу слева.
Рис. 6.24 (a) Водитель автомобиля чувствует, что его заставляют двигаться влево по отношению к автомобилю, когда он делает поворот направо. Это инерционная сила, возникающая в результате использования автомобиля в качестве системы отсчета. (б) В земной системе координат водитель движется по прямой, подчиняясь первому закону Ньютона, и машина движется вправо. Слева от водителя относительно Земли нет силы. Вместо этого справа на машине есть сила, заставляющая ее повернуть.
Мы можем согласовать эти точки зрения, исследуя используемые системы координат.Давайте сконцентрируемся на людях в машине. Пассажиры инстинктивно используют автомобиль в качестве ориентира, в то время как физик может использовать Землю. Физик мог бы сделать этот выбор, потому что Земля представляет собой почти инерциальную систему отсчета, в которой все силы имеют идентифицируемое физическое происхождение. В такой системе отсчета законы движения Ньютона принимают форму, данную в Законах движения Ньютона. Автомобиль представляет собой неинерциальную систему отсчета , потому что он ускоряется в сторону. Сила слева, воспринимаемая пассажирами автомобиля, – это сила инерции , не имеющая физического происхождения (она возникает исключительно из-за инерции пассажира, а не из-за какой-либо физической причины, такой как напряжение, трение или гравитация).Автомобиль, как и водитель, действительно ускоряется вправо. Эта сила инерции называется силой инерции, потому что она не имеет физического происхождения, такого как гравитация.
Физик выберет ту систему отсчета, которая наиболее удобна для анализируемой ситуации. Для физика нетрудно включить силы инерции и второй закон Ньютона, как обычно, если это удобнее, например, на карусели или на вращающейся планете. Неинерциальные (ускоренные) системы отсчета используются, когда это полезно.При обсуждении движения космонавта в космическом корабле, движущемся со скоростью, близкой к скорости света, необходимо учитывать различные системы отсчета, как вы это поймете при изучении специальной теории относительности.
Давайте теперь мысленно прокатимся на карусели, а именно на быстро вращающейся карусели на игровой площадке ((Рисунок)). Вы берете карусель в качестве системы отсчета, потому что вы вращаетесь вместе. Вращаясь в этой неинерциальной системе отсчета, вы чувствуете инерционную силу, которая имеет тенденцию сбивать вас с толку; это часто называют центробежной силой (не путать с центростремительной силой).Центробежная сила – это широко используемый термин, но на самом деле его не существует. Вы должны держаться крепче, чтобы противодействовать своей инерции (которую люди часто называют центробежной силой). В системе отсчета Земли нет силы, пытающейся сбить вас с толку; мы подчеркиваем, что центробежная сила – это фикция. Вы должны держаться, чтобы заставить себя двигаться по кругу, потому что в противном случае вы бы пошли по прямой, прямо с карусели, в соответствии с первым законом Ньютона. Но сила, которую вы прикладываете, действует к центру круга.
Рис. 6.25 (a) Всадник на карусели чувствует себя так, как будто его сбивают с толку. Эту инерционную силу иногда ошибочно называют центробежной силой, пытаясь объяснить движение всадника во вращающейся системе отсчета. (б) В инерциальной системе отсчета и согласно законам Ньютона его уносит именно его инерция (у незатененного всадника [латекс] {F} _ {\ text {net}} = 0 [/ latex] и головы по прямой). Сила, [латекс] {F} _ {\ text {centripetal}} [/ latex], необходима для создания кругового пути.
Этот инерционный эффект, уносящий вас от центра вращения, если нет центростремительной силы, вызывающей круговое движение, хорошо используется в центрифугах ((Рисунок)). Центрифуга вращает образец очень быстро, как упоминалось ранее в этой главе. Если смотреть из вращающейся системы координат, сила инерции выбрасывает частицы наружу, ускоряя их осаждение. Чем больше угловая скорость, тем больше центробежная сила. Но на самом деле происходит то, что инерция частиц переносит их по линии, касательной к окружности, в то время как пробирка движется по круговой траектории под действием центростремительной силы.
Рисунок 6.26 Центрифуги выполняют свою задачу по инерции. Частицы в жидком осадке оседают, потому что их инерция уносит их от центра вращения. Большая угловая скорость центрифуги ускоряет осаждение. В конечном итоге частицы контактируют со стенками пробирки, которые затем создают центростремительную силу, необходимую для их движения по кругу постоянного радиуса.
Давайте теперь рассмотрим, что происходит, если что-то движется во вращающейся системе отсчета.Например, что, если вы сдвинете мяч прямо от центра карусели, как показано на (Рисунок)? Мяч движется по прямой относительно Земли (при незначительном трении) и по изогнутой вправо траектории на поверхности карусели. Человек, стоящий рядом с каруселью, видит, как мяч движется прямо, а под ним вращается карусель. В системе отсчета карусели мы объясняем кажущуюся кривую вправо с помощью силы инерции, называемой силой Кориолиса , которая заставляет мяч изгибаться вправо.Сила Кориолиса может использоваться кем угодно в этой системе отсчета, чтобы объяснить, почему объекты следуют изогнутыми путями, и позволяет нам применять законы Ньютона в неинерциальных системах отсчета.
Рис. 6.27 Глядя вниз на вращение карусели против часовой стрелки, мы видим, что шар, скользящий прямо к краю, следует по траектории, изогнутой вправо. Человек перемещает мяч в направлении точки B, начиная с точки A. Обе точки поворачиваются в затемненные положения (A ‘и B’), показанные в то время, когда мяч следует изогнутой траектории во вращающейся рамке и прямой траектории в системе координат Земли. .
До сих пор мы считали Землю инерциальной системой отсчета, почти не беспокоясь о эффектах, связанных с ее вращением. Однако такие эффекты действительно существуют – например, во вращении погодных систем. Большинство последствий вращения Земли качественно можно понять по аналогии с каруселью. Если смотреть сверху на Северный полюс, Земля вращается против часовой стрелки, как и карусель на (Рисунок). Как и на карусели, любое движение в северном полушарии Земли испытывает силу Кориолиса вправо.Прямо противоположное происходит в Южном полушарии; там сила слева. Поскольку угловая скорость Земли мала, силой Кориолиса обычно можно пренебречь, но для крупномасштабных движений, таких как характер ветра, она оказывает существенное влияние.
Сила Кориолиса заставляет ураганы в Северном полушарии вращаться против часовой стрелки, тогда как тропические циклоны в Южном полушарии вращаются по часовой стрелке. (Термины ураган, тайфун и тропический шторм являются региональными названиями циклонов, которые представляют собой штормовые системы, характеризующиеся центрами низкого давления, сильными ветрами и проливными дождями.) (Рисунок) помогает показать, как происходят эти вращения. Воздух течет в любую область низкого давления, а тропические циклоны имеют особенно низкое давление. Таким образом, ветры движутся к центру тропического циклона или погодной системы низкого давления на поверхности. В Северном полушарии эти внутренние ветры отклоняются вправо, как показано на рисунке, создавая циркуляцию против часовой стрелки на поверхности для зон низкого давления любого типа. Низкое давление на поверхности связано с поднимающимся воздухом, который также вызывает охлаждение и образование облаков, что делает картины низкого давления вполне заметными из космоса.И наоборот, циркуляция ветра вокруг зон высокого давления в Южном полушарии происходит по часовой стрелке, но она менее заметна, потому что высокое давление связано с опусканием воздуха, обеспечивающим чистое небо.
Рис. 6.28 (a) Вращение этого урагана в Северном полушарии против часовой стрелки является главным следствием силы Кориолиса. (б) Без силы Кориолиса воздух поступал бы прямо в зону низкого давления, например, в тропических циклонах. (c) Сила Кориолиса отклоняет ветер вправо, производя вращение против часовой стрелки.(d) Ветер, выходящий из зоны высокого давления, также отклоняется вправо, вызывая вращение по часовой стрелке. (e) Противоположное направление вращения создается силой Кориолиса в Южном полушарии, что приводит к тропическим циклонам. (кредит а и кредит е: модификации работы НАСА)
Вращение тропических циклонов и траектория шара на карусели также могут быть объяснены инерцией и вращением системы под ним. Когда используются неинерциальные системы отсчета, должны быть изобретены силы инерции, такие как сила Кориолиса, чтобы объяснить искривленную траекторию.Физического источника этих сил инерции нет. В инерциальной системе отсчета инерция объясняет путь, и не обнаруживается сила без идентифицируемого источника. Любая точка зрения позволяет нам описывать природу, но взгляд в инерциальной системе отсчета является самым простым в том смысле, что все силы имеют истоки и объяснения.
Если вы хотите уменьшить нагрузку (которая связана с центростремительной силой) на высокоскоростные шины, вы бы использовали шины большого или малого диаметра? Объяснять.
Определите центростремительную силу. Может ли сила любого типа (например, натяжение, сила тяжести, трение и т. Д.) Быть центростремительной силой? Может ли любое сочетание сил быть центростремительной силой?
Показать решениеЦентростремительная сила определяется как любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение. Центростремительная сила – это не новый вид силы. Обозначение «центростремительная» относится к любой силе , которая заставляет что-то вращаться по кругу. Эта сила может быть напряжением, гравитацией, трением, электрическим притяжением, нормальной силой или любой другой силой.Любая их комбинация может быть источником центростремительной силы, например, центростремительная сила в верхней части траектории троса, проходящего через вертикальный круг, является результатом как напряжения, так и силы тяжести.
Если центростремительная сила направлена к центру, почему вы чувствуете, что вас «отбрасывает» от центра, когда машина движется по кривой? Объяснять.
Водители гоночных автомобилей обычно срезают углы, как показано ниже (Путь 2). Объясните, как это позволяет снимать кривую с максимальной скоростью.{2}} {r} [/ latex] где v – скорость, а r – радиус кривизны. Таким образом, уменьшая кривизну (1 / r) пути, по которому движется автомобиль, мы уменьшаем силу, которую шины должны оказывать на дорогу, что означает, что теперь мы можем увеличить скорость v. вид водителя на Пути 1, мы можем рассуждать так: чем круче поворот, тем меньше радиус поворота; чем меньше диаметр поворота, тем больше требуется центростремительная сила. Если эта центростремительная сила не действует, результатом будет занос.
Во многих парках развлечений есть аттракционы с вертикальными петлями, как показано ниже. В целях безопасности автомобили прикреплены к рельсам таким образом, чтобы они не могли упасть. Если автомобиль преодолевает вершину с правильной скоростью, только сила тяжести будет обеспечивать центростремительную силу. Какая еще сила действует и в каком направлении, если:
(a) Автомобиль преодолевает вершину быстрее этой скорости?
(b) Автомобиль переезжает через вершину со скоростью ниже этой?
Что заставляет воду удаляться с одежды в центрифуге?
Показать решениеЦилиндр сушилки создает центростремительную силу на одежде (включая капли воды), заставляя ее двигаться по круговой траектории.Когда капля воды попадает в одно из отверстий бочки, она перемещается по касательной к окружности.
Когда фигурист образует круг, какая сила отвечает за его поворот? Используйте в своем ответе диаграмму свободного тела.
Предположим, что ребенок едет на карусели примерно на полпути между ее центром и краем. У нее есть коробка для завтрака, покоящаяся на вощеной бумаге, так что между ней и каруселью очень мало трения. По какому пути, показанному ниже, пойдет коробка с обедом, когда она отпустит? Ланч-бокс оставляет след в пыли на карусели.Эта тропа прямая, изогнута влево или вправо? Поясните свой ответ.
Показать решениеЕсли нет трения, значит и центростремительной силы нет. Это означает, что коробка для завтрака будет двигаться по касательной к кругу и, таким образом, следует по пути B. След пыли будет прямым. Это результат первого закона движения Ньютона.
Чувствуете ли вы, что вас бросает в любую сторону, когда вы проезжаете поворот, идеально подходящий для скорости вашего автомобиля? В каком направлении на вас действует автокресло?
Предположим, что масса движется по круговой траектории на столе без трения, как показано ниже.В земной системе координат центробежная сила, оттягивающая массу от центра вращения, отсутствует, но есть сила, растягивающая нить, прикрепляющую массу к гвоздю. Используя концепции, связанные с центростремительной силой и третьим законом Ньютона, объясните, какая сила натягивает струну, указав ее физическое происхождение.
Показать решениеДля поддержания кругового движения должна быть центростремительная сила; это обеспечивается гвоздем в центре. Третий закон Ньютона объясняет это явление.Сила воздействия – это сила струны, действующая на массу; сила реакции – это сила массы, действующая на струну. Эта сила реакции заставляет струну растягиваться.
Когда сливают унитаз или слив из раковины, вода (и другие материалы) по пути вниз начинает вращаться вокруг слива. Предполагая, что начального вращения нет и поток изначально направлен прямо к водостоку, объясните, что вызывает вращение и какое направление оно имеет в Северном полушарии. (Обратите внимание, что это небольшой эффект, и в большинстве туалетов вращение вызывается направленными водяными струями.) Изменилось бы направление вращения, если бы вода была направлена в канализацию?
Автомобиль объезжает поворот и наталкивается на кусок льда с очень низким коэффициентом кинетической фиксации. Автомобиль съезжает с дороги. Опишите путь, по которому машина съезжает с дороги.
Показать решениеПоскольку радиальное трение с шинами обеспечивает центростремительную силу, а трение почти равно нулю, когда автомобиль встречается со льдом, автомобиль подчиняется первому закону Ньютона и съезжает с дороги по прямой, касательной к кривой.Распространенное заблуждение состоит в том, что автомобиль будет двигаться по извилистой дороге за пределами дороги.
Во время одной поездки в парке развлечений всадники входят в большую вертикальную бочку и становятся у стены на ее горизонтальном полу. Бочка раскручивается, и пол падает. Всадники чувствуют себя так, как будто они прижаты к стене силой, похожей на силу гравитации. Это сила инерции, которую всадники воспринимают и используют для объяснения событий во вращающейся системе отсчета ствола. Объясните в инерциальной системе отсчета (Земля почти такая), что прижимает всадников к стене, и определите все силы, действующие на них.{2} [/ латекс]. Свободное падение не зависит от стоимости г ; то есть вы можете испытать свободное падение на Марсе, если спрыгнете с Олимпа (самого высокого вулкана в Солнечной системе).
Невращающаяся система отсчета, помещенная в центр Солнца, очень близка к инерциальной. Почему это не совсем инерциальная система отсчета?
(a) Ребенок весом 22,0 кг катается на детской карусели, вращающейся со скоростью 40,0 об / мин. Какая центростремительная сила действует, если он равен 1.25 м от центра? (b) Какая центростремительная сила действует, если карусель вращается со скоростью 3,00 об / мин и находится на расстоянии 8,00 м от ее центра? (c) Сравните каждую силу с его весом.
Показать решениеа. 483 Н; б. 17,4 Н; c. 2,24, 0,0807
Рассчитайте центростремительную силу на конце лопасти ветряной турбины радиусом 100 м, которая вращается со скоростью 0,5 об / с. Предположим, что масса 4 кг.
Каков идеальный угол крена для пологого поворота радиусом 1,20 км на шоссе с ограничением скорости 105 км / ч (около 65 миль / ч), если все едут на пределе?
Показать решение[латекс] 4.{2}; [/ латекс] c. 3,73 раза г
Часть езды на велосипеде включает в себя наклон под правильным углом при повороте, как показано ниже. Чтобы быть стабильным, сила, действующая на землю, должна быть на линии, проходящей через центр тяжести. Сила, действующая на колесо велосипеда, может быть разделена на две перпендикулярные составляющие: трение параллельно дороге (оно должно обеспечивать центростремительную силу) и вертикальную нормальную силу (которая должна равняться весу системы). (a) Покажите, что [латекс] \ theta [/ latex] (как показано на рисунке) связан со скоростью v и радиусом кривизны r поворота таким же образом, как и для проезжей части с идеальным уклоном – что это, [латекс] \ theta = {\ text {tan}} ^ {- 1} ({v} ^ {2} \ text {/} rg).[/ latex] (b) Рассчитайте [latex] \ theta [/ latex] для поворота со скоростью 12,0 м / с и радиусом 30,0 м (как в гонке).
Если автомобиль движется по крутой кривой на скорости ниже идеальной, необходимо трение, чтобы не допустить скольжения внутрь поворота (проблема на обледенелых горных дорогах). (a) Рассчитайте идеальную скорость для получения кривой радиусом 100,0 м с наклоном [латекс] 15,0 \ text {°} [/ latex]. (б) Каков минимальный коэффициент трения, необходимый испуганному водителю, чтобы пройти ту же кривую при 20?0 км / ч?
Современные американские горки имеют вертикальные петли, подобные показанной здесь. Радиус кривизны вверху меньше, чем по бокам, так что центростремительное ускорение вниз вверху будет больше, чем ускорение силы тяжести, удерживая пассажиров плотно прижатыми к своим сиденьям. (a) Какова скорость американских горок в верхней части петли, если радиус кривизны там 15,0 м, а ускорение машины вниз составляет 1,50 г ? (b) На какой высоте над вершиной петли американские горки должны начинаться из состояния покоя, если трение пренебрежимо мало? (c) Если он действительно запускается 5.{3} \, \ text {kg} [/ латекс].
Ребенок массой 40,0 кг находится в машине с американскими горками, которая движется по петле радиусом 7,00 м. В точке А скорость автомобиля составляет 10,0 м / с, а в точке B – 10,5 м / с. Предположим, что ребенок не держится и не пристегнут ремнем безопасности. (а) Какова сила автомобильного кресла, воздействующая на ребенка в точке А? (b) Какое усилие автомобильного кресла действует на ребенка в точке B? (c) Какая минимальная скорость требуется, чтобы удерживать ребенка на сиденье в точке A?
Показать решениеа.{8} \, \ text {m / s} \ text {.} [/ Latex]) (б) Какая сила действует на протоны?
Автомобиль объезжает кривую без кренов радиусом 65 м. Если коэффициент статического трения между дорогой и автомобилем составляет 0,70, какова максимальная скорость, с которой автомобиль преодолевает поворот без проскальзывания?
Автодорога с наклоном предназначена для движения со скоростью 90,0 км / ч. Радиус поворота 310 м. Какой угол наклона шоссе?
В вашем вопросе есть ряд концептуальных ошибок.
В математике, насколько я знаю, нельзя разделить 100% на 3, не имея 0,1 …%.
В математике «100%» означает не больше и не меньше, чем «100 на 100», а именно «100/100 = 1 $. Таким образом, в математике вы можете разделить 100 \% $ на 3 $, не имея 0,1 \% $. слева. $ 100 \% / 3 = 1/3 = \ frac13 $.
Представьте себе яблоко, которое было клонировано два раза, поэтому два других полностью равны по «качеству». Сумма 3 яблок составляет 100%.Теперь вы можете разделить эти 3 яблока на 3 человека, и вы получите 100%, разделенные на 3, и ничего не останется.
Здесь вы правильно заметили, что если вы рассматриваете группу из 3 одинаковых яблок и считаете эти яблоки за 100%, то вы можете разделить эту группу на 3 (равные) части, и не останется ни одной. Как объяснялось выше, это не противоречит «делению 100% на 3».
Это потому, что 1: математика нереальна 2: нет 1 или 2, и на самом деле это просто изобретение для измерений? Итак, деление 100% на 3 БЕЗ каких-либо остатков – это НЕ правильно?
№
Математика, относящаяся к целым числам, рациональным числам и действительным числам, очень реальна , в том смысле, что, используя чисто логические рассуждения , мы можем с помощью математических аксиом строго и недвусмысленно доказать многие утверждения о целых, рациональных и действительных числах, которые можно интерпретировать как утверждения о явлениях реального мира, и таким образом, что эти утверждения могут быть эмпирически проверены . В частности, эта часть математики имеет как объяснительную силу , так и способность предсказания о реальном мире, что означает, что она дает краткое объяснение наблюдаемых нами явлений и позволяет нам предсказывать будущие явления, которые мы еще не наблюдали. .
Например, прямо сейчас веб-страницы, которые вы читаете с https://math.stackexchange.com, были зашифрованы с использованием шифрования RSA, и процесс дешифрования полагается на истинную малую теорему Ферма, которую интерпретирует как утверждение о закодированных больших положительных целых числах. на вашем компьютере в двоичном формате (с операциями сложения и умножения, определенными в соответствии с тем, как ваш компьютер их выполняет)!
Другими словами: если маленькая теорема Ферма (интерпретируемая как прогнозирующее утверждение о вашем компьютере) не верна, вы просто не сможете прочитать эти веб-страницы!
Оказывается, малая теорема Ферма может быть доказана в подходящей форме в математической теории под названием PA (Арифметика Пеано первого порядка).И до сих пор ни одна известная теорема PA не была признана ложной при стандартной интерпретации как утверждение реального мира. Так что у нас определенно есть веские основания полагать, что « математических единиц, сгенерированных PA, являются реальными ».
Поскольку 1 доллар и 2 доллара являются изобретениями, абстрактная концепция натуральных чисел как модель ПА (т.е. они удовлетворяют всем аксиомам ПА) действительно является человеческим изобретением, но это не обязательно означает, что эта абстрактная концепция Концепция не имеет реального значения, как объяснялось выше.
Чтобы прояснить, 100% можно разделить точно на 3, как в математике, так и в подходящей интерпретации понятий «100%» и «3» в реальном мире.
~ ~
Возвращаясь к вашему упоминанию “$ 0.1 \% $”, это на самом деле концептуальная ошибка. Это (математический) факт, что $ 100 $ не является целым числом , кратным $ 3 $. То есть не существует целого числа $ k $ такого, что $ 100 = 3 × k $. Однако существует рациональное значение $ r $ такое, что $ 100 = 3 × r $.Когда мы пишем «$ 100 \% / 3 $» в математике, мы имеем в виду точное деление , что в данном случае дает рациональное число $ \ frac13 $ в качестве ответа.
Если вы нажмете на базовом калькуляторе (который предназначен для отображения только некоторых чисел с основанием десять) и попросите 100% / 3 , то вы можете получить что-то вроде 0,333333333 . Почему? Это не потому, что ответ – 0,333333333 $. Скорее, калькулятор не может показать ответ в десятичной системе координат .Кроме того, если вы настроите свой калькулятор на округление ответа до 3 знаков после запятой, то вместо этого вы получите 0,333 , только потому, что вы запросили ответ, округленный до 3 знаков после запятой! Таким образом, (математический) факт, что $ 100 \% = 0,333 × 3 + 0,1 \% $, означает , а не , на самом деле имеет какое-либо отношение к делению 1 доллара на 3 доллара.
Между прочим, это явление, связанное с калькуляторами, является артефактом нашего выбора базовой системы для повседневной жизни, которая влияет на дизайн таких калькуляторов.Это не имеет ничего общего с математической концепцией деления. Если бы у людей было только по 3 пальца на каждой руке, мы могли бы использовать основание шесть в повседневной жизни.
Фактически мы можем точно показать, что произошло бы, если бы мы использовали базовые 6 долларов. Мы (используя основание десять) пишем $ 21_6 $ для обозначения числа, представленного строкой символов «21» в базе $ 6 $, что означает $ 2 × 6 + 1 = 13 $. Точно так же в базе $ 6 $ у нас будет $ 1/3 = 0,2_6 $, потому что $ \ frac13 = \ frac26 $. Обратите внимание, что у нас также есть $ \ frac13 = 0.333 \ overline {3} $, где «$ 3 $» с надписями означает, что «$ 3 $» повторяется бесконечно. Здесь нет противоречия. Всякий раз, когда мы не пишем нижний индекс числа, это , по соглашению понимается как десятичное число. Чтобы прояснить, $ \ frac13 = 0,333 \ overline {3} _ {10} = 0,2_6 $.
Понять число Пи так же просто, как сосчитать до единицы, двух, 3,1415926535…
Хорошо, мы будем здесь на некоторое время, если будем продолжать в том же духе. Вот что важно: Пи (π) – это 16-я буква греческого алфавита, которая используется для обозначения наиболее широко известной математической константы.
По определению, пи – это отношение длины окружности к ее диаметру. Другими словами, пи равно длине окружности, деленной на диаметр (π = c / d). И наоборот, длина окружности равна pi, умноженному на диаметр (c = πd). Независимо от того, насколько велик или мал круг, число Пи всегда будет одним и тем же. Это число равно примерно 3,14, но это немного сложнее. [10 удивительных фактов о Пи]
Пи – иррациональное число, что означает, что это действительное число, которое не может быть выражено простой дробью.Это потому, что математики называют «бесконечной десятичной дробью» – после десятичной точки цифры идут вечно.
Начиная с математики, учащиеся знакомятся с числом Пи как значением 3,14 или 3,14159. Хотя это иррациональное число, некоторые используют рациональные выражения для оценки пи, например, 22/7 из 333/106. (Эти рациональные выражения имеют точность только до пары десятичных знаков.)
Хотя точного значения числа Пи нет, многие математики и любители математики заинтересованы в вычислении числа Пи как можно большего числа цифр.Мировой рекорд Гиннеса по количеству цифр числа Пи принадлежит Раджвиру Мина из Индии, который в 2015 году произнес число Пи с точностью до 70 000 знаков после запятой (с завязанными глазами). Между тем, некоторые компьютерные программисты подсчитали, что число Пи составляет более 22 триллионов цифр. Подобные расчеты часто проводятся в День числа Пи, псевдопраздник, который отмечается каждый год 14 марта (3/14).
Первые 100 цифр числа Пи:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067
.В org число Пи измеряется до первого миллиона цифр.
Пи была известна почти 4000 лет назад и была открыта древними вавилонянами. Табличка где-то между 1900-1680 годами до нашей эры. обнаружил, что пи равняется 3,125. Древние египтяне делали аналогичные открытия, о чем свидетельствует папирус Райнда 1650 г. до н. Э. В этом документе египтяне вычислили площадь круга по формуле, дающей пи приблизительное значение 3,1605. Есть даже библейский стих, где кажется, что число пи было приблизительно равным:
И сделал он расплавленное море, в десять локтей от края до края; оно было кругом, и высота его составляла пять локтей; Около тридцати локтей его окружали. – 3 Царств 7:23 (версия короля Якова)
Первое вычисление числа пи было выполнено Архимедом Сиракузским (287-212 до н. Э.). Один из величайших математиков мира Архимед использовал теорему Пифагора, чтобы найти площади двух многоугольников. Архимед аппроксимировал площадь круга на основе площади правильного многоугольника, вписанного в круг, и площади правильного многоугольника, внутри которого был описан круг. Многоугольники, как их отображал Архимед, давали верхнюю и нижнюю границы площади круга, и он аппроксимировал число пи между 3 1/7 и 3 10/71.
Пи начал символизировать символом пи (π) в 1706 году британским математиком Уильямом Джонсом. Джонс использовал 3,14159 в качестве вычисления числа пи.
В основной математике число пи используется для определения площади и длины окружности. Пи используется для определения площади путем умножения квадрата радиуса на пи. Итак, пытаясь найти площадь круга радиусом 3 сантиметра, π3 2 = 28,27 см. Поскольку круги естественным образом встречаются в природе и часто используются в других математических уравнениях, число «Пи» присутствует повсюду и используется постоянно.
Пи даже проник в литературный мир. Пилиш – это диалект английского языка, в котором количество букв в последовательных словах следует за цифрами числа пи. Вот пример из «Not A Wake» Майка Кейта, первой книги, когда-либо написанной полностью на пилише.
Теперь я падаю, усталый житель пригорода в жидкости под деревьями, Дрейфую среди лесов, кипящих в красных сумерках над Европой.
Теперь имеет 3 буквы, I имеет 1 букву, fall имеет 4 буквы, a имеет 1 букву и т. Д. И т. Д.
Эта статья была обновлена 19 октября 2018 г. старшим писателем Live Science Брэндоном Спектором.
Минимальная сложность Максимальная сложность
88. Адам может косить поле за 1 час, в то же время Боб может косить 2 поля, если они работают вместе, сколько времени им потребуется, чтобы косить поле?И общее обсуждение проблем скорости работы.
87. Quickie: Внимательно изучите диаграмму. Он показывает квадрант окружности с радиусом ‘r’ с прямоугольником, касающимся периметра круга. Какова длина линии с надписью A-C.(щелкните изображение, чтобы увеличить)
86.Снеговик Фрости хочет создать себе маленького друга-снеговика. Новому снеговику нужны основа, туловище и голова, все три из которых должны быть сферами. Туловище не должно быть больше основания, а голова – не больше туловища.В качестве строительного материала у Frosty есть сферический снежный ком с радиусом 6 дюймов. Поскольку Фрости любит все упрощать, он также хочет, чтобы радиус каждой из трех частей был положительным целым числом. Сможет ли Фрости это сделать?
85.У человека есть прямоугольный сад размером 55 м («B» на диаграмме) на 40 м («A»,), и он прокладывает диагональную дорожку шириной 1 м точно так, как показано на диаграмме. Какова площадь пути?(щелкните изображение, чтобы увеличить)
84. Два одинаковых болта помещают вместе так, чтобы их винтовые канавки совпадали. Если вы перемещаете болты друг вокруг друга, как будто вы вращаете большими пальцами, крепко удерживая каждый болт за головку, чтобы он не вращался, и поворачивая их в указанном направлении, то головки а) двигаются внутрь, б) двигаются наружу или в) оставаться на одинаковом расстоянии друг от друга?(щелкните изображение, чтобы увеличить)
83. Quickie: Джон управляет теннисным клубом. Он должен организовать турнир на выбывание. Он выставляет лист регистрации, и через неделю у него уже 15 подписчиков. Джон сбит с толку, он не может понять, как организовать турнир на выбывание с 15 игроками, и не знает, сколько кортов забронировать.Он спрашивает Арабеллу, профессора. Она знает сразу, не задумываясь …
Как Арабелла это делает? У нее нет времени планировать весь турнир.
82. Quickie: Плотник, работая с циркулярной пилой, хочет разрезать деревянный куб, по три дюйма с каждой стороны, на 27 кубиков по 1 дюйм. Он может сделать это легко, сделав шесть надрезов в кубе, удерживая части вместе в форме куба. Может ли он уменьшить количество необходимых разрезов, переставляя части после каждого разреза?(щелкните изображение, чтобы увеличить)
81. На схеме показаны следы от двухколесного велосипеда. Велосипед ехал слева направо или справа налево?(щелкните изображение, чтобы увеличить)
80. Quickie: Предположим, я даю вам четыре карты с буквами A и D и цифрами 3 и 6. Известно, что каждая карта имеет букву на одной стороне и номер – на другой. Согласно правилу игры, карта с гласной всегда имеет на обратной стороне четное число.Какую из карт вам придется перевернуть, чтобы доказать, что это правило верно?
79. -Флатландия – это плоскость, бесконечно простирающаяся во всех направлениях. У него бесконечное количество аэродромов, ни одно из которых не находится на одинаковом расстоянии друг от друга.-В определенный момент времени самолет вылетает из каждого аэропорта и приземляется в ближайшем соседнем аэропорту.
– Какое максимальное количество самолетов может приземлиться на одном аэродроме?
78. Тайный Санта – это западная рождественская традиция, согласно которой членам группы или сообщества случайным образом назначается человек, которому они анонимно делают подарок.Правила определения того, кто для кого покупает, следующие. Все участники поместили свои имена в шапку. Каждый игрок по очереди нарисует имя.Если им нужно нарисовать собственное имя, они вернут его в шляпу и нарисуют другое. Если последний нарисовал свое имя, игра считается недействительной, и все начинают заново. В противном случае люди не вернут имя в шапку и купят подарок человеку, чье имя они нарисовали.
Адам, Боб и Кэрол должны сыграть в Тайный Санта. Они будут рисовать в алфавитном порядке. Каковы шансы, что Адам купит для Кэрол?
77. Quickie: Мать на 21 год старше своего ребенка.Ровно через 6 лет мать будет ровно в 5 раз старше ребенка.Где отец?
76. На схеме показаны два концентрических кольца (двухмерные кольцевые формы), учитывая, что две красные линии имеют одинаковую длину, это доказывает, что заштрихованные области тоже одинаковы.(щелкните изображение, чтобы увеличить)
75. Три спортсмена (и только три спортсмена) участвуют в серии соревнований по легкой атлетике. Очки начисляются за 1-е, 2-е и 3-е места в каждом событии (одинаковые очки для каждого события, т.е. 1-й всегда получает «x» баллов, 2-й всегда получает «y» баллов, 3-й всегда получает «z» баллов), причем x> y> z> 0, и все значения баллов являются целыми числами. Атлетов зовут Адам, Боб и Чарли:
– Адам финишировал первым с 22 очками
– Боб выиграл гонку Джавелин и закончил с 9 очками.
– Чарли также закончил с 9 очками.
Кто финишировал вторым в беге на 100 метров (и почему)?
74. В одиночных камерах содержится 100 заключенных.Центральная гостиная с одной лампочкой; эта лампочка изначально выключена. Ни один заключенный не может видеть лампочку из своей камеры. Каждый день надзиратель выбирает заключенного одинаково наугад, и этот заключенный посещает гостиную. Находясь там, заключенный может включить лампочку, если пожелает. Кроме того, у заключенного есть возможность утверждать, что к настоящему времени все 100 заключенных побывали в гостиной. Если это утверждение ложно, все 100 заключенных расстреляны. Однако, если это действительно так, всех заключенных выпускают на свободу и вводят в MENSA, поскольку мир всегда может использовать более умных людей.Таким образом, утверждение следует делать только в том случае, если заключенный на 100% уверен в его обоснованности. Заключенным разрешается собраться на одну ночь во дворе, чтобы обсудить план. С каким планом они должны согласиться, чтобы в конечном итоге кто-то сделал правильное утверждение? 73. Quickie: Какой квадратный корень из 12345678987654321?Найдите длину строки.
71. Вы начинаете с верхнего левого угла сетки 6×6, ваша цель – попасть в правый нижний угол. Вы можете двигаться только вправо или вниз. Вы не можете двигаться по диагонали и не можете двигаться назад.Сколько существует способов добраться от старта до финиша?
70. Эндрю, Бритни и Кэрол участвуют в забеге на 100 метров. Все они бегают с постоянной скоростью на протяжении всей гонки. Эндрю опережает Бритни на 20 метров.
Бритни опережает Кэрол на 20 метров.
На сколько метров Эндрю опередил Кэрол?
69. Quickie: На дегустации виски мистер Чип выясняет, что из каждых 10 использованных пустых стаканов, которые он может собрать, он может собрать все остатки, чтобы приготовить совершенно новый стакан виски. В конце дня он может найти 100 пустых стаканов. Сколько полных стаканов он теперь может выпить? 68. У вас есть 50 красных шариков и 50 синих шариков, в остальном одинаковые.У вас есть 2 одинаковых баночки. Шарик будет выбран случайным образом из случайно выбранной банки. Как бы вы распределили шарики, чтобы максимизировать шансы на выбор красного шарика?Вы можете это доказать?
67. Как далеко горизонт? 66. Болезнь под названием «Фаг» распространяется по королевству с населением 1 000 000 человек. В настоящее время этим заболеванием болеет каждый 500 человек.Что такое X и Y?
65. Quickie: Всего 9 монет, все, кроме одной, одинакового веса, нечетная тяжелее остальных.Вы должны определить, какой из них лишний, используя старомодные весы. Вы можете использовать баланс дважды. Объясните, как это можно сделать. 64. 100 человек встают в круг в порядке от 1 до 100. У №1 есть меч. Он убивает следующего человека (т.е. № 2) и дает меч следующему живому человеку (т.е. № 3). Все люди делают то же самое, пока не выживет только один. Какое число доживает до конца? 63. Quickie: Билли Whiz, ковбой 19-го века, носит шестизарядный одинарный револьвер Colt 1847 года.Он настолько искусен в обращении с этим оружием, что когда он делает все 6 выстрелов подряд, время между первой и последней пулями составляет 60 секунд. Сколько времени ему потребуется, чтобы сделать 3 выстрела? 62. Quickie: Улитка на дне 30-футового колодца. Каждый час улитка может подняться на 3 фута, а затем сразу же скатиться обратно на 2 фута. Сколько часов нужно улитке, чтобы выбраться из колодца? 61. У плохого короля в погребе 1000 бутылок восхитительного и очень дорогого вина.Соседняя королева замышляет убить плохого короля и посылает слугу отравить вино. К счастью (или, скажем, к несчастью) стража плохого короля поймает слугу после того, как он отравит только одну бутылку. Увы, охранники не знают, в какой бутылке, но знают, что яд настолько силен, что даже если его разбавить в 100000 раз, он все равно убьет короля. Кроме того, для достижения эффекта требуется около месяца. Плохой король решает купить рабов, чтобы они выпили вина. Будучи умным и плохим королем, он знает, что ему нужно купить только 10 рабов, и он все равно сможет выпить остаток вина (999 бутылок) на своей юбилейной вечеринке через 5 недель.Объясните, что на уме у царя, как он сможет это сделать? 60. Имеется здание 100 этажейКак найти N в минимальном количестве капель?
59. У вас 25 лошадей, вы хотите выбрать 3 самых быстрых из этих 25. В каждой гонке одновременно могут бежать только 5 лошадей. Какое минимальное количество скачек необходимо, чтобы найти 3 самых быстрых лошадей без использования секундомера? 58. Quickie: Слепой один на безлюдном острове. У него две синие таблетки и две красные таблетки. Он должен принять ровно одну красную и одну синюю пилюли, иначе он умрёт. Как он это делает? 57. Как можно использовать предвзятую монету, чтобы принять беспристрастное решение?Какой ваш выбор и почему? Чем это отличается от случая с одной пулей?
53. Поезд входит на станцию со скоростью 50 м / с, где начинает равномерно замедляться и полностью останавливается в конце платформы.Расстояние от входа на станцию до конца платформы – 500м. В тот же момент, когда поезд входит на станцию, Пчела вылетает из буферов в конце платформы и направляется к поезду, когда она достигает передней части поезда, она разворачивается и возвращается туда, откуда она началась. Он продолжает делать это, запуск платформы, перед поездом, запуск платформы взад и вперед, пока поезд не остановится там, где он будет раздавлен. Если скорость пчелы составляет 40 м / с, как далеко улетает пчела?
Вы можете расширить этот вопрос, чтобы определить, например, время первого удара или, есть ли такая вещь, как (и если да, то что это такое) минимальная скорость, с которой пчела должна двигаться, чтобы иметь возможность совершить этот подвиг?
(помните, что все головоломки являются логическими, здесь нет никаких сомнений.)
51. Алиса, Боб и Чери, трое умных людей, устраивают трехстороннюю дуэль. Алиса – плохой стрелок, в среднем попадая в цель только в 1/3 случаев. Боб лучше, он попадает в цель в 2/3 случаев. Чери делает точный выстрел в 100% случаев.Они по очереди стреляют сначала в Алису, затем в Боба, Шери, затем снова в Алису и так далее, пока не останется один. Как лучше всего поступить с Алисой? А ее шансы на выживание? 50. Мужчина смотрит на чью-то фотографию. Его друг спрашивает, кто это.Вы можете задать один вопрос только одному стражу, чтобы с уверенностью определить путь на Небеса. Что это за вопрос?
48. Альберт и Бернард только что подружились с Шерил, и они хотят знать, когда у нее день рождения. Шерил дает им список из 10 возможных свиданий. Альберт: Я не знаю, когда у Шерил день рождения, но я знаю, что Бернард тоже не знает.
Бернард: Сначала я не знал, когда у Шерил день рождения, но теперь знаю.
Альберт: Тогда я также знаю, когда у Шерил день рождения.
Так когда у Шерил день рождения?
47.Арбуз на 99% состоит из воды. У меня есть 100 фунтов арбуза. После недели сушки на солнце сморщенный арбуз высох только до 98% воды. Какой сейчас общий вес арбуза? 46. Три муравья сидят в трех углах равностороннего треугольника. Каждый муравей случайным образом выбирает направление и начинает двигаться по краю треугольника. Какова вероятность того, что муравьи не столкнутся?Как насчет других форм, квадрат? N сторон?
45. У женщины двое детей.Один мальчик. Каковы шансы, что другой ребенок тоже будет мальчиком?Как это изменится, если вам скажут, что старший ребенок – мальчик?
44. Две красные линии на показанной диаграмме нарисованы по диагонали на гранях куба. Какой угол между ними в месте соединения?(щелкните, чтобы увеличить)
43. У вас есть 10 стопок по 10 золотых монет. Все монеты в одной из этих стопок поддельные, все остальные – нет. Настоящая монета весит 10 граммов.Поддельная монета весит 11 граммов. У вас есть современные весы, обеспечивающие точные показания. Какое минимальное количество взвешиваний необходимо для определения поддельной стопки?Как насчет того, чтобы у вас было 11 стеков?
42. Вы находитесь в точке на Земле. Вы путешествуете 100 миль на юг, 100 миль на восток и 100 миль на север. Вы вернетесь туда, откуда начали. Где вы? Вы НЕ на Северном полюсе. 41. Предположим, вы туго обвязываете веревку вокруг экватора Земли. Вы добавляете дополнительные 3 фута к длине.По всей Земле веревка поднимается равномерно как можно выше, чтобы снова ее затянуть. Насколько это высоко? 40. Используя только 4-х и 7-минутные песочные часы или таймер для яиц, как бы вы отмерили ровно 9 минут? 39. Палач выстраивает 100 заключенных в ряд и надевает на голову каждого заключенного красную или синюю шляпу. Каждый заключенный может видеть шляпы людей перед ним в очереди – но не свою собственную шляпу или шляпы кого-либо позади него. Палач начинает с конца (сзади) и спрашивает у последнего заключенного цвета его шляпы.Он должен ответить «красный» или «синий». Если он ответит правильно, ему позволено жить. Если он дает неправильный ответ, его убивают мгновенно и бесшумно. (Пока все слышат ответ, но никто не знает, был ли он правильным.) Ночью перед построением заключенные обсуждают стратегию, чтобы помочь им. Что им делать? 38. На безлюдной дороге вероятность увидеть машину в течение тридцати минут составляет 95%. Каков шанс увидеть машину за десять минут? 37.Если самолет летит туда и обратно, и дует ветер, время полета меньше, больше или одинаково? 36. Вы находитесь в темной комнате с колодой карт. N карт открыты, остальные закрыты. Вы не можете видеть карты. Как разделить колоду на две стопки с равным количеством открытых карт в каждой? 35. У обычных часов есть часовая и минутная стрелки. В 12 часов ночи стрелки точно выровнены. Когда в следующий раз они точно выровняются или перекрываются? Сколько раз в день они будут перекрываться? 34.У мужчины три дочери. Второй, умный человек, спросил его, сколько ему лет дочерей. Первый сказал ему, что произведение их возрастов (все они умножены) равно 36. Подумав, второй мужчина не смог найти ответ и попросил другую улику. Первый мужчина отвечает, что сумма их возраста равна номеру двери его дома. По-прежнему второй мужчина не смог ответить и попросил другую улику. Первый мужчина сказал ему, что у его младшей дочери голубые глаза, и вдруг второй мужчина дал правильный ответ.Объясните как? 33. Предполагая, что я хочу оставаться сухим. Мне идти или бегать под дождем? 32. Две лианы (вьющиеся растения) одна жасмин и другая роза карабкаются вверх и вокруг цилиндрического ствола дерева. Жасмин вращается по часовой стрелке и поднимается против часовой стрелки, оба стартуют в одной и той же точке на земле. Прежде чем они достигли первой ветви дерева, жасмин сделал 5 полных оборотов, а роза – 3 полных поворота. Не считая низа и верха, сколько раз они пересекаются? 31.Рассмотрим стандартную шахматную доску. Каков диаметр наибольшего круга, который можно нарисовать на доске, рисуя только черные квадраты. 30. Автомат по продаже напитков предлагает три варианта выбора – Чай, Кофе или Случайный выбор, но автомат был неправильно подключен, поэтому каждая кнопка не дает того, что заявляет. Если каждый напиток стоит 50 пенсов, сколько минимальных денег вы должны вложить в автомат, чтобы определить, какая кнопка дает какой выбор? 29. Двое мужчин ели. Первый принес 5 хлебов, а второй 3.Третий человек, Али, подошел и присоединился к ним. Они вместе съели целых 8 хлебов. Уходя, Али дал мужчинам 8 монет в качестве благодарности. Первый сказал, что возьмет 5 монет и отдаст своему партнеру 3, но второй отказался и попросил половину суммы (т.е. 4 монеты) в равных долях. Первый отказался.Поехали на Али и попросили справедливого решения. Али сказал второму мужчине: «Я думаю, тебе лучше принять предложение своего партнера». Но мужчина отказался и попросил правосудия.Итак, Али сказал: «Тогда я говорю, что тот, кто предложил 5 хлебов, берет 7 монет, а кто предложил 3 хлеба – получает 1 монету».
Вы можете объяснить, почему это было справедливо?
28. Трое мужчин заходят в гостиницу. Человек за столом говорит, что комната стоит 30 долларов, поэтому каждый мужчина платит 10 долларов и идет в комнату.Некоторое время спустя человек за столом понял, что в комнате было всего 25 долларов, поэтому он отправил посыльного в комнату трех парней с 5 долларами. По дороге посыльный не мог придумать, как разделить 5 долларов поровну между 3 мужчинами, поэтому он дал каждому по 1 доллару, а остальные 2 оставил себе.
Это означало, что каждый из трех мужчин заплатил по 9 долларов за комнату, что в сумме составляет 27 долларов плюс 2 доллара, которые оставил посыльный, = 29 долларов. Где другой доллар?
27. Сколько квадратов на шахматной или шахматной доске ?? (ответ не 64)Можете ли вы расширить свою технику для вычисления количества прямоугольников на шахматной доске?
26. Мужчина построил три дома. Рядом есть газовая и электрическая станции. Мужчина хочет подключить все три дома к каждому источнику газа, воды и электричества.К сожалению, трубы и кабели не должны пересекать друг друга. Как бы вы подключили каждый из 3 домов к каждому источнику газа, воды и электричества?
25. Адам, Боб, Клер и Дэйв идут пешком: они подходят к шаткому старому деревянному мосту. Мост слабый и может выдержать вес только двоих из них одновременно. Поскольку они спешат и свет гаснет, они должны пересечь границу за минимально возможное время и должны иметь при себе фонарик (фонарик) на каждом переходе.У них есть только один факел, и его нельзя бросить.Из-за разной физической подготовки и некоторых незначительных травм все они могут преодолевать препятствия с разной скоростью. Адам может перейти за 1 минуту, Боб за 2 минуты, Клер за 5 минут и Дэйв за 10 минут.
Адам, мозги группы на мгновение задумываются и заявляют, что переход можно пройти за 17 минут. Нет никакого трюка. Как это сделать?
24. Вы фермер. Вы собираетесь на рынок купить животных. На рынке выставлены на продажу 3 вида животных. Вы можете купить:Кроме того, каков ожидаемый выигрыш при соблюдении этого оптимального правила?
13. Вы стоите в центре круглого поля радиуса R. Поле окружено невысокой проволочной изгородью. К проволочному забору прикреплена (и ограничена бегать по периметру) большая острозубая голодная собака.Вы можете бежать со скоростью v, в то время как собака может бежать в четыре раза быстрее. Какая у вас стратегия бега, чтобы сбежать с поля? 12. Внутри темного туалета пять шляп: три синих и две красных. Зная об этом, трое умных мужчин заходят в чулан, каждый выбирает в темноте шляпу и незаметно надевает ее себе на голову.Выйдя из туалета, мужчина не может увидеть свою шляпу. Первый смотрит на двух других, думает и говорит: «Я не могу сказать, какого цвета моя шляпа». Второй мужчина слышит это, смотрит на двух других и говорит: «Я тоже не могу сказать, какого цвета моя шляпа.«Третий слепой. Слепой говорит:« Ну, я знаю, какого цвета моя шляпа ». Какого цвета его шляпа?
11. Вы должны открыть сейф, не зная комбинации. Начиная с циферблата, установленного на ноль, циферблат должен быть повернут против часовой стрелки к первому номеру комбинации (затем по часовой стрелке обратно к нулю) и по часовой стрелке к второму номеру комбинации (затем против часовой стрелки к нулю) и против – снова по часовой стрелке до третьего и последнего числа, где дверь немедленно откроется.На циферблате 40 цифр, включая ноль.Не зная комбинации чисел, какое максимальное количество попыток необходимо для открытия сейфа (одна попытка равна одной попытке набрать полную комбинацию из трех цифр)?
10. Нам с вами предстоит соревновательная игра. Мы будем по очереди называть целые числа. Победит тот, кто первым скажет «50». Правила следующие:Вы хотите пойти первым, и если да, то какова ваша стратегия?
9. В одном матриархальном городе все женщины верят в старое пророчество, в котором говорится, что наступит время, когда незнакомец посетит город и объявит, изменяет ли кто-нибудь из мужчин своим женам. Незнакомец просто скажет «да» или «нет», не объявляя ни количество причастных мужчин, ни их личности. Если незнакомец приходит и делает свое объявление, женщины знают, что они должны следовать определенному правилу: если в любой день после объявления незнакомца женщина делает вывод, что ее муж ей неверен, она должна вышвырнуть его на улицу в 10 часов. А.М. На следующий день. Это действие сразу же наблюдает каждый житель города. Хорошо известно, что каждая жена уже достаточно наблюдательна, чтобы знать, изменяет ли какой-либо мужчина (кроме ее собственного мужа) своей жене. Однако ни одна женщина не может раскрыть эту информацию другим. Предполагается, что неверный муж также хранит молчание о своей неверности.Приходит время, и приходит незнакомец. Он объявляет, что в городе есть мошенники. Утром 10 -го дня после прихода незнакомца впервые вышвырнули неверных мужчин на улицу.Сколько их там?
8. Какое наименьшее положительное целое число дает остаток 1 при делении на 2, остаток 2 при делении на 3, остаток 3 при делении на 4 и так далее до остатка 9 при делении на 10? 7. В комнате без окон есть три одинаковых светильника, каждый из которых содержит идентичную лампочку или световой шар. Каждый свет подключен к одному из трех выключателей за пределами комнаты. Каждая лампочка в настоящее время выключена. Вы находитесь вне комнаты, а дверь закрыта.Перед тем, как открыть дверь, вы можете играть с выключателями сколько угодно раз. Но как только вы откроете дверь, вы больше не сможете касаться переключателя. После этого заходите в комнату и осматривайте огни. Как узнать, какой переключатель к какому свету переходит? 6. В длинной комнате в ряд выстроились 100 лампочек. Каждая лампочка имеет свой выключатель и в данный момент выключена. В номере есть входная дверь и выходная дверь. Перед входной дверью выстроились 100 человек.Каждая лампочка пронумерована последовательно от 1 до 100. То же самое и с каждым человеком.Человек №1 входит в комнату, включает все лампочки и выходит. Человек № 2 входит и включает каждую вторую лампочку (выключает лампочки 2, 4, 6 …). Человек № 3 входит и щелкает выключателем на каждой третьей лампочке (изменяя состояние лампочек 3, 6, 9 …). Это продолжается до тех пор, пока все 100 человек не пройдут через комнату.
Каково окончательное состояние лампы № 64? А сколько лампочек загорается после того, как по комнате прошли 100 человек ?
5.Сколько градусов (если есть) находится в углу между часовой и минутной стрелками часов, когда время идет без четверти четвертого? 4. В мифическом городе 100 000 супружеских пар, но нет детей. Каждая семья хочет «продолжить мужскую линию», но не желает перенаселения. Итак, каждая семья имеет одного ребенка в год до появления первого мальчика. Например, если (когда-нибудь в будущем) в семье будет пятеро детей, то это должно быть либо все они девочки, и планируется еще один ребенок, либо четыре девочки и один мальчик, а детей больше не планируется.Предположим, что дети с одинаковой вероятностью родятся мужчиной или женщиной.Пусть p (t) будет процентной долей детей мужского пола в конце года t. Как ожидается, что этот процент будет меняться с течением времени?
3. Вы – жук, сидящий в углу кубической комнаты. Вы хотите дойти (не лететь) до крайнего противоположного угла (самого дальнего от вас). Опишите кратчайший путь, по которому вы можете пройти. 2. Вам дается набор весов и 90 монет. Весы того же типа, что и выше.Вы должны платить 100 долларов каждый раз, когда пользуетесь весами.Эти 90 монет идентичны. На самом деле 89 из них идентичны, а один другого веса. Ваша задача – идентифицировать необычную монету и выбросить ее, минимизируя максимально возможные затраты на взвешивание (другая задача может заключаться в минимизации ожидаемых затрат на взвешивание). Каков ваш алгоритм выполнения этой задачи? Сколько может стоить идентификация необычной монеты?
Эта головоломка вместе с №2 невероятно сложны, я бы никогда не включил их.12 шариков кажутся идентичными. Фактически, 11 из них идентичны, а один другого веса.
Он рассчитал, где должна быть планета, а затем кто-то пошел искать и в конце концов нашел ее в сентябре 1846 года.
На первый взгляд, есть 6 способов поставить первое число, 5 – следующее и так далее. Следовательно, существует 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 способов поставить 6 чисел.Это не займет много времени у компьютера. Вы даже можете заставить класс сделать это в разумные сроки, разделив наблюдения между ними. Ниже мы приводим способ сделать это, что означает, что нам не нужно рассматривать все 720 возможных вариантов.
Симметрия треугольника нам сейчас совсем не помогает. Если мы поместим 3 в кружок «а», то полученная нами сторона будет иметь сумму 6. Другого способа составить 6 нет, поэтому здесь нет ответа.
Но это некрасиво. Будем надеяться, что есть способ получше.
Из-за симметрии равностороннего треугольника есть только один способ, которым числа 1, 3, 5 могут быть помещены в первую и четвертую варианты, указанные выше. Отсюда достаточно быстро увидеть, куда должны идти четные числа. Есть три возможных варианта: 1, 3, 5 в двух других случаях. Систематическая работа покажет, какие аранжировки работают, а какие нет.Когда все это будет сделано, мы получим четыре ответа, которые нашли ранее.
Таким образом, суммы могут лежать только между 9 и 12 включительно.
Если s = 9, сумма углов равна 6, а значит – 1, 2, 3.Если s = 10, сумма углов равна 9, то есть 1, 2, 6; 1, 3, 5; или 2, 3, 4. Если s = 11, сумма углов равна 12, то есть 1, 5, 6; 2, 4, 6; 3, 4, 5. Если s = 12, сумма углов равна 15, так же как и 4, 5, 6.
Конечно, это намного лучше, чем метод 1.