Алгебра
7 класс
Урок № 51
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Линейные уравнения»
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Связь понятий: «линейное уравнение», система линейных уравнений», «линейная функция», «решение линейного уравнения», «решение системы линейных уравнений».
Способы решения систем линейных уравнений.
Тезаурус:
Уравнение вида ax = b, (где x – переменная, a, b – некоторые числа), называется линейным уравнением с одной переменной.
Система вида
(где x, y – переменные, ai, bi, ci – некоторые числа) называется системой линейных уравнений с двумя переменными.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Уравнение вида (где x – переменная, a, b – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной.
a и b – коэффициенты линейного уравнения.
К уравнению такого вида можно привести уравнение, которое включает в себя переменную в первой степени.
Пример:
Для того, чтобы привести уравнение к виду ax = b
, нужно его преобразовать.
Пример.
Рассмотрим уравнение.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
В зависимости от значения коэффициентов, линейное уравнение может иметь либо один корень, либо ни одного корня, либо бесконечно много корней.
Если уравнение включает в себя две переменные в первой степени, получаем линейное уравнение с двумя переменными:
Можно из данного равенства выразить переменную y.
Получим уравнение линейной функции:
Её графиком является прямая. Таким образом, графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, угловой коэффициент которой равен:
На прямой лежит бесконечно много точек, поэтому линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Все пары точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
Или координаты точек, лежащих на прямой, соответствующей уравнению.
Рассмотрим два линейных уравнения с двумя переменными и составим из них систему.
Геометрической интерпретацией решения системы двух уравнений с двумя переменными является точка пересечения прямых (если она есть).
Две прямые:
1) могут пересекаться (иметь одну общую точку), если их угловые коэффициенты не равны. В этом случае система имеет единственное решение.
Две прямые пересекаются, если:
– система имеет единственное решение;
2) могут быть параллельными (не иметь ни одной общей точки), если их угловые коэффициенты равны, а свободные коэффициенты не равны. В этом случае система не имеет решений.
Две прямые параллельны, если:
– система не имеет решений.
3) могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), если их угловые коэффициенты и свободные коэффициенты равны. В этом случае система имеет бесконечно много решений.
Две прямые совпадают, если:
Система имеет бесконечно много решений.
Для системы линейных уравнений могут быть использованы разные способы решения: алгебраический, в рамках которого рассматривается способ подстановки и способ алгебраического сложения.
Или графический метод.
Рассмотрим пример.
Заметим, что и первое, и второе уравнения включают в себя выражение (5x – 2y)
Во втором уравнении оно выражено. Его и подставим в первое уравнение:
Теперь первое уравнение зависит только от одной переменной x.
Подставим найденное значение во второе уравнение и найдём значение y:
Ответ:
Текст для углублённого изучения.
Одним из простейших уравнений с параметром является линейное уравнение.
Рассмотрим уравнение с параметром:
Решение:
Рассмотрим коэффициент при переменной x.
Если: a(a – 2) ≠ 0, то есть уравнение имеет единственное решение.
Рассмотрим те значения параметра a, при которых a(a – 2) = 0
Пусть a = 0, тогда получим уравнение: 0 · x = –4. Это уравнение решений не имеет.
Пусть a = 2, тогда получим уравнение: 0 · x = 0.
Это уравнение имеет бесконечно много решений.
Запишем ответ:
При a = 0 уравнение решений не имеет.
При a = 2 уравнение имеет бесконечно много решений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача 1.
Рассортируйте уравнения по количеству их корней:
3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)
15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)
-5(2x + 4) = 5 – 10x
Решение.
Рассмотрим первое уравнение. Раскроем скобки:
3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)
3х – 2х – 10 = 6х – 24 + 12х
Коэффициент при переменной не обратится в 0. Поэтому уравнение имеет единственное решение.
Рассмотрим второе уравнение. Раскроем скобки:
15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)
15 – 15х + 3 = 7 – 4х – 11х + 11
18 – 15х = 18 – 15х
После преобразований получим уравнение 0x = 0, которое имеет бесконечно много корней.
Рассмотрим третье уравнение. Раскроем скобки:
-5(2x + 4) = 5 – 10x
-10х – 20 = 5 – 10х
Получим уравнение 0х = 25, которое не имеет решений.
Задача 2.
Выберите значения параметра, при каждом из которых уравнение не имеет решений:
Решение.
Количество решений линейного уравнения зависит от коэффициента при переменной. Рассмотрим его.
Приравняем его к нулю: a(a2 – 9) = 0
Найдем значения параметра:
a = 0
a = 3
a = –3
При каждом из этих значений параметра уравнение имеет вид:
0 · x = k, где k ≠ 0
Поэтому при каждом из этих значений параметра уравнение решений не имеет.
Вопросы занятия:
· повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;
·
ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с
двумя переменными», «равносильные уравнения».
Материал урока
Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.
Вспомним, что:
Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.
Давайте рассмотрим ситуацию
Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или с двумя неизвестными).
Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными
Сформулируем определение:
Определение.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:
Вернёмся к задаче
То
есть пара значений переменных (x = 60, y = 110)
является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом
подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему
уравнению.
Определение.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.
Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.
Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.
Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:
Свойство 1.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;
Свойство 2.
Если
обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное данному.
Снова вернёмся к нашему уравнению
Но здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.
При этом пара чисел (150; – 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.
И давайте рассмотрим ещё одну задачу.
Пример.
Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.
Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.
И
давайте рассмотрим примеры.
Пример.
И ещё пример.
Пример.
Итоги урока
Итак, на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из способов решения таких уравнений.
Если числа а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много
Если перед скобками стоит знак «–», то
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин.
Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Как решаем:
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
6x −5x = 10
Приведем подобные и завершим решение.
x = 10
Ответ: x = 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Как решаем:
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Ответ: x = −3.
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным.
Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1.
Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Решаем так:
6х = 19 − 1
6х = 18
х = 3
Ответ: 3.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
Решаем так:
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
0х = 0
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Решаем так:
х = 1/8 : 4
х = 1/32
Ответ: 1/32.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
Решаем так:
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить:
Решаем так:
Ответ: 1 17/19.
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
Решаем так:
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
х — х = 4 — 7
0 * х = – 3
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
Решаем так:
Ответ: −1/9.
Алгебра 7 класс
Тема урока: Решение линейных уравнений.
Цели урока: Сформировать умение по решению уравнений.
Планируемые результаты:
Предметные: определять количество корней линейного уравнения в
зависимости от его коэффициентов, познакомить с параметром.
Метапредметные: уметь ориентироваться в своей системе знаний,
анализировать, сравнивать данные, выдвигать гипотезы при решении учебных
задач, развивать навыки кодирования информации с помощью таблицы,
проводить логические рассуждения по сюжетам текст,проводить анализ
высказываний, выделять аналогию при решении задач, осуществлять поиск и
выделение необходимой информации, выбирать более удобный способ решения.
научатся решать задачи практического содержания.
Регулятивные:
научатся планировать свою деятельность в зависимости от конкретных
условий;
научатся контролировать и оценивать процесс и результаты действия.
сформируются умения проверять результаты деятельности .
Коммуникативные:
сформируется умение устраивать эффективные групповые обсуждения и
обеспечивать обмен
Познавательные:
научатся выполнять логические операции сравнения, анализа, обобщения,
классификации;
научатся выделять и формулировать познавательные цели, осознанно и
произвольно строить свои высказывания;
Личностные:
проявлять интерес к изучению темы; желание применить на практике свои
знания;
умеют вести диалог на основе равноправных отношений, взаимного уважения и
принятия;
умеют конструктивно разрешать проблемы;
учащиеся ответственны и аккуратны.
умеют вести диалог на основе равноправных отношений, взаимного уважения и
принятия;
умеют конструктивно разрешать проблемы.
I.Организационный момент.
Создать благоприятный психологический настрой на работу.
Ход урока. Я хочу привести вам слова великого физика Альберта Эйнштейна «Мне
приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения,
помоему гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а
уравнения будут существовать вечно.» Действительно, с уравнениями мы
встречаемся с первого класса и до окончания школы они
сопровождают нас. Поэтому очень важно научиться их решать.
II. Актуализация знаний.
Мы с Вами на уроках познакомились с понятием линейное уравнение с одной
переменной, определили алгоритм решения линейного уравнения с одной
переменной, линейного уравнения с двумя перменными, учились решать
текстовые задачи алгебраическим способом и арифметическим способом. На
этом уроке мы систематизируем знания по теме: «Линейные уравнения».
Сегодня на уроке мы повторим линейные уравнения от самых простых до
повышенного и высокого уровня, решим задачу, которую можно решать с
помощью уравнения и по возможности выполним самостоятельную работу.
Фронтальная работа с классом:
1.
Теоретический опрос.
(Слайд 1)
Какое уравнение называется линейным?
Что называется корнем уравнения?
Что означает решить уравнение?
Алгоритм решения линейного уравнения?
Сколько корней может иметь уравнение?
2. Устный счет
Каждому уравнению поставьте в соответствие одно из данных чисел, которое
является корнем уравнения. 2
5
12
х
10; 3,5; 1; 0,6; 2; 5.
1.
4.
х
2
3
5.
2.
2 х
0
6.
3.
.
х
51
4
3. Укажите сколько корней имеет каждое уравнение.
х
5
12
7 х
3
7
х
0
х
2
12
х
0
х
2
17х
0 х
11
х
0
.12х
17
11 х
12+
4
III. Решение уравнений: Итак, мы повторили с вами теоретический материал, и
готовы к решению уравнений.
Задание на красных карточках: (2 ученика)
А) 4(х – 4) + 5(2х – 8) = 0
1) Раскройте скобки:
4х 16 _________ =___________;
2) Приведите подобные слагаемые
____56 = 0;
3) Перенесите слагаемые, не содержащие
переменную в правую часть, изменив при этом их
знак на противоположный:
14х _____ = ___;
4) Разделите обе части уравнения на коэффициент
при переменной:
х = _______;
Ответ:
Б) 2(3х + 7) = 8(х + 3)
1) Раскройте скобки:
__________=__________;
2) Приведите подобные слагаемые
________________________
3) Перенесите слагаемые, не содержащие
переменную в правую часть, изменив при этом их
знак на противоположный:
Б) Задание на желтых карточках: (2 ученика работают один у доски)
А) Решите уравнение, увеличьте корень уравнения в 2 раза
3(х2)=6+2(х+4).
Б)
,
х
6
5
3
х
2 В) Задание на зеленых карточках: (2 ученика работают один у доски)
А) Решите задачу с помощью уравнения.
1 этого набора он подарил брату,
Дима выиграл набор коллекционных марок;
5
1 сестре, а остальные 19 марок оставил себе. Сколько марок было в наборе?
6
Б) Исследовать при каком значении а уравнение ах+31=2х :
а) не имеет корней
б) имеет единствен6ный корень
в) имеет бесчисленное множество корней.
4
7
4
5
х
9
х
18
В это время весь класс решает уравнение и задач
А) Решите уравнение, в ответ запишите число противоположное корню
уравнения.
х
3
5
6
Б) Реферат на компьютере Миша набрал за 3 дня. В первый день он набрал в 1,35
раза больше, чем во второй, а в третий на 60% больше чем во второй. Сколько
листов содержал реферат, если в третий день Миша набрал на 2 листа больше
чем в первый?
IY. Самостоятельная работа:
Китайская мудрость гласит: «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я
делаю – я усваиваю». Сейчас Вам предстоит выполнить самостоятельную работу
в течение 15 минут.
Я надеюсь, что в ходе этой работы вы усвоите все то, что
еще в начале урока вызывало у вас затруднения. Каждое задание, определенного
уровня. Вы сами выбираете задание, какого уровня вы будете выполнять.
1. Решить уравнение:
а)
х
13
х
6
7
;21
б)
х
2
16
х
8
6
в)
4
х
38
22
х
3
46
(1уровень )
2.а)
х
9
5
б)
12
322
1
3,1
53,0
х
х
7
8
10
х
(2 уровень )
4
х
х
4,0
3. а)
х
3
5
7
3
(3 уровень )
2
5
1
5
х
14
2
11
2
х
2
У. Домашнее задание. 30
894,0
.4
х
х
,78,3
х
1 уровень
16
2
5
х
54,6
х
893,0
26
543
х
2уровень
543
х
1,23
х
х
3
4
5
9
26
4
х
6
.4
х
2,12,4
7
4
5
х
18
5
х
5,0
3
5
7
4
5
х
6
х
9
х
18
3уровень
4
1.
2.Учащиеся трех седьмых классов поехали на экскурсию за город в трех
автобусах. В третьем автобусе сидело на 5 учеников меньше, чем в первом, и на
4 человека больше, чем во втором. Сколько учеников сидело в каждом автобусе,
если всего на экскурсию поехали 67 учеников?
УI.
Подведение итогов урока.
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические
сезамы» С.Коваль.
Они будут сопровождать вас до окончания школы и пригодятся вам и для
дальнейшей жизни.
Все молодцы! Отлично поработали на уроке. Вы уже многое знаете и многое
еще узнаете в старших класса. В заключении урока я хотела, чтобы вы ответили
на 3 вопроса:
Какая была цель урока? Продолжить учиться решать уравнения.
Сколько корней может иметь линейное уравнение?
Какие задачи: Задачи урока: 1.Выяснить где в повседневной жизни пригодится
умение решать уравнения.
2. Вспомнить алгоритм решения уравнений
Пояснительная записка
Урок алгебры в 7 классе «Будем знакомы»- это урок знакомства с новым понятием линейным уравнением с двумя переменными.
Урок проводиться
в нетрадиционной форме. На каждом этапе
уроке учитель предлагает обратить
внимание на то или иное понятие.
Это
повышает интерес к новому изучаемому
материалу, даёт возможность ученику
самостоятельно закрепить новые понятия,
проверить себя после выполнения заданий.
Подготовительная работа. Вспомнить с учащимися стандартный вид линейного уравнения с одной переменной, свойства решения уравнений с одной переменной.
Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными.
Цель урока: Дать определение линейного уравнения с двумя переменными; выяснить, что значит решить уравнение с двумя переменными; рассмотреть свойства уравнений.
Ход урока.
На доске записаны уравнения. Предлагаю учащимся поделить эти уравнения на две группы. 2х=4; 0,3х-12=4; 2х=3у; 4х+2=у; 0,2х-4=5х; х+у=1.
2х=4; 0,2х-4=5х; 0,3х-12=4; | х+у=1; 4х+2=у; 2х=3у. |
Предлагаю ребятам
самим придумать примеры уравнений
второго вида.
После примеров пробуем
дать определение линейного уравнения
с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с- некоторые числа, х и у- переменные.
Предлагаю из предложенных уравнений выбрать те, которые подходят под определение уравнения с двумя переменными: 1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х; 4)2х-0,4у+7=0; 5)х=ху+8; 6)у-4х+2у=7. Объяснить выбор.
Предлагаю подобрать для уравнения 2х+у=5 такие значения переменным, чтобы они обратили данное уравнение в верное равенство. Выясняем, что таких пар чисел можно подобрать много. Например: если х=1, то у=3
если х=2, то у=1
если х=0, то у=5
Но способом подбора находить пары чисел, которые являются решением данного уравнения не очень удобно.
Предлагаю выразить одну переменную через другую.
2х+у=5 1)у=5-2х или 2) . Проверим подобранные пары чисел, выполнив подстановку в уравнения 1) и 2). Убеждаемся в верности найденных решений.
Предлагаю установить порядок нахождения таких пар чисел, которые являются решением линейного уравнений с двумя переменными.
Выразить одну переменную через другую
Придать значение одой переменной
Вычислить значение другой переменной
Предлагаю самостоятельно найти решение линейных уравнений с двумя переменными: у=2х+4; 2х-у=5; 0,5х+2у=8. а)выразить у через х; б)выразить х через у.
Работая с уравнениями, мы пользуемся свойствами:
Переносим слагаемые из одной части в другую, изменив при этом знак на противоположный;
Обе части уравнения делим на одно и то же число, не равное нулю.
Предлагаю проверить
себя: Найдите пары чисел, которые являются
решением данных уравнений при х=0.
1)х-у=5; 20х+у=8; 3)у-6х=1.
Предлагаю найти пары чисел, которые являются решением данного уравнения
2х+у=5; Предлагаю пары чисел.
х | -5 | -4 | -3 | -1 | 0 | 4 | 5 |
у | 0 | 3 | 4 | -3 | -5 | -3 | 0 |
В конце урока подвести итог.
Что же мы знаем?
Знаем уравнение линейного уравнения с двумя переменными
Умеем выражать одну переменную через другую
Умеем находить
пары чисел, которые являются решением
линейных уравнений с двумя переменными.
Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида ax = b, где a и b – действительные числа.
a называют коэффициентом при переменной , а b – свободным членом .
При решении линейных уравнений возможны три случая.
a
b
x
Количество корней
$b \in \Bbb R$ – любой
$x = \frac{b}{a}$
$x \in \Bbb R$ – любой
Бесконечное множество корней
$x \in \Bbb \varnothing $
Пример 1. Решите уравнение 6-5x = 8(3,5-2x)
Решение:
$ 6-5x = 8(3,5-2x) \iff 6-5x = 28-16x \iff -5x+16x = 28-6 \iff $
$ \iff 11x = 22 \iff x = 2 $
Ответ: x=2
Пример 2. Решите уравнение $\frac{2}{3} x-\frac{4}{5} = 0,6x$
Решение:
$ \frac{2}{3}x-\frac{4}{5} = 0,6x | ×15 \iff 2x∙5-4∙3 = 0,6x∙15 \iff 10x-12=9x \iff $
$ \iff 10x-9x = 12 \iff x = 12 $
Ответ: x = 12
Пример 3.
2-3a)}{a} = \frac{a(a-3)}{a} = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a≠0 \\ x = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ x \in \Bbb R \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Ответ: при a ≠ 0,x = a-3; при a = 0, $x \in \Bbb R$ – любой
Пример 6*. Решите уравнение (k+1)x = k
Решение:
$$ (k+1)x = k \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k+1 ≠ 0 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k+1 = 0 \\ 0x = -1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k ≠ -1 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k = -1 \\ x \in \Bbb \varnothing – решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Ответ: при k ≠ -1, $ x = \frac{k}{k+1} $, при k = -1 решений нет
Пример 7*.
Решите уравнение ax+b = cx+d
Решение:
$$ ax+b = cx+d \iff ax-cx = d-b \iff (a-c)x = d-b \iff $$
$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a-c ≠ 0 \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b ≠ 0 \\ 0x ≠ 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ c \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d = b \\ x \in \Bbb R – любой \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d ≠ b \\ x \in \Bbb \varnothing – решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
В чем смысл? Почему меня волнует линейное уравнение? Что ж, линейные уравнения – это наиболее распространенные модели чисел, которые мы видим, и их можно использовать для описания всевозможных ситуаций, которые вы видите вокруг себя.
Один из примеров связан с первой купленной мной машиной. Когда мне исполнилось 16 лет, родители помогли мне купить подержанную машину. Когда я получил свою машину, на ней было 27000 миль, и я владел ею уже некоторое время.Каждый год я проезжаю на нем еще около 12 000 миль. В конечном итоге мы получаем линейное уравнение, представляющее ситуацию, которая выглядит как y = 12000x + 27000, потому что я проезжаю на нем еще 12000 миль каждый год, и именно столько проходит схема. И картина началась на 27 000 км, когда я впервые купил машину. Итак, по прошествии первого года у него было 39 000; через год – 51 000; а после третьего года – 63 000. И так далее.
Построение графика этого линейного уравнения может помочь нам сделать много прогнозов относительно того, что этот паттерн будет делать в будущем, а также может дать нам лучшее представление о паттерне, которое может быть нелегко увидеть, просто взглянув на цифры.Когда я хочу изобразить линейное уравнение, я использую точку пересечения оси y, значение b в качестве начального значения на моем графике.
Итак, до того, как я проехал на машине хоть один день, на ней уже было 27000 миль, потому что я привык. Спустя год я ехал на нем, а после этого года я проехал до 39 000 миль. Я продолжал ездить на нем и ездить на нем, так что через два года я проехал 51 000 миль. Итак, каждый раз, когда я проезжаю более года, я поднимаюсь на 12 000 миль.
В итоге мы получаем набор точек, которые находятся ровно в ряд, и эти точки образуют линию.На графике все линейные уравнения выглядят как линии, что имеет смысл, поскольку линейный и линейный – это почти одно и то же слово. Пока я рисовал график, вы, возможно, заметили треугольник, который я нарисовал под ним, где я проехал за год и поднялся на 12 000 миль. Этот треугольник называется треугольником наклона, и он помогает нам определять и рисовать наклон графика. Опять же, наклон – это еще одно название того, насколько быстро движется паттерн. Наклон – это также то, что мы называем подъемом над бегом; это в основном означает, как он идет вверх и вниз, разделенный на то, насколько он идет влево и вправо.
Этот график действительно хорош, потому что он показывает мне, сколько миль будет на моей машине в любой момент на одном снимке, но на самом деле это только приблизительные оценки. Если бы я хотел узнать, сколько миль было на моей машине через 1 год, 7 месяцев и 6 дней, мне пришлось бы подойти к этому моменту и перечитать его. Мы могли догадаться, что их около 50, но точно не знаем. И здесь на помощь приходит алгебра.
Итак, насколько я понимаю, большинство автомобилей служат около 250 000 миль; Думаю, я был бы счастлив, если бы моя машина доехала так далеко. У меня вопрос, сколько еще у меня осталось? Прослужит ли моя машина столько, сколько я думаю, или мне скоро придется покупать другую? Мы можем использовать уравнение, чтобы ответить на этот вопрос, где y – количество миль, а x – количество прошедших лет: 250 000 = 12 000x + 27 000.
На этом этапе я могу отменить то, что было сделано с x, чтобы изолировать x и получить количество лет, которое даст мой ответ.Я знаю, что x сначала умножается на 12000, а затем к нему прибавляется 27000, поэтому мне нужно отменить эти вещи в обратном порядке. Первое, что мне нужно сделать, это вычесть по 27000 с обеих сторон. Затем мне нужно разделить обе стороны на 12000. Итак, я отменяю умножение делением; Я делю обе стороны на 12000. И я узнаю, что x около 18 лет.
Линейные уравнения представляют собой шаблоны чисел, которые либо увеличиваются, либо уменьшаются на одну и ту же величину на каждом этапе пути.Они могут быть представлены в виде пересечения угла наклона , y = mx + b, где m – наклон, а b – точка пересечения по оси y. На графике y-точка пересечения говорит вам, с чего начать, а наклон говорит вам, сколько нужно идти вверх и вниз по сравнению с тем, сколько идти влево и вправо.
В то время как графики предоставляют нам хороший обзор и хороший способ получить множество оценок, конкретное линейное уравнение может предоставить нам конкретные числа и точную сумму, которую мы ищем, чтобы помочь нам делать прогнозы на большие расстояния. будущее.
В этом перевернутом классе студенты несут ответственность за обучение и создание знаний при содействии преподавателя. Этот веб-сайт представляет собой дорожную карту, чтобы направлять студентов на их пути к тому, чтобы стать независимыми учениками и умелыми решать проблемы.
Этот проект поддерживается Программой повышения эффективности образования с помощью технологий 2013 года: «Перевернуть класс» в Калифорнийском государственном университете в Лонг-Бич.Любые вопросы или комментарии следует направлять профессору Джен-Мей Чанг (jen-mei.
[email protected]).
1.26.08.13
Цель обучения
Знакомство с перевернутой классной комнатой и программой курса
2. 28.08.13
Цель обучения
Знакомство с ожиданиями учителя и результатами обучения
Назначить 5-минутную встречу
со мной по электронной почте до 29.08.13
(определите мою доступность по этому календарю)
3.04.09.13
Цель обучения
Базовые представления о системах линейных уравнений
2-9)4. 9.09.13
Цель обучения
Линейная комбинация, наборы и диапазон
5.
11.09.13
Цель обучения
Уменьшенная форма эшелона строки и исключение по Гауссу
6. 16.09.13
Цель обучения
Методика доказательства или опровержения утверждений «если-то» для истинных / ложных задач
34-37; стр. 43-46)Lay pg.40: 9,11,13,15,17,19,23,31;
стр. 47: 1,11,13,19,23,29,31
7. 18.09.13
Цель обучения
Линейная зависимость / независимость
1,5,7,9,11,15,17,19,21,
23,25,27,29,33,35,37
8.
23.09.13
Цель обучения
Суммативная оценка
9.25.09.13
Цель обучения
Линейное преобразование
10. 30.09.13
Цель обучения
1-1 и на
70-76)11. 02.10.13
Цель обучения
Два вида матричного умножения
12. 07.10.13
Цель обучения
Обратная матрица и ее приложения
Викторина.11 ->)13. 09.10.13
Цель обучения
Свойства обратимых матриц и определителей
14. 14.10.13
Цель обучения
Векторные пространства и подпространства
190-195)15. 16.10.13
Цель обучения
Суммативная оценка
16. 21.10.13
Цель обучения
Пустые пробелы и пробелы в столбцах
17.
23.10.13
Цель обучения
Основа
18. 28.10.13
Цель обучения
Системы координат
Quiz.16 ->)19. 30.10.13
Цель обучения
Зависимость размерности векторного пространства от ранга матрицы
20. 04.11.13
Цель обучения
Смена базы
Quiz.18 ->)21. 06.11.13
Цель обучения
Собственные векторы и собственные значения
22. 11.12.13
Цель обучения
Развитие навыков для самостоятельного обучения
23.
13.11.13
Цель обучения
Суммативная оценка
24. 18.11.13
Цель обучения
Диагонализация матрицы
25. 20.11.13
Цель обучения
Приближающая ось = b; количественное определение Ax-b
330-336)26. 25.11.13
Цель обучения
Ортогональные выступы
27.02.12.13
Цель обучения
Кульминация навыков
Группы 1-4:
Quiz.23 ->)28. 04.12.13
Цель обучения
Кульминация навыков
Группы 1-4: 29.
09.12.13
Цель обучения
процесс Грама-Шмидта; Задачи наименьших квадратов
30. 13.12.13
Цель обучения
Суммативная оценка
Видео по математике для седьмого класса для детей для отработки математических навыков седьмого класса.На этой странице есть бесплатные видео по алгебре ; также подпишитесь на просмотр дополнительных видеороликов для 7 класса по следующим темам: целые числа, порядок операций, пропорции, многочлены, единицы измерения, показатели и степени, научная запись, написание уравнений и выражений, проценты и отношения, теорема Пифагора, углы, теорема чисел, и т.
Д.
Практика Добавление целых чисел с помощью правил в этом видео на MathFox.
Практика Добавление целых чисел с помощью Т-диаграммы в этом видео на MathFox.
Практикуйте правильный порядок операций PEMDAS с помощью этого видео на MathFox.
Практика умножения Деление целых чисел по правилам с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте порядок операций в уравнении с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте порядок операций с этим видео на MathFox.
Скорость практики с этим видео на MathFox.
Практических соотношения с этим видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении двухшагового уравнения с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении 2-х шагового уравнения 2 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении 2-х шагового уравнения 3 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении выражений с помощью этого видео на MathFox.
Практика Решение пропорций с помощью кросс-произведений с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычитании целых чисел по правилам в этом видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в вычитании целых чисел с помощью Т-диаграммы в этом видео на MathFox.
Практикуйтесь в использовании PEDMAS Solve Expression с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте абсолютную ценность с этим видео на MathFox.
Практикуйтесь в добавлении многочленов с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в преобразовании единиц измерения с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в построении графических линейных уравнений по трем точкам с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте графические линейные уравнения 3 пункта Урок 2 с этим видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в построении координатных точек с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспонент 01 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспонент 02 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспоненты 03 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспонент 04 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспонент 05 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте свойства экспоненты 06 с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте рациональные иррациональные числа с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте отрицательные экспоненты в научной нотации с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте положительные экспоненты в научной нотации с этим видео на MathFox.
Тренируйте наклон с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении уравнений с использованием сложения с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении уравнений с использованием деления с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении уравнений с помощью умножения с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении уравнений с использованием вычитания с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в решении выражений с заменой с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычитании многочленов с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в написании уравнений с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в написании выражений с помощью этого видео на MathFox.
Практика дроби от десятичной дроби с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте десятичные дроби в процентах с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычислении процента с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычислении процента числа с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в поиске целых из процентов с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте дробь в десятичную с помощью деления с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте дробь в процент с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте процентное преобразование в десятичное с помощью этого видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в сложении дробей с непохожими знаменателями с помощью этого видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в сложении смешанных чисел с разными знаменателями с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в делении дробей с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в делении смешанных чисел с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в умножении дробей с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в умножении смешанных чисел с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычитании дробей с непохожими знаменателями с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в вычитании смешанных чисел с непохожими знаменателями с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в прерывании и повторении десятичных знаков с помощью этого видео на MathFox.
Практика от процента к дроби с помощью этого видео на MathFox.
Практика Решение пропорций эквивалентных дробей с помощью этого видео на MathFox.
Практика круга с этим видео на MathFox.
Практикуйте окружность круга с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте Теорию Пифагора 2 с этим видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в решении теории Пифагора с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте дополнительные ракурсы с помощью этого видео на MathFox.
Попрактикуйтесь в поиске недостающих углов с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйтесь в параллельных строках с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте перпендикулярные линии с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте сумму углов в круге с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте сумму углов в четырехугольнике с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте сумму углов в треугольнике с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте дополнительные ракурсы с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте объем цилиндра с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте объемную треугольную призму с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте вертикальные углы с помощью этого видео на MathFox.
Practice Expodent to Standard Form с помощью этого видео на MathFox.
Практикуйте стандарт для экспонентных форм чисел с помощью этого видео на MathFox.
Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.
Пример
$$ y = x + 7 $$
$$ если \; х = 2 \; затем
долларов США$$ y = 2 + 7 = 9 $$
Если бы мы присвоили x другое значение, уравнение дало бы нам другое значение y.
Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.
В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной.В нашем примере выше x – независимая переменная, а y – зависимая переменная.
Функция – это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.
Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y. f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.
Пример
$$ f (x) = x + 7 $$
$$ если \; х = 2 \; затем
долларов США$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$
Функция линейна, если ее можно определить с помощью
.$$ f (x) = mx + b $$
f (x) – значение функции.
м – наклон линии.
b – значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, в которой линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x – значение координаты x.
Эта форма называется формой пересечения наклона. Если m (наклон) отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.
Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.
Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен
$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$
$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$
Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.
Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?
КАРТА ПРОГРАММЫ
Коммутативные и ассоциативные свойства присоединения
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Сгенерируйте эквивалентные выражения, используя два аддитивных свойства.В этом видео основное внимание уделяется использованию ассоциативных и коммутативных свойств сложения для объединения похожих терминов, упрощения выражений и создания эквивалентных выражений.
Навык: применять свойства операций как стратегии для сложения, вычитания, разложения и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.
Грузия Стандарт: 7.EE.1
Линейные уравнения с одной переменной
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
Визуализируйте решения уравнений с одной переменной, выполняя балансирующее действие.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется линейным уравнениям и математическим рассуждениям, чтобы показать, как уравнения с одной переменной должны оставаться сбалансированными, чтобы их правильно решать, а затем вы можете моделировать свои собственные проблемы и решать их.
Навыки: использовать переменные для представления величин в реальном мире или в математических задачах, а также создавать простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r – конкретные рациональные числа.Бегло решать уравнения этих форм.
Стандарты Джорджии: 7.EE.4, 7.EE.4a
Решение линейных неравенств с отрицательными числами
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Решите неравенство с отрицательными числами и переменной. В этом видео рассказывается об использовании обратных операций для поиска переменной и важности изменения неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
Навык: решать проблемы со словами, приводящие к неравенствам в форме px + q> r или px + q
Грузия Стандарт: 7.EE.4b
Масштабирование
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Наблюдайте, что происходит с изображением при изменении масштаба.
Это интерактивное упражнение направлено на визуальное сравнение мультипликативных и аддитивных отношений.
Навык: решать проблемы, связанные с масштабными чертежами геометрических фигур, включая вычисление фактических длин и площадей из масштабного чертежа и воспроизведение масштабного чертежа в другом масштабе.
Грузия Стандарт: 7.G.1
Построение треугольников
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Попытка построить множество различных треугольников с помощью виртуальных соединительных лент.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется появлению треугольников и управлению ими.
Навык: исследовать различные геометрические фигуры в заданных условиях. Сосредоточьтесь на создании треугольников из трех размеров углов и / или сторон, замечая, когда условия определяют уникальный треугольник, более одного треугольника или отсутствие треугольника.
Грузия Стандарт: 7.G.2
Сечения куба
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Разрежьте куб виртуальным мечом и наблюдайте за полученными поперечными сечениями.Это интерактивное упражнение направлено на обнаружение взаимосвязей между двух и трехмерными формами.
Навык: Описывать двумерные фигуры (поперечные сечения), полученные в результате разрезания трехмерных фигур, например, в плоских сечениях прямоугольных призм, прямоугольных пирамид, конусов, цилиндров и сфер.
Грузия Стандарт: 7.G.3
Трехколесный велосипед с квадратным колесом: радиус и окружность
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
Раскройте секрет работы трехколесного велосипеда в Национальном математическом музее.
В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется работе с радиусом различных кругов для определения длины окружности и площади, а также предлагается вам найти расстояние, которое квадратное колесо проходит по трассе.
Навык: учитывая формулы для площади и окружности круга, используйте их для решения задач; дают неформальный вывод отношения между окружностью и площадью круга.
Грузия Стандарт: 7.G.4
Поиск неизвестных углов
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Узнайте, как решать задачи, связанные с поиском неизвестных дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углов, в этом видеоролике Math Shorts от Utah Education Network и Planet Nutshell, Inc.
Навык: Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла на фигуре.
Грузия Стандарт: 7.G.5
Thinkport: умножение положительного целого числа на отрицательное целое число
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Исследуйте целочисленное умножение, рассматривая траекторию полета воздушного шара по мере его взлета и падения в этом интерактиве из MPT.В сопутствующем занятии в классе учащиеся играют в игру, в которой они находят произведение двух целых чисел и перемещают кнопку на соответствующее расстояние и в соответствующем направлении вдоль числовой линии. Затем они используют интерактив. Чтобы получить максимальную отдачу от урока, учащиеся должны чувствовать себя комфортно, используя числовую линию для сложения положительных и отрицательных целых чисел, и они должны быть знакомы с понятием, что числовые противоположности в сумме равны 0. Для более длительного самостоятельного обучения учащихся с использованием этого носителя, см.
«Умножение положительного целого числа на отрицательное» на Thinkport от Общественного телевидения Мэриленда.
Навык: понять, что умножение расширяется от дробей до рациональных чисел, требуя, чтобы операции продолжали удовлетворять свойствам операций, в частности свойству распределения, что приводит к таким продуктам, как (-1) (- 1) = 1 и правилам для умножение чисел со знаком. Интерпретируйте произведения рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
Грузия Стандарт: 7.NS.2a
Умножение и деление на минус
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
Углубите свое понимание умножения и деления рациональных чисел.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется правилам нахождения произведений и частных положительных чисел, отрицательных чисел и дробей, а затем нахождению решений на числовой прямой.
Навык: понимать, что целые числа можно делить, при условии, что делитель не равен нулю, и каждое частное целых чисел (с ненулевым делителем) является рациональным числом.
Если p и q целые числа, то – (p / q) = (- p) / q = p / (- q).
Грузия Стандарт: 7.NS.2b
Преобразование рациональных чисел
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Из этого видео вы узнаете, как использовать деление и разряд для преобразования дробей в десятичные.В сопутствующем занятии учащиеся смотрят видео, чтобы помочь им узнать, как преобразовать дробь в десятичную с помощью деления. Затем они обращают внимание на размещение рациональных чисел на числовой прямой. Практика расстановки этих чисел укрепляет у учащихся чувство числа. Это также дает им возможность практиковаться в преобразовании различных представлений одного рационального числа.
Навык: преобразовывать рациональное число в десятичное с помощью длинного деления; знайте, что десятичная форма рационального числа оканчивается нулями или в конечном итоге повторяется.
Грузия Стандарт: 7.
NS.2d
Присадка обратная
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
В этом анимационном видеоролике Math Shorts от Utah Education Network объясняется термин «аддитивная инверсия» и приводится несколько примеров, демонстрирующих эту концепцию. В сопутствующем занятии учащиеся создают уравнения и решают задачи, которые включают добавление групп отрицательных и положительных целых чисел, сумма которых равна нулю.Чтобы получить максимальную отдачу от этого упражнения, учащиеся должны уметь наносить положительные и отрицательные целые числа на числовую линию.
Навык: показать, что сумма числа и его противоположности равна 0 (аддитивные обратные величины). Опишите ситуации, в которых противоположные величины объединяются, чтобы получить 0.
Грузия Стандарт: 7.NS1a
Логические скачки: добавление рациональных чисел в числовую строку
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
В этом интерактиве используйте логику для решения загадок, связанных с соревнованиями по прыжкам валлаби.
Сложите два последовательных прыжка и разместите их на числовой прямой, найдя для этого эквивалентные дроби и общие знаменатели. Прыжки назад представляют собой отрицательные числа, а прыжки вперед представляют собой положительные числа. Числа рандомизированы, поэтому можно ответить на загадки и поставить валлаби на числовую линию несколько раз. Сопутствующее занятие в классе включает в себя обзор концепции дробной / десятичной дроби и раздаточный лист для ответов для поддержки онлайн-работы.
Навык: понимать p + q как число, расположенное на расстоянии от p, в положительном или отрицательном направлении, в зависимости от того, является ли q положительным или отрицательным.Интерпретируйте суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
Грузия Стандарт: 7.NS1b
Вычитание отрицательных чисел: самоучка алгебры
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Оказывается, вычитание минусов – это то же самое, что прибавление плюсов! Узнайте, почему, с помощью этого интерактивного видео из серии «Самостоятельная школа алгебры».
Навык: понимать вычитание рациональных чисел как добавление обратного аддитивного числа, p – q = p + (- q). Покажите, что расстояние между двумя рациональными числами на числовой прямой является абсолютной величиной их разницы, и примените этот принцип в контексте реального мира.
Грузия Стандарт: 7.NS1c
Умножение дробей на целые числа: рецепты
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
В этом смешанном уроке, поддерживающем навыки грамотности, учащиеся смотрят видеоролики и выполняют интерактивные задания, чтобы узнать о дробях и узнать, как выполнять определенные операции с дробями.Учащиеся развивают свои навыки грамотности по мере изучения математики с упором на умножение дробей на целые числа. Во время этого процесса они читают информационный текст, изучают и практикуют словарный запас, а также исследуют контент с помощью видео и интерактивных заданий.
Навык: вычислять удельные скорости, связанные с соотношениями долей, включая соотношения длин, площадей и других величин, измеряемых в одинаковых или разных единицах.
Грузия Стандарт: 7.RP.1
Дерево человека: соотношения
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Посмотрите, как Национальный музей математики создает интересную серию изображений с использованием соотношений.В этом видео основное внимание уделяется пропорциональным отношениям, наблюдаемым во фракталах, и предлагается критически мыслить, используя соотношения и масштабные коэффициенты.
Навык: распознавать и представлять пропорциональные отношения между количествами.
Грузия Стандарт: 7.RP.2
Разделение времени: реальная скорость
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
Дэн должен бегать зимой по другой трассе, как он может рассчитать свое промежуточное время на меньшей трассе? В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется использованию того, что вы знаете о соотношениях, для расчета правильного промежуточного времени для разных треков, а затем вам предлагается использовать соотношения для решения схожих задач.
Навык: решить, находятся ли две величины в пропорциональной зависимости, например, путем проверки эквивалентных соотношений в таблице или построения графика на координатной плоскости и наблюдения за тем, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.
Грузия Стандарт: 7.RP.2a
Площадь и объем в производстве ткани Капа
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Гавайский художник-капа объясняет, как она использует площадь и размеры как часть своего художественного процесса, в этом видео из Центра азиатско-американских СМИ.В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся смотрят видео и узнают, как художник находит область ткани, которую она может создать с помощью одной чашки волокна коры дерева. Затем учащиеся выясняют, сколько чашек из волокон коры дерева им понадобится для ткани капа, чтобы покрыть различные поверхности в классе.
Чтобы извлечь максимальную пользу из этого урока, учащиеся должны иметь опыт использования константы пропорциональности для нахождения пропорциональных соотношений.
Навык: определять константу пропорциональности (единицу измерения) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.
Грузия Стандарт: 7.RP.2b
Комбинация нижних процентов: пропорциональные отношения с многоступенчатым соотношением и процентными проблемами
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Узнайте, как рассчитать продажную цену при объединении двух «процентных» скидок в этом видео от KQED. В сопутствующем занятии в классе учащиеся разрабатывают и обмениваются различными стратегиями, включая моделирование с сеткой 10 x 10 для определения общей скидки и цены продажи при объединении двух скидок с процентной скидкой.Они сравнивают свои стратегии с подходом, продемонстрированным на видео.
Чтобы получить максимальную отдачу от занятия, учащимся должно быть комфортно рассчитывать скидку как процент от суммы в долларах (например, 20% от предмета по цене 50 долларов) и они должны быть знакомы с концепцией соотношения.
Навык: Используйте пропорциональные отношения для решения многошаговых задач с соотношением шагов и процентов. Примеры: простые проценты, налог, наценки и уценки, чаевые и комиссии, а также сборы.
Грузия Стандарт: 7.RP.3
Выборка населения: рыба
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
В этом смешанном уроке, поддерживающем навыки грамотности, ученики смотрят видео и выполняют интерактивные задания, чтобы узнать, как племя оджибве в Миннесоте измеряют численность различных рыб в своем озере, как они интерпретируют собранные данные и как они делают прогнозы относительно будущих популяций. на основании своих выводов.
Учащиеся развивают свои навыки грамотности по мере изучения математики с упором на выборку населения. Во время этого процесса они читают информационный текст, изучают и практикуют словарный запас, а также исследуют контент с помощью видео и интерактивных заданий.
Навык: использовать данные из случайной выборки, чтобы делать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой. Создание нескольких выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера для измерения вариации оценок или прогнозов
Грузия Стандарт: 7.СП.2
Использование выборки и статистики для удаления мусора в Perfectamundo
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: Интерактивный урок
Узнайте, как CyberSquad использует выборку и анализ данных, чтобы помочь решить проблему с мусором в городе, в этом интерактиве от WNET. В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся смотрят серию видеоклипов, в которых CyberSquad пытается избавиться от горы мусора путем его сокращения, повторного использования и переработки.
Учащиеся используют выборку, умножение и дроби, чтобы определить количество мусора для каждого метода удаления, а затем выполнить задание по выборке и анализу данных по своему собственному замыслу.
Навык: использовать данные из случайной выборки, чтобы делать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой. Создание нескольких выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера для измерения вариации оценок или прогнозов
Грузия Стандарт: 7.СП.2
Случайный бросок монеты
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Подбросьте виртуальную монету, чтобы познакомить с концепцией вероятности или изучить ее. Это интерактивное упражнение направлено на определение вероятностей, связанных с повторным подбрасыванием монеты, и построение древовидных диаграмм, чтобы вывести математику из класса в реальный мир.
Навык: разработать вероятностную модель и использовать ее для определения вероятностей событий.
Сравните экспериментальную и теоретическую вероятности событий. Если вероятности не близки, объясните возможные источники расхождения.
Грузия Стандарт: 7.SP.7
Вероятность с костями
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Исследуйте базовую вероятность, визуализируя все возможные результаты в пространстве выборки. В этом видео основное внимание уделяется нанесению на карту области выборки для броска двух игральных костей и последующему вычислению вероятности выпадения восьмерки с использованием нанесенной на карту области выборки.
Навык: разработать единую вероятностную модель, назначив равную вероятность всем исходам, и использовать модель для определения вероятностей событий
Грузия Стандарт: 7.SP.7a
Пространство вероятности
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Представляем вклад Кардано в концепцию теоретической вероятности.
Это видео дает визуальное представление о пространстве выборки для случайных событий и объясняет, как рассчитать вероятность.
Навыки: разработать вероятностную модель (которая может быть неоднородной), наблюдая за частотами в данных, полученных в результате случайного процесса.
Представьте образцы пространств для составных событий, используя такие методы, как организованные списки, таблицы и древовидные диаграммы. Для события, описываемого повседневным языком (например, «катящиеся двойные шестерки»), определите результаты в пространстве выборки, которые составляют событие
Стандарты Грузии: 7.SP.7b, 7.SP.8b
Вероятность и древовидные диаграммы
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: интерактивный
Используйте древовидную диаграмму, чтобы найти вероятность того, что в этом интерактиве из MPT будут все девочки из тройни.В сопутствующем задании в классе учащиеся выясняют вероятность различных исходов сложных событий с набором игральных костей, например, вероятность выпадения дублей и вероятность выпадения хотя бы одной «2».
Они разделяют стратегии решения, включая методы представления пробелов для этих составных событий. Чтобы получить максимальную отдачу от урока, учащиеся должны иметь опыт разработки и использования единых вероятностных моделей.
Навык: находить вероятности сложных событий с помощью организованных списков, таблиц, древовидных диаграмм и моделирования.
Грузия Стандарт: 7.SP.8
Подборка меню: выбор и наборы данных
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Выясните, как вы можете использовать математику, не осознавая этого, когда вы выбираете еду в ресторане. Это видео посвящено статистике, когда ресторан предлагает комбинации в своем меню.
Навык: понимать, что, как и в случае с простыми событиями, вероятность составного события – это доля исходов в пространстве выборки, для которых возникает составное событие.
Грузия Стандарт: 7.
SP.8a
Ваши шансы на победу в Powerball: вероятности сложных событий с использованием визуальных элементов
Источник: PBS Learning Media
Тип ресурса: видео
Из этого видео вы узнаете о шансах на выигрыш в лотерею Powerball и узнайте, что немногие люди осознают о своих шансах на выигрыш: они ничтожны. В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся создают простые модели лотереи, чтобы помочь им понять вероятность сложных событий.Хотя вероятность успеха в этих экспериментах выше, чем у Powerball, студенты быстро поймут, что шансы на победу в любой лотерее редко в их пользу.
Навык: объяснять способы настройки моделирования и использования моделирования для генерации частот для сложных событий.
Грузия Стандарт: 7.SP.8c
Решите задачи со словами, которые приводят к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r – конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника 54 см. Его длина 6 см. Какова его ширина? Решите задачи со словами, приводящие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r – конкретные рациональные числа.Изобразите набор решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно сделать, и опишите решения. MAFS.7.EE.2.4 – Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
Решите задачи со словами, которые приводят к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r – конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника 54 см. Его длина 6 см. Какова его ширина? Решите задачи со словами, приводящие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r – конкретные рациональные числа.Изобразите набор решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно сделать, и опишите решения.
Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
Изобразите набор решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно сделать, и опишите решения. При решении задач со словами, приводящих к уравнениям с одной переменной в форме px + q = r и p (x + q) = r, учащиеся решают уравнения бегло.Это потребует свободного владения арифметикой рациональных чисел (7.NS.1.1–1.3), а также в некоторой степени свободного владения применением операций свойств для перезаписи линейных выражений с рациональными коэффициентами (7.
EE.1.1).
Примеры возможностей для углубленного изучения
Работа по достижению этого стандарта основывается на работе, которая привела к встрече 6.EE.2.7, и готовит студентов к работе, которая приведет к встрече 8.EE.3.7.
Общая информация
Предметная область: Математика
Оценка: 7
Домен-Поддомен: Выражения и уравнения
Кластер: Уровень 2: Базовое применение навыков и концепций
Дата принятия или изменения: 14.
02
Дата последней оценки: 14.02
Статус: Утверждено Государственным советом
Оценено: Да
Технические характеристики объекта испытаний
Неравенства могут использовать ≤ или ≥.
Неравенство не может быть составным неравенствомДа
Допустимо
Образцы тестовых заданий (4)
Периметр прямоугольного сада 37.5 футов (футов). Ширина равна x, а длина составляет 15 футов. Какова ширина сада в футах?
На работе Джесси зарабатывает 9 долларов.
50 в час. Она также зарабатывает бонус в размере 60 долларов каждый месяц.
Джесси нужно зарабатывать более 460 долларов в месяц.
A. Создайте неравенство, которое представляет ситуацию, где h представляет количество часов, которое Джесси необходимо отработать в месяц, чтобы заработать более 460 долларов.
B. Введите минимальное количество часов, которое Джесси должна будет работать, чтобы заработать 460 долларов в месяц.
Этот вопрос состоит из трех частей .
Ванесса добавила 40 галлонов воды в свой новый пруд с рыбками на заднем дворе и хочет добавить еще воды.
Ее пруд может вместить максимум 256 галлонов. Ее садовый шланг может добавить 48 галлонов воды за 2 минуты.
Часть А . Создайте неравенство, чтобы представить количество минут, m, в течение которых Ванесса могла запустить садовый шланг, чтобы добавить больше воды в пруд, не добавляя максимальное количество в случае дождя.
Часть B. Перетащите соответствующую стрелку и обведите в числовую линию, чтобы построить график решения неравенства из Части A.
Часть C. Выберите время в минутах, в течение которого Ванесса может покинуть дом.
Альтернативная версия этого теста для учащихся со значительными когнитивными нарушениями.
Проверенные ресурсы преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам, связанным с этим тестом.
Директор Центральной средней школы думает о добавлении пиццы в обеденное меню по понедельникам и пятницам, но ему нужна помощь в определении затрат на ломтик и в том, что учащиеся считают важным о пицце.
После того, как студенты приняли первоначальное решение по поводу пиццы, директор вспоминает, что за доставку взимается плата. Студенты должны пересмотреть свое решение и провести дополнительные вычисления, чтобы увидеть, работает ли их первоначальный процесс.
Типовые мероприятия по выявлению (MEA) – это открытые междисциплинарные мероприятия по решению проблем, которые призваны выявить мысли учащихся о концепциях, заложенных в реалистичных ситуациях. Щелкните здесь, чтобы узнать больше о МПС и о том, как они могут изменить ваш класс.
Робот-разведчик: масса, плотность, объем, вес: В этом MEA студенты должны выбрать, какой материал использовать при разработке усовершенствованного военного робота-разведчика. Студенты должны проанализировать данные об индивидуальных свойствах каждого материала, чтобы сделать его правильным выбором для военной или полицейской службы.
Студенты должны выполнить расчеты, чтобы определить плотность материала, а также общую массу и вес робота. В этом уроке основное внимание уделяется характерным свойствам плотности, преобразованию единиц измерения и различию между массой и весом.
Типовые мероприятия по выявлению (MEA) – это открытые междисциплинарные мероприятия по решению проблем, которые призваны выявить мысли учащихся о концепциях, заложенных в реалистичных ситуациях. Щелкните здесь, чтобы узнать больше о МПС и о том, как они могут изменить ваш класс.
Студентов просят сравнить арифметическое решение с алгебраическим решением словесной задачи.
Студентам предлагается решить два уравнения с рациональными числами.
Квадраты:Учащимся предлагается написать и решить уравнение вида p ( x + q ) = r в контексте задачи о периметре квадрата.
Напишите и решите уравнение: Учащимся предлагается написать и решить двухэтапное уравнение для моделирования взаимосвязи между переменными в заданном сценарии.
Используйте модели для решения задач баланса на космической станции в этом интерактивном учебнике по математике и естествознанию.
Ресурсы, прошедшие проверку, учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков, используемых в этом тесте.
Используйте модели для решения задач баланса на космической станции в этом интерактивном учебнике по математике и естествознанию.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
В этом интерактивном задании по решению задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения для определения «стоимости» отдельных типов лиц по сумме хмурых взглядов, улыбок и нейтральных лиц.
На этой странице представлены три графические задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по обдумыванию проблемы, решения и других подобных проблем.
Тип: Задача по решению проблем
Рыболовные приключения 2:Студентам предлагается написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача по решению проблем
Комплект спортивного инвентаря: Учащегося просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача по решению проблем
Такси Готэма:Цель этого задания – дать учащимся возможность решить задачу, состоящую из нескольких шагов, к которой можно подойти разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая помогает проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшой настойчивостью приводит к решению, в котором используется арифметика. Также можно рассчитать единицу скорости (в долларах за милю) и использовать ее, чтобы найти расстояние напрямую, не составляя таблицы.
Тип: Задача по решению проблем
Бревенчатая поездка: Учащимся предлагается решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача по решению проблем
Этот учебник показывает студентам, как составить и решить возрастную словесную задачу.В руководстве также показано, как проверить свою работу с помощью подстановки.
Тип: Учебное пособие
Проблема с возрастным словом: Учащиеся научатся составлять и решать возрастную словесную задачу.
Тип: Учебное пособие
Решение двухэтапных уравнений:В этом коротком видео используется уравнение и наглядная модель, чтобы объяснить, почему одни и те же шаги должны использоваться для обеих сторон уравнения при решении для значения переменной.
Тип: Учебное пособие
Линейные уравнения с одной переменной: Этот урок знакомит учащихся с линейными уравнениями с одной переменной, показывает, как их решать, используя свойства равенств сложения, вычитания, умножения и деления, и позволяет учащимся определить, является ли значение решением, существует ли бесконечно много решений или вообще нет решения.
Сайт содержит объяснение уравнений и линейных уравнений, как решать уравнения в целом, а также стратегию решения линейных уравнений. Урок также объясняет противоречие (уравнение без решения) и тождество (уравнение с бесконечными решениями). В конце есть пять практических задач для студентов, чтобы проверить свои знания со ссылками на ответы и объяснениями, как эти ответы были найдены. Также указаны дополнительные ресурсы.
Тип: Учебное пособие
На основе определения скорости могут быть составлены линейные уравнения, которые позволяют решать задачи, связанные с постоянством скорости, времени и расстояния.
Примечание. Это видео превосходит основные ожидания математических понятий на этом уровне. Видео предназначено для студентов, продемонстрировавших мастерство в рамках обучения, которые могут быть готовы к более строгому расширению математических понятий. Как и в случае со всеми материалами, убедитесь, что вы оценили готовность учащихся или адаптируете их в соответствии с потребностями учащихся до введения.
Тип: видео / аудио / анимация
В этом упражнении учащиеся подставляют значения в независимую переменную, чтобы увидеть, каковы выходные данные для этой функции.
Затем на основе этой информации они должны определить коэффициент (наклон) и константу (пересечение оси y) для линейной функции. Это упражнение позволяет студентам изучить линейные функции и то, какие входные значения полезны при определении правила линейной функции. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с апплетом Java.
Тип: виртуальный манипулятор
Проверенные ресурсы, которые могут использовать воспитатели, чтобы помочь учащимся изучить концепции и навыки, используемые в этом тесте.
В этом интерактивном задании по решению задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения для определения «стоимости» отдельных типов лиц по сумме хмурых взглядов, улыбок и нейтральных лиц.На этой странице представлены три графические задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по обдумыванию проблемы, решения и других подобных проблем.
Тип: Задача по решению проблем
Рыболовные приключения 2: Студентам предлагается написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача по решению проблем
Комплект спортивного инвентаря:Учащегося просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача по решению проблем
Такси Готэма: Цель этого задания – дать учащимся возможность решить задачу, состоящую из нескольких шагов, к которой можно подойти разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая помогает проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшой настойчивостью приводит к решению, в котором используется арифметика.
Также можно рассчитать единицу скорости (в долларах за милю) и использовать ее, чтобы найти расстояние напрямую, не составляя таблицы.
Тип: Задача по решению проблем
Бревенчатая поездка:Учащимся предлагается решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача по решению проблем
…\ begin {align *} 2г – 3 & = 7 \\ 2л & = 10 \\ y & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 2c & = c – 8 \\ c & = -8 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3 & = 1 – 2c \\ 2c & = 1 – (3) \\ 2c & = -2 \\ c & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align *}
\ begin {align *} 4b +5 & = -7 \\ 4b & = -7 – (5) \\ 4b & = -12 \\ b & = \ frac {-12} {4} \\ & = -3 \ end {align *}
\ begin {align *} -3y & = 0 \\ у & = 0 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 16л + 4 & = -10 \\ 16лет & = -14 \\ y & = – \ frac {14} {16} \\ & = – \ frac {7} {8} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 12лет + 0 & = 144 \\ 12лет & = 144 \\ y & = 12 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 7 + 5л & = 62 \\ 5лет & = 55 \\ y & = 11 \ end {выровнять *}
\ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)
\ begin {align *} 55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\ 220 & = 20х + 3 \\ 20x & = 217 \\ х & = \ frac {217} {20} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 5х & = 2х + 45 \\ 3x & = 45 \\ х & = 15 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 23х – 12 & = 6 + 3х \\ 20x & = 18 \\ x & = \ frac {18} {20} \\ & = \ frac {9} {10} \ end {выровнять *}
\ (12 – 6x + 34x = 2x – 24 – 64 \)
\ begin {align *} 12 – 6x + 34x & = 2x – 24 – 64 \\ 12 + 28x & = 2x – 88 \\ 26x & = -100 \\ x & = – \ frac {100} {26} \\ & = – \ frac {50} {13} \ end {выровнять *}
\ (6x + 3x = 4-5 (2x – 3) \)
\ begin {align *} 6x + 3x & = 4-5 (2x – 3) \\ 9x & = 4 – 10x + 15 \\ 19x & = 19 \\ х & = 1 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 18 – 2р & = р + 9 \\ 9 & = 3п \\ p & = 3 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)
\ begin {align *} \ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\ (4) (24) & = (16) (p) \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} – (- 16 – п) & = 13п – 1 \\ 16 + п & = 13п – 1 \\ 17 & = 12п \\ p & = \ frac {17} {12} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f – 10 & = 10 \\ 3f & = 20 \\ f & = \ frac {20} {3} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f + 16 & = 4f – 10 \\ f & = 26 \ end {выровнять *}
\ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)
\ begin {align *} 10f + 5 & = -2f – 3f + 80 \\ 10f + 5 & = -5f + 80 \\ 15f & = 75 \\ f & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 8 (ф – 4) & = 5 (ф – 4) \\ 8f – 32 & = 5f – 20 \\ 3f & = 12 \\ f & = 4 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 6 & = 6 (f + 7) + 5f \\ 6 & = 6f + 42 + 5f \\ -36 & = 11f \\ f & = – \ frac {36} {11} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} -7x & = 8 (1 – х) \\ -7x & = 8 – 8x \\ х & = 8 \ end {выровнять *}
\ (5 – \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)
\ begin {align *} 5 – \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\ \ frac {5b – 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\ 5b – 7 & = 2b + 8 \\ 3b & = 15 \\ b & = 5 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {x + 2} {4} – \ dfrac {x – 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)
\ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} – \ frac {x – 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3 (x + 2) – 4 (x – 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3x + 6 – 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\ (-x + 30) (2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12 \\ -2x & = -48 \\ х & = 24 \ end {выровнять *}
\ (1 = \ dfrac {3a – 4} {2a + 6} \)
Обратите внимание, что \ (a \ neq – -3 \)
\ begin {align *} 1 & = \ frac {3a – 4} {2a + 6} \\ 2а + 6 & = 3а – 4 \\ а & = 10 \ end {выровнять *}\ (\ dfrac {2-5a} {3} – 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 – a \)
\ begin {align *} \ frac {2-5a} {3} – 6 & = \ frac {4a} {3} +2 – a \\ \ frac {2-5a} {3} – \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\ \ frac {2-5a – 4 a + 3a} {3} & = 8 \\ 2 – 6а & = 24 \\ 6а & = -22 \\ а & = – \ frac {22} {6} \ end {выровнять *}
\ (2 – \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)
Примечание \ (b \ neq -5 \)
\ begin {align *} 2 – \ frac {4} {b + 5} & = \ frac {3b} {b + 5} \\ 2 & = \ frac {3b + 4} {b + 5} \\ 2b + 10 & = 3b + 4 \\ b & = 6 \ end {выровнять *}\ (3 – \ dfrac {y – 2} {4} = 4 \)
\ begin {align *} 3 – \ frac {y – 2} {4} & = 4 \\ – \ frac {y – 2} {4} & = 1 \\ -у + 2 & = 4 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}
\ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)
\ begin {align *} \ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\ \ text {1,5} x – \ text {1,25} x & = – \ text {3,125} \\ \ text {0,25} x & = – \ text {3,125} \\ х & = – \ текст {12,5} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} x + 1) = \ text {4,1} – x \)
\ begin {align *} \ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} – x \\ \ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} – x \\ \ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\ x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\ & = \ frac {280} {451} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {6,5} х – \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)
\ begin {align *} \ text {6,5} x – \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\ \ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\ x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\ & = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\ & = \ frac {223} {45} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P – 10 = 0 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P – 10 & = 0 \\ \ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\ 5П & = 60 \\ P & = 12 \ end {выровнять *}
\ (1 \ frac {1} {4} (x – 1) – 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)
\ begin {align *} 1 \ frac {1} {4} (x – 1) – 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x – \ frac {5} {4} – \ frac {3} {2} (3x) – \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x – \ frac {5} {4} – \ frac {9} {2} x – \ frac {6} {2} & = 0 \\ \ frac {5 – 18} {4} x + \ frac {-5 – 12} {4} & = 0 \\ \ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\ -13x & = 17 \\ х & = – \ frac {17} {13} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\ \ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\ – \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} – 3 & = \ frac {2} {15} x \\ – \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\ х & = – \ frac {38} {2} \\ х & = -19 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} – \ dfrac {3} {a} = 2 \)
\ begin {align *} \ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} – \ frac {3} {a} & = 2 \\ \ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\ \ frac {15 + 1 – 18} {6a} & = 2 \\ \ frac {-2} {6a} & = 2 \\ -2 & = 12а \\ а & = – \ frac {1} {6} \ end {выровнять *}
.