| 1. |
Корень линейного уравнения
Сложность: лёгкое |
1 |
| 2. |
Решение линейного уравнения
Сложность: лёгкое |
1 |
| 3. |
Линейное уравнение, схема решения
Сложность: лёгкое |
1 |
| 4. |
Линейное уравнение (коэффициент при x дробный)
Сложность: лёгкое |
1 |
| 5. |
Составление и решение линейного уравнения
|
2 |
| 6. |
Линейное уравнение вида x + a = b
Сложность: лёгкое |
1 |
| 7. |
Линейное уравнение вида x + a = 0
Сложность: лёгкое |
1 |
| 8. |
Линейное уравнение вида ax + b = 0
Сложность: лёгкое |
1 |
| 9. |
Линейное уравнение (с дробями)
Сложность: среднее |
2 |
| 10. |
Линейное уравнение вида a – kx = c
Сложность: среднее |
3 |
| 11. |
Линейное уравнение вида a – b + kx = c + d – mx
Сложность: среднее |
4 |
| 12. |
Задача на движение
Сложность: среднее |
3 |
| 13. |
Задача на движение, скорость по течению и против течения
Сложность: среднее |
4 |
| 14. |
Задача на движение, две лодки
Сложность: среднее |
4 |
| 15. | Задача на движение в одном направлении Сложность: среднее | 4 |
| 16. |
Задача на движение, скорость течения реки
Сложность: сложное |
5 |
| 17. |
Решение уравнения, записанного в виде пропорции
Сложность: сложное |
3 |
| 18. |
Определение книг на полках
Сложность: сложное |
6 |
www.yaklass.ru
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение
Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):
Разделим обе части уравнения на или умножим на :
Упростим выражение в левой части уравнения:
Упростим выражение в правой части уравнения:
Таким образом, решением уравнения будет:
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .
Разделим обе части уравнения на :
Решением уравнения является .
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение
Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .
Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .
Перепишем уравнение после применения преобразований: .
Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .
Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.
Ответ: – любое число.
Пример 4. Решить уравнение: .
Решение
Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Получаем .
Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.
Ответ: нет решений.
Пример 5. Решить уравнение: .
Решение
Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :
Получим: .
Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .
Раскроем скобки:
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .
Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .
Найдем :
Ответ: .
В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом: где – переменные, – произвольные числа.
Есть несколько методов решения систем уравнений.
Пример 6. Решить систему: .
Решение (несколько способов)
1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.
Из первого уравнения выразим , для этого перенесем из левой части уравнения в правую: .
Затем умножим обе части первого уравнения на : .
Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .
Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).
Раскроем скобки во втором уравнении: .
Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .
Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .
Найдем : .
Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:
Решением системы будет: .
Ответ: .
2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.
Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .
Теперь система имеет вид: .
Сложим уравнения системы: .
Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .
Найдем :
Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .
Выразим : . Решением системы будет: .
Ответ: .
3. Графический метод
Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.е. выразим через :
Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:
Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6
Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.
Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .
Ответ: .
Пример 7. Решить систему: .
Решение
Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):
Получим:
Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:
Раскроем скобки:
Приведем подобные слагаемые:
Умножим второе уравнение на :
Сложим уравнения системы:
Получим уравнение:
Выполним действия:
Найдем :
Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:
Решением системы будет: .
Ответ: .
Задача 1
Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части (Рис. 2), причем первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая – на 114 метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Решение
1. Провод длиной 456 метров разрезали на 3&nb
interneturok.ru
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
aх = ‒ b.
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3.
Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х – любое число.
Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = – b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
Решение
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
8х = ‒1
х = ‒1 : 8
х = ‒ 0, 125
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
Решение
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
10х = 23
х = 23 : 10
х = 2,3
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение
Решение:
3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = – 36/19
Ответ: – .
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 37-4 = 33 = 27
Ответ: 27.
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Цели урока:
Ход урока
Организационный момент
Устный опрос: (вопросы классу) 2 слайд.
1). Какое уравнение называется линейным?
2). Что значит решить линейное уравнение?
3). Что называют корнем уравнения?
4). Какие из приведенных ниже уравнений являются линейными? (ответ обосновать)
| а) | б) | в) 4х – 16 = 24 |
| г) | д) 13,4 – 6х = 12 | е) |
5). Назвать этапы математического моделирования, используемые при решении задач.
Подготовка к ГИА (1бальные задания – устно) 3-6 слайды
1. Цена килограмма яблок у рублей. Сколько рублей надо заплатить за 600 г таких яблок?
| 1). (р.) | 2). 600 у (р.) | 3). 0,6у (р.) | 4). (р.) |
2. Запишите выражение для нахождения цены 1 кг сахара ( в руб.), если n тонн сахара стоят m рублей.
| 1). (р.) | 2). (р.) | 3). (р.) | 4). (р.) |
3. По какой формуле можно рассчитать скорость автомобиля (в км/ч), если за t мин он проезжает S км.
4. Туристы прошли 75% от всего туристического маршрута, и им осталось пройти 5 км. Какова длина всего маршрута?
| 1). 3,75 км | 2). 20 км | 3). 15 км | 4). 2 км |
4. Составление математической модели к задачам 4.18, 4.19, 4.25 – учебник Алгебра 7, задачник, авт. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, М., 2009г. (составление краткой записи задачи, вспомогательной таблицы и самой математической модели)
4.18. В железной руде содержатся железо и примеси в отношении 7: 2. Сколько тонн железа получится из 189 т руды?
| 1 часть | х |
| 2 части | 2х |
| 7 частей | 7х |
| всего | 2х + 7х=9х |
Решение:
Т.к. всего 189 т, то математическая модель 9х = 189.
4.19. Цена персиков на 20р. выше, чем цена абрикосов. Для консервирования компота купили 3 кг персиков и 5 кг абрикосов. По какой цене покупали фрукты, если вся покупка обошлась 620 рублей? (7 слайд)
Решение: 1. Краткая запись:
| Цена 1 кг | Кол-во кг |
всего | |
| персики | ?, на 20 руб. больше | 3 | 620 руб. |
| абрикосы | ? | 5 |
2. Вспомогательная таблица:
| цена1 кг, руб. |
Кол-во кг |
Заплачено, Руб. |
|
| персики | х+ 20 | 3 | 3(х + 20) |
| абрикосы | х | 5 | 5х |
3. Математическая модель 3(х+20) + 5х= 620
4.25. Масса двух моторов равна 52 кг. Масса одного из них в 2 раза больше другого. Найдите массу каждого мотора.
Решение: 1. Вспомогательная таблица:
| 1 мот. | х |
| 2 мот. | 2х |
| вместе | 2х + х |
2. Математическая модель х + 2х = 52
Решение задач с выделением трех этапов моделирования.
4.30.Катер за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 3 ч 24 мин по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. (8 слайд)
Решение: 1 этап.
| v, км/ч | t, ч | S, км | |
| по озеру | х | 2 | 2х |
| против течения | х – 3 | 3 | 3(х – 3) |
| по течению | х + 3 | 3,4 | 3,4(х + 3) |
Т.к. расстояние, пройденное по озеру и против течения равно расстоянию, пройденному по течению, то составим и решим уравнение 2х + 3(х – 3) = 3,4(х+3)
2 этап.
2х + 3х – 9 = 3,4х + 10,2
5х – 9 = 3,4х + 10,2
5х – 3,4х = 10,2 + 9
1,6х = 19,2
х = 12
3 этап.
Значит, 12 км/ч – собственная скорость катера.
Ответ: 12 км/ч
Подготовка к ГИА. Решение задач из сборника заданий ГИА-2010.В.В. Кочагина, М.Н. Кочагиной .Алгебра. Москва. Эксмо, 2009.
1. Велосипедист собирался преодолеть расстояние от поселка до станции за 5 часов. Выехав из поселка, он увеличил свою скорость на 3 км/ч и проехал расстояние до станции за 4 часа. Чему равно расстояние от поселка до станции?
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от поселка до станции (1балл) (9 слайд)
| 1). 5(х – 3) = 4х | 2). 5х = 4(х + 3) | 3). -= 3 | 4). -= 3 |
Решение:
Т.к. буквой х обозначено расстояние, то используя формулу пути, варианты 1 и 2 не подходят. При увеличении скорости сократится время в пути, значит, значение дроби будет больше, чем . Таким образом, искомое уравнение будет в 4 варианте.
Ответ: 4.
2.Численность рабочих, работающих в двух цехах завода, относятся как 3: 4. Сколько человек в меньшем цехе, если всего на заводе работает 4900 рабочих? (1 балл). 10 слайд
Решение:
| 1 часть | х |
| 3 части | 3х |
| 4 частей | 4х |
| всего | 3х + 4х=7х |
Т.к. всего работает 4900 рабочих, то составим и решим уравнение:
7х = 4900
х = 700,
Значит, 700 человек – 1 часть. В меньшем цехе – 3 части, тогда 3 х 700= 2100 (раб.).
Ответ: 2100 человек.
3. На три полки поставили 278 книг. На первую из них поставили на 14 книг больше, чем на вторую. На третью полку в два раза больше, чем на вторую. Сколько книг поставили на первую полку? (1 балл) (11 слайд)
| 1). 68 | 2). 80 | 3). 132 | 4). 70 |
Решение: (12 слайд)
| 1 полка | ?, на 14 кн. больше |
| 2 полка | ? |
3 полка ?, в 2 раза больше
| 1полка, кн. | х + 14 |
| 2 полка кн. | х |
| 3 полка, кн. | 2х |
| Всего, кн | 2х + х + х + 14 |
Вспомогательная таблица
Так как, всего было 278 книг, то составим и решим уравнение
4х + 14 = 278
4х = 278 – 14
4х = 264
х = 66
Значит, на второй полке было 66 книг.
2). 66 + 14 = 80 (кн.) – на первой полке.
Ответ: 2.
4. Изделие, цена которого 500 рублей, сначала подорожало на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена изделия? (2 балла) 13 слайд
Решение:
500 рублей – 100%
после подорожания на 10% – 110% = 1,1 1,1 х 500 = 550 (рублей)
550 рублей – 100%
после подорожания на 20 % – 120% = 1,2 1,2 х 550 = 660 (рублей).
Ответ: 660 рублей.
5. В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся яблок. Во второй день 180% от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день – оставшиеся 88 кг. Сколько кг яблок было на складе первоначально? (2 балла) (14 слайд)
Разберем 2 способа решения этой задачи.
1 способ (с помощью уравнения).
Вспомогательная таблица
| Было, кг | х |
| Продали в 1 день, кг | 0,2х |
| Продали во 2 день, кг | 0,2 х 1,8= 0,36х |
| Продали в третий день, кг | 88 |
Составим и решим уравнение.
0,2х + 0,36х + 88 = х
х – 0,56х = 88
0,44х = 88
х = 200
Значит, первоначально было 200 кг яблок.
2 способ.
20% – 0,2
180% от 20% – 1,8 х 0,2 = 0,36 – 36%
20% + 36% = 56% – за два дня
100% – 56% = 44%
44% составляют 88 кг, (найти целое по его части)
88 : 0,44 = 200 (кг) было яблок.
Ответ: 200 кг
Домашнее задание параграф 4 № 4.22, 4.29, 4.32.
Подведение итога урока. Решение кроссворда. (15 слайд)
Приложение.
urok.1sept.ru
На этом уроке мы вспомним, что такое уравнение, где мы встречаемся с ними в жизни и для решения каких задач они могут пригодиться. Кроме того, мы рассмотрим один из видов уравнений, самый простой – линейные уравнения с одной переменной. Научимся решать линейные уравнения в стандартном виде, а также выполнять тождественные преобразования (не меняющие набор корней уравнения) с уравнениями, которые можно свести к линейным.
Шерлок Холмс прославился тем, что он мог по наблюдаемым, хотя, казалось бы, далёким деталям делать выводы или предположения о людях и событиях, которых он совсем не знал или был едва знаком.
– Здравствуйте! – приветливо сказал Холмс, пожимая мне руку с силой, которую я никак не мог в нем заподозрить.
– Я вижу, вы жили в Афганистане.
– Как вы догадались? – изумился я.
Чуть позже Холмс объясняет цепочку умозаключений, которая привела его к такому выводу:
Этот человек по типу – врач, но выправка у него военная. Значит, военный врач. Он только что приехал из тропиков – лицо у него смуглое, но это не природный оттенок его кожи, так как запястья у него гораздо белее. Лицо изможденное, – очевидно, немало натерпелся и перенес болезнь. Был ранен в левую руку – держит ее неподвижно и немножко неестественно. Где же под тропиками военный врач-англичанин мог натерпеться лишений и получить рану? Конечно же, в Афганистане».
В повседневной жизни мы тоже делаем подобные открытия. Если вы пришли домой и видите в прихожей лишнюю пару обуви, то понимаете, что дома гости (хотя самих гостей вы ещё не увидели) (Рис. 1). Если обувь большого и маленького размера, то легко догадаться, что пришли взрослые и дети.
Рис. 1. Открытия в повседневной жизни
Иногда мы используем вычисления, чтобы по косвенным и непрямым данным определить то, что от нас скрыто. Рассмотрим пример.
Пример 1. Мама пошла в магазин и купила 5 килограммов огурцов за 100 рублей. По этим данным определить стоимость одного килограмма огурцов.
Решение: Для нахождения стоимости одного килограмма огурцов разделим общую стоимость огурцов на количество купленных килограммов: .
Ответ: 20 рублей.
В примерах выше по видимой и известной нам информации мы определили то, что от нас было скрыто.
Задача 1. У пяти мальчиков поровну яблок, а всего яблок 60. Как узнать, сколько яблок у каждого мальчика? (Рис. 2)
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Решение: Итак, мальчиков 5 и у каждого неизвестное одинаковое число яблок – обозначим эт
interneturok.ru
Линейные уравнения
Изучение данной темы мы начнем с определения уравнения вообще
1. Уравнения – это равенства, которые содержат неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называются переменными.
Например.: 6x + 12 = 2x – 4
2. Рассмотрим некоторые понятия, определение которых позволит понять, с помощью чего и каким образом решаются уравнения:
Корнем уравнения с одним неизвестным называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.
При решении уравнений иногда используются различные способы приведения их к более простому и понятному виду, в результате чего возможна потеря или приобретение лишних корней данного уравнения. Вследствие чего уравнение необходимо приводить к равносильному виду.
3. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют.
Если же в процессе преобразования появились новые корни или были утеряны существующие, то данные уравнения не будут являться равносильными.
Уравнение g(x) = 0 называется следствием уравнения f(x) = 0, если каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения.
4. Теперь перейдем непосредственно к определению линейных уравнений.
Уравнение вида ax = b, где a и b – данные числа, называется линейным уравнением с переменной x. Числа а и b – коэффициенты данного уравнения. а – коэффициент данного уравнения, b – свободный член.
Например.: 5x + 10 = 0
5. Если a <> 0, то уравнение ax = b называется уравнением первой степени с одной переменной. Его корень: x = b/a.
Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет 1 корень.
Линейное уравнение может не иметь корней или иметь один или множество корней.
Теперь попробуйте пройти тест-коррекцию!
1. Корнем уравнения называется:
Число, которое является решением этого уравнения.
Число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Число, при подстановке которого в уравнение всегда получается числовое равенство.
2 Решить уравнение – это значит:
Найти все его корни;
Найти все его корни или доказать, что корней нет;
Найти хотя бы один из корней;
Найти столько корней, сколько переменных в уравнении.
3 Два уравнения называются равносильными, если:
Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;
Каждое из этих уравнений является следствием другого;
Каждый корень первого является корнем второго;
Если они имеют одинаковые правые и левые части.
4. Укажите уравнение, неравносильное уравнению 3x = 15:
6х = 30;
3х – 15 = 0;
9х = 45;
3х + 15 = 18.
5. Одно уравнение является следствием другого, если:
Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;
Каждое из этих уравнений является следствием другого;
Каждый корень первого является корнем второго;
Если они имеют одинаковые правые и левые части.
6. Какое уравнение является следствием:
(х – 5)(х + 1) = 0 и х – 5 = 0;
5 + (х – 4) = 5 и х – 4 = 0;
х + 3 = 5 – х и x = 1;
7. Линейным уравнением называется:
Уравнение вида ах = b, где а и b – данные числа;
Уравнение вида ах = b, где а и b – данные числа, и а<>0;
Уравнение с одним неизвестным;
Уравнение с несколькими неизвестными, где а и b – данные числа.
8. Какое из приведенных уравнений является уравнением первой степени:
0y = 5;
0х = 0;
6х = 24;
2х = 0.
9. Сколько решений имеет уравнение 3(х – 5) + х = 4х – 18:
4
1;
2;
0;
не знаю.
10.Уравнение ах = b имеет один корень, если:
а <> 0;
а = b = 0;
а = 0, b <> 0;
а <> 0, b <> 0.
11.Сколько корней может иметь уравнение первой степени:
Один;
Много;
Задача
В одном баке было вдвое больше бензина, чем во втором. Когда из первого перелили во второй 25 л бензина, в обоих баках стало бензина поровну. Сколько бензина было в каждом баке первоначально?
Алгоритм решения
Подробно запиши свое решение: составление уравнения, решение уравнения, ответ задачи.
Надо быть внимательнее. Ведь из первого бака вылили 25 л, после чего осталось x л. Значит, до переливания в первом баке было не x л, а на 25 л больше.
Теперь подумай, что примешь за неизвестное x?
Итак, в первом баке после переливания стало x л, а до переливания в нем было (x+25)л. Сколько же было во втором баке до переливания? Теперь тебе, конечно, ясно, что до переливания во втором баке было не x л, а на 25л меньше, т. е. было (x-25)л.
Надо подумать, во сколько вопросов решается эта задача и какой первый вопрос
Принять за x л количество бензина, которое получилось после переливания в первом баке (по условию, столько же стало после переливания и во втором баке). Что же было до переливания?
В условии задачи сказано, что после переливания в обоих баках стало бензина одинаково. Получается соотношение 2x-25=x+25
В первом баке было 100 л, во втором – 50 л. Сказано, что в первом было в два раза больше: 100/50=2 (верно). Затем из первого перелили во второй бак 25 л. В первом стало 100-25=75 (л), во втором стало 50+25=75 . Сказано, что стало одинаково 75=75 (верно).
Данную задачу можно решить 3 способами. Подумай, что еще можно принять за неизвестное, составь новое уравнение и, вернувшись назад, проверь правильность своего нового выбора.
Мини- пособие по теме «Линейные уравнения»
Содержание
1. Актуализация знаний
2. Теоретические сведения
3. Задача-метод
4. Задача-софизм
5. Эвристики и поиск решения
6. Из истории линейных уравнений
Данную обучающую программу можно считать пособием по изучению темы “Линейные уравнения” школьного курса математики. Она предназначена для формирования приемов эвристического мышления у учащихся и абитуриентов.
Следование инструкциям и рекомендациям, а так же сознательное и добросовестное выполнение заданий предложенных в работе поможет учащимся углубить и расширить знания обязательного уровня, а также поможет сформировать у них приемы эвристического мышления.
Для эффективной работы с программой необходимо изучить структуру предложенных материалов и приемы работы с ними:
Первый этап (актуализация знаний). В тесте №1 обсуждаются вопросы, связанные с пониманием тех основ, которые входят в содержание данной темы на обязательном уровне их усвоения. Обучаемый имеет возможность самостоятельно проработать тест, при этом проанализировать и сравнить предлагаемое решение со своим личным. В случае большого количества допущенных ошибок ученик должен ознакомиться с теоретическим материалом обязательного уровня, предлагаемом его вниманию тут же. Затем он имеет возможность повторного тестирования при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте. Такая работа позволяет ученику сосредоточить свое внимание на главных моментах в излагаемой теме и подготовиться к осознанному выполнению последующих задач.
Второй этап (ознакомление с теоретическими сведениями углубленного характера). Знакомство с этими материалами позволяет обучаемому систематизировать свои знания, обобщить представления об основных положениях, связанных с решением уравнений различных видов, сформировать у себя некоторые алгоритмы и эвристические правила-ориентиры решения уравнений.
Третий этап («задача-метод»). На этом этапе работы ученику необходимо к предложенной задаче или набору нескольких задач, с предложенными методами решения выбрать наиболее рациональный и правильный на его взгляд вариант.
Четвертый этап («задача-софизм»). При прохождении четвертого этапа ученику необходимо найти ошибку в рассуждении, когда предложенная задача представляет собой цепочку выполненных действий по ее решению, в которой на одном из звеньев допущена ошибка.
Пятый этап (эвристики и поиск решения задачи). Этот этап представляет из себя систему задач, к каждой из которых даны эвристические подсказки. Такие подсказки способствует осмысленному подходу к поиску решения задачи.
Шестой этап (некоторые исторические сведения по данной теме).
Когда все этапы пройдены можно переходить к изучению следующей темы.
Желаем успехов!
Задание
Проработайте тест. При этом можно пользоваться подсказками. По окончании тестирования, если допущено большое количество ошибок, ознакомтесь с теоретическим материалом обязательного уровня. Затем пройдите повторное тестирование при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте.
Тест №1
(актуализация знаний)
1. Какое уравнение не является линейным?
2. Какая пара уравнений не является равносильной:
3. Сколько решений имеет уравнение 0х=-5?
Один корень
Не имеет решений
Бесконечно много
Ответ отличен от приведенных
4. Среди данных уравнений выберите то, которое имеет такой же корень, что и уравнение
2х-5=5х+5.
5. При каком значении у значение выражения 4(у-0,9) будет равно значению выражения 1,2+2у?
-2,4
1,2
2,4
-1,2
6. Найдите значение выражения 5k-(3k-8p), если k+4p=17.
7. Если 0,75x=-1, то чему равно х+0,75?
8. Найдите число, четверть которого меньше от его третьей части на два.
24
-24
12
6
9. При каком значении а уравнение ах=8 имеет отрицательный корень?
0
2
-2
4
10. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза младше дедушки?
48 и 63
64 и 47
37 и 64
37 и 74
Линейные уравнения с модулем
Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком модуля, называется уравнением с модулем . Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что:
При решении уравнений с модулями чаще всего применяется метод раскрытия модуля по определению. Рассмотрим этот метод на примерах.
Решим уравнение:
Решение: Данное уравнение не имеет решений так как модуль любого числа есть неотрицательное число.
Найдем корни уравнения:
Решение: Уравнение равносильно уравнению . Откуда
Теперь решим уравнение:
Решение:Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Откуда получаем два корня:
Еще один способ решения уравнений с модулями – это использование геометрического смысла модуля. Известно, что – это расстояние между двумя точками на оси с координатами и .
Например, решим уравнение, используя геометрический смысл модуля. Найдем точки на числовой оси, которые удалены от точки 2 на расстояние равное 3
Это точки и . Таким образом, корнями уравнения являются числа –1 и 5.
Уравнения с параметрами
Определение: Уравнением с параметрами называется уравнение , в котором коэффициенты и неопределены (т.е. вместо и можно подставить любые числа).
При решении уравнений с параметрами рассматривают все возможные случаи (в зависимости от параметров и ).
Графический метод решения уравнений с двумя переменными
Со времен Рене Декарта общий вид уравнений первой степени с одним неизвестным записывается следующим образом:
До Декарта уравнения с положительными коэффициентами записывали по обе стороны от знака равенства. Декарт впервые стал систематически представлять уравнения в канонической форме (т.е. с правой частью, равной нулю). Благодаря методу координат, разработанному Декартом, между алгеброй и геометрией была установлена тесная связь. Декарт стал рассматривать уравнения как зависимость между и , определяющую положение точек на плоскости. Так например, корень уравнения (*)
можно геометрически изобразить точкой M пересечения прямой с прямой (т.е. с осью Ox).
Таким образом, вводя второе неизвестное , Декарт разбил одно уравнение на два, каждое из которых представляет некоторое геометрическое место точек. Так, уравнение (*) можно представить и в виде , тогда его корень (**) можно найти как абсциссу точки M’ пересечения прямых и .
«Задача-метод»
Задание
В этом разделе вам будут предлагать задачу и несколько способов ее решения.
Вы должны выбрать наиболее рациональный на ваш взгляд способ.
1.Даны уравнения и являются ли они равносильными?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Решить оба уравнения и сравнить корни.
Привести оба уравнения к одинаковому виду.
2. При каких значениях х графики уравнений и пересекаются?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Построить графики уравнений и найти точку их пересечения.
Приравнять правые части и решить уравнение.
3. Сколько решений имеет уравнение ?
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
4. Решите уравнение .
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
5. Решите уравнение .
Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.
Решить задачу графическим методом.
Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.
«Задача-софизм»
Задание
Ученики 7-го класса решали линейные уравнения. Предлагаем Вам попробовать себя в роли учителя.
Укажите каким из учеников, и на каком шаге, при решении уравнения, допущена ошибка.
Первый ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:
0,71х-0,37х=1,98-1,76,
0,34х=0,22,
х=22/34;
Второй ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:
0,71х-0,37х=-1,76-1,98,
0,34х=-3,74,
х =-11;
Третий ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так
12х-39=12х-39,
12х-12х=39-39,
0=0.
Уравнение не имеет корней
Четвертый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х+5 так:
12х-39=12х+5,
12х-12х=39+5,
0х=44,
х=0.
Пятый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так:
12х-39=12х-39,
12х-12х=0,
х0=0,
Уравнение имеет бесконечно много корней.
Шестой ученик решил уравнение 3(4х-13)=10х-39 так:
12х-39=10х-39,
12х-10х=39-39,
2х=0,
х – любое число.
Седьмой ученик решил уравнение 12+7х-28=3х так:
12-3х=28-7х,
3(4-х)=7(4-х),
3=7,
Уравнение не имеет корней.
«Эвристики и поиск решения»
Задание
В этом разделе необходимо решить задачу самостоятельно. Можно пользоваться подсказками.
1. Решите уравнение
Используйте геометрический смысл модуля.
Найдите точки на оси, которые удалены от точки 3 на расстояние, равное 7.
Корнями уравнения являются числа –4 и 10.
2.Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является натуральным числом.
Сделайте перебор вариантов.
Перебирая значения, получаем, что а может равняться только 2 или 8.
3. Решите уравнение
Умножьте каждый член уравнения на 6
Ответ: 6.
4.На доске написано уравнение 5(…+3х)(х+1)-4(1+2х)2=-36. Найдите случайно вытертое число в скобках, если х=-2
Обозначьте искомое число через у и решите уравнение относительно у.
Ответ: 6.
5. Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, сумма которых равняется 6003.
Составьте и решите уравнение.
Первое число равно 1999, второе 2001, третье 2003.
Из истории линейных уравнений
Решение задач методом составления уравнения зародилось давно. Еще 4000 лет назад в древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Недостатком всей математики древних было отсутствие единой математической символики. Этот недостаток затруднял действия, мешал их наглядности. Поэтому и условие, и решение любой задачи приводилось полностью в словесной форме. Правда, у древних египтян были некоторые условные сокращения. Неизвестное, как полагают, они называли «куча». Так в папирусе Ринда уравнениe записано в такой форме:
Эти частичные сокращения были впоследствии забыты другими учеными. Отсутствие единой формы записи уравнений задерживало создание общих правил их решения. Каждая задача решалась по своему, каждое уравнение требовало особого подхода. Отсутствие же общих правил решения приводило к кустарщине. Каждый решал как мог. Все это тормозило развитие алгебры в целом.
Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был узбекский ученый Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Свою книгу «Хисаб алджебр вал-Мукабала» он целиком посвятил составлению уравнений по условиям задачи и решению этих уравнений.
В первое время алгебру понимали как науку об уравнениях, впоследствии же этот взгляд несколько изменился. Кроме уравнений 1-й степени, в школе изучаются некоторые другие виды уравнений. Но ни один из этих видов нельзя усвоить, не усвоив хорошо решение уравнений 1-й степени.
Некоторые старинные задачи
Около 2500 лет назад в Греции уже умели довольно хорошо решать уравнения с одним неизвестным и систему уравнений с несколькими неизвестными. Независимо от греков этими приемами овладели и китайцы, а позднее и индийцы. Вот несколько старинных задач.
Задача в стихах из так называемой “Греческой Антологии”:
-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
-Вот сколько, – ответил философ, – половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Решение: Если обозначить число учеников Пифагора через х, то можно составить такое уравнение: откуда x=28.
Древняя китайская задача: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
Древняя индусская задача: Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение:Пусть у первого будет «а» вещей и «m» монет, а у второго «b» вещей и «p» монет. Если х — ценность вещи, то : откуда:
infourok.ru
Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида
где a и b — числа, x — переменная.
Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).
Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.
Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:
Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: -9.
Раскрываем скобки:
Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:
(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).
Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.
Ответ: x — любое число.
Раскрываем скобки:
Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:
а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:
Это уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Раскрываем скобки:
Приводим подобные слагаемые:
Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ:
В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.
www.algebraclass.ru